§ 4. Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

Wir gehen nun dazu über, die ungeordneten Bewegungen genauer zu untersuchen, welche, von der Molekularbewegung der Wärme hervorgerufen, Anlaß zu der im letzten Paragraphen untersuchten Diffusion geben.

Es muß offenbar angenommen werden, daß jedes einzelne Teilchen eine Bewegung ausführe, welche unabhängig ist von der Bewegung aller anderen Teilchen; es werden auch die Bewegungen eines und desselben Teilchens in verschiedenen Zeitintervallen als voneinander unabhängige Vorgänge aufzufassen sein, solange wir diese Zeitintervalle nicht zu klein gewählt denken.

Wir führen ein Zeitintervall $\tau$ in die Betrachtung ein, welches sehr klein sei gegen die beobachtbaren Zeitintervalle, aber doch so groß, daß die in zwei aufeinanderfolgenden Zeitintervallen $\tau$ von einem Teilchen ausgeführten Bewegungen als voneinander unabhängige Ereignisse aufzufassen sind.

d n = n \varphi(\Delta) d \Delta

\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1

\varphi(\Delta) = \varphi(-\Delta)

Seien nun in einer Flüssigkeit im ganzen $n$ suspendierte Teilchen vorhanden. In einem Zeitintervall $\tau$ werden sich die $X$-Koordinaten der einzelnen Teilchen um $\Delta$ vergrößern, wobei $\Delta$ für jedes Teilchen einen anderen (positiven oder negativen) Wert hat. Es wird für $\Delta$ ein gewisses Häufigkeitsgesetz gelten; die Anzahl $d n$ der Teilchen, welche in dem Zeitintervall $\tau$ eine Verschiebung erfahren, welche zwischen $\Delta$ und $\Delta + d \Delta$ liegt, wird durch eine Gleichung von der Form $$ d n = n \varphi(\Delta) d \Delta $$ ausdrückbar sein, wobei $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1 $$ und $\varphi$ nur für sehr kleine Werte von $\Delta$ von Null verschieden ist und die Bedingung $$ \varphi(\Delta) = \varphi(-\Delta) $$ erfüllt.

Wir untersuchen nun, wie der Diffusionskoeffizient von $\varphi$ abhängt, wobei wir uns wieder auf den Fall beschränken, daß die Anzahl $\nu$ der Teilchen pro Volumeneinheit nur von $x$ und $t$ abhängt.

f(x, t + \tau) d x = d x \cdot \int_{\Delta = -\infty}^{\Delta = +\infty} f(x + \Delta) \varphi(\Delta) d \Delta.

Es sei $\nu = f(x, t)$ die Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit, wir berechnen die Verteilung der Teilchen zur Zeit $t + \tau$ aus deren Verteilung zur Zeit $t$. Aus der Definition der Funktion $\varphi(\Delta)$ ergibt sich leicht die Anzahl der Teilchen, welche sich zur Zeit $t + \tau$ zwischen zwei zur $X$-Achse senkrechten Ebenen mit den Abszissen $x$ und $x + d x$ befinden. Man erhält: $$ f(x, t + \tau) d x = d x \cdot \int_{\Delta = -\infty}^{\Delta = +\infty} f(x + \Delta) \varphi(\Delta) d \Delta. $$

f(x, t + \tau) = f(x, t) + \tau \frac{\partial f}{\partial t}.

Nun können wir aber, da $\tau$ sehr klein ist, setzen: $$ f(x, t + \tau) = f(x, t) + \tau \frac{\partial f}{\partial t}. $$

f(x + \Delta, t) = f(x, t) + \Delta \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} + \frac{\Delta^2}{2!} \frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} + \cdots \text{ in inf.}

Ferner entwickeln wir $f(x + \Delta, t)$ nach Potenzen von $\Delta$: $$ f(x + \Delta, t) = f(x, t) + \Delta \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} + \frac{\Delta^2}{2!} \frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} + \cdots \text{ in inf.} $$

\begin{aligned} f + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \tau = f \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta &+ \frac{\partial f}{\partial x} \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \varphi(\Delta) d \Delta \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta \cdots \end{aligned}

Diese Entwicklung können wir unter dem Integral vornehmen, da zu letzterem nur sehr kleine Werte von $\Delta$ etwas beitragen. Wir erhalten: $$ \begin{aligned} f + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \tau = f \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta &+ \frac{\partial f}{\partial x} \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \varphi(\Delta) d \Delta \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta \cdots \end{aligned} $$

\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1,

Auf der rechten Seite verschwindet wegen $\varphi(x) = \varphi(-x)$ das zweite, vierte etc. Glied, während von dem ersten, dritten, fünften etc. Gliede jedes folgende gegen das vorhergehende sehr klein ist. Wir erhalten aus dieser Gleichung, indem wir berücksichtigen, daß $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1, $$

\frac{1}{\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta = D

\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}

und indem wir $$ \frac{1}{\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta = D $$ setzen und nur das erste und dritte Glied der rechten Seite berücksichtigen: $$ \frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} $$ [[EQ-LABEL (1)]]

Dies ist die bekannte Differentialgleichung der Diffusion, und man erkennt, daß $D$ der Diffusionskoeffizient ist.

f(x, t) = 0 \quad \text{und} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t) d x = n

f(x, t) = \frac{n}{\sqrt{4 \pi D}} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 D t}}}{\sqrt{t}}

An diese Entwicklung läßt sich noch eine wichtige Überlegung anknüpfen. Wir haben angenommen, daß die einzelnen Teilchen alle auf dasselbe Koordinatensystem bezogen seien. Dies ist jedoch nicht nötig, da die Bewegungen der einzelnen Teilchen voneinander unabhängig sind. Wir wollen nun die Bewegung jedes Teilchens auf ein Koordinatensystem beziehen, dessen Ursprung mit der Lage des Schwerpunktes des betreffenden Teilchens zur Zeit $t = 0$ zusammenfällt, mit dem Unterschiede, daß jetzt $f(x, t) d x$ die Anzahl der Teilchen bedeutet, deren $X$-Koordinaten von der Zeit $t = 0$ bis zur Zeit $t = t$ um eine Größe [[EM]]gewachsen[[/EM]] ist, welche zwischen $x$ und $x + d x$ liegt. Auch in diesem Falle ändert sich also die Funktion $f$ gemäß Gleichung (1). Ferner muß offenbar für $x \gtrless 0$ und $t = 0$ $$ f(x, t) = 0 \quad \text{und} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t) d x = n $$ sein. Das Problem, welches mit dem Problem der Diffusion von einem Punkte aus (unter Vernachlässigung der Wechselwirkung der diffundierenden Teilchen) übereinstimmt, ist nun mathematisch vollkommen bestimmt; seine Lösung ist: $$ f(x, t) = \frac{n}{\sqrt{4 \pi D}} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 D t}}}{\sqrt{t}} $$

Die Häufigkeitsverteilung der in einer beliebigen Zeit $t$ erfolgten Lagenänderungen ist also dieselbe wie die der zufälligen[[CONTINUES]]

\lambda_x = \sqrt{\overline{x^2}} = \sqrt{2 D t}.

fälligen Fehler, was zu vermuten war. Von Bedeutung aber ist, wie die Konstante im Exponenten mit dem Diffusionskoeffizienten zusammenhängt. Wir berechnen nun mit Hilfe dieser Gleichung die Verrückung $\lambda_x$ in Richtung der $X$-Achse, welche ein Teilchen im Mittel erfährt, oder — genauer ausgedrückt — die Wurzel aus dem arithmetischen Mittel der Quadrate der Verrückungen in Richtung der $X$-Achse; es ist: $$ \lambda_x = \sqrt{\overline{x^2}} = \sqrt{2 D t}. $$

Die mittlere Verschiebung ist also proportional der Quadratwurzel aus der Zeit. Man kann leicht zeigen, daß die Wurzel aus dem Mittelwert der Quadrate der [[EM]]Gesamtverschiebungen[[/EM]] der Teilchen den Wert $\lambda_x \sqrt{3}$ besitzt.