Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen

[p. 556]§ 4. Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

[p. 556]Align sentencesWir gehen nun dazu über, die ungeordneten Bewegungen genauer zu untersuchen, welche, von der Molekularbewegung der Wärme hervorgerufen, Anlaß zu der im letzten Paragraphen untersuchten Diffusion geben. Show English translation

[p. 556]Align sentencesEs muß offenbar angenommen werden, daß jedes einzelne Teilchen eine Bewegung ausführe, welche unabhängig ist von der Bewegung aller anderen Teilchen; es werden auch die Bewegungen eines und desselben Teilchens in verschiedenen Zeitintervallen als voneinander unabhängige Vorgänge aufzufassen sein, solange wir diese Zeitintervalle nicht zu klein gewählt denken. Show English translation

[p. 556]Align sentencesWir führen ein Zeitintervall $\tau$ in die Betrachtung ein, welches sehr klein sei gegen die beobachtbaren Zeitintervalle, aber doch so groß, daß die in zwei aufeinanderfolgenden Zeitintervallen $\tau$ von einem Teilchen ausgeführten Bewegungen als voneinander unabhängige Ereignisse aufzufassen sind. Show English translation

[p. 556]Align sentencesSeien nun in einer Flüssigkeit im ganzen $n$ suspendierte Teilchen vorhanden. Show English translationIn einem Zeitintervall $\tau$ werden sich die $X$-Koordinaten der einzelnen Teilchen um $\Delta$ vergrößern, wobei $\Delta$ für jedes Teilchen einen anderen (positiven oder negativen) Wert hat. Show English translationEs wird für $\Delta$ ein gewisses Häufigkeitsgesetz gelten; die Anzahl $d n$ der Teilchen, welche in dem Zeitintervall $\tau$ eine Verschiebung erfahren, welche zwischen $\Delta$ und $\Delta + d \Delta$ liegt, wird durch eine Gleichung von der Form$$d n = n \varphi(\Delta) d \Delta$$$n$Particle count$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation ausdrückbar sein, wobei$$\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1$$$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation und $\varphi$ nur für sehr kleine Werte von $\Delta$ von Null verschieden ist und die Bedingung$$\varphi(\Delta) = \varphi(-\Delta)$$$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation erfüllt. Show English translation

[p. 557]Align sentencesWir untersuchen nun, wie der Diffusionskoeffizient von $\varphi$ abhängt, wobei wir uns wieder auf den Fall beschränken, daß die Anzahl $\nu$ der Teilchen pro Volumeneinheit nur von $x$ und $t$ abhängt. Show English translation

[pp. 557–558]Align sentencesEs sei $\nu = f(x, t)$ die Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit, wir berechnen die Verteilung der Teilchen zur Zeit $t + \tau$ aus deren Verteilung zur Zeit $t$. Show English translationAus der Definition der Funktion $\varphi(\Delta)$ ergibt sich leicht die Anzahl der Teilchen, welche sich zur Zeit $t + \tau$ zwischen zwei zur $X$-Achse senkrechten Ebenen mit den Abszissen $x$ und $x + d x$ befinden. Show English translationMan erhält:$$f(x, t + \tau) d x = d x \cdot \int_{\Delta = -\infty}^{\Delta = +\infty} f(x + \Delta) \varphi(\Delta) d \Delta.$$$f$Number density$t$Time$\tau$Step interval$\Delta$Displacement in one interval$\phi$Jump densityExplain this equation Show English translationNun können wir aber, da $\tau$ sehr klein ist, setzen:$$f(x, t + \tau) = f(x, t) + \tau \frac{\partial f}{\partial t}.$$$f$Number density$t$Time$\tau$Step intervalExplain this equation Show English translationFerner entwickeln wir $f(x + \Delta, t)$ nach Potenzen von $\Delta$:$$f(x + \Delta, t) = f(x, t) + \Delta \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} + \frac{\Delta^2}{2!} \frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} \ldots \text{ in inf.}$$$f$Number density$\Delta$Displacement in one interval$t$TimeExplain this equation Show English translationDiese Entwicklung können wir unter dem Integral vornehmen, da zu letzterem nur sehr kleine Werte von $\Delta$ etwas beitragen. Show English translationWir erhalten:$$\begin{aligned} f + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \tau = f \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta &+ \frac{\partial f}{\partial x} \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \varphi(\Delta) d \Delta \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta \ldots \end{aligned}$$$f$Number density$t$Time$\tau$Step interval$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation Show English translationAuf der rechten Seite verschwindet wegen $\varphi(x) = \varphi(-x)$ das zweite, vierte etc. Glied, während von dem ersten, dritten, fünften etc. Gliede jedes folgende gegen das vorhergehende sehr klein ist. Show English translationWir erhalten aus dieser Gleichung, indem wir berücksichtigen, daß$$\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1,$$$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation und indem wir$$\frac{1}{\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta = D$$$\tau$Step interval$\Delta$Displacement in one interval$\phi$Jump density$D$Diffusion coefficientExplain this equation setzen und nur das erste und dritte Glied der rechten Seite berücksichtigen:$$\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.$$$f$Number density$t$Time$D$Diffusion coefficientExplain this equation Show English translation

[p. 558]Align sentencesDies ist die bekannte Differentialgleichung der Diffusion, und man erkennt, daß $D$ der Diffusionskoeffizient ist. Show English translation

[p. 558]Align sentencesAn diese Entwicklung läßt sich noch eine wichtige Überlegung anknüpfen. Show English translationWir haben angenommen, daß die einzelnen Teilchen alle auf dasselbe Koordinatensystem bezogen seien. Show English translationDies ist jedoch nicht nötig, da die Bewegungen der einzelnen Teilchen voneinander unabhängig sind. Show English translationWir wollen nun die Bewegung jedes Teilchens auf ein Koordinatensystem beziehen, dessen Ursprung mit der Lage des Schwerpunktes des betreffenden Teilchens zur Zeit $t = 0$ zusammenfällt, mit dem Unterschiede, daß jetzt $f(x, t) d x$ die Anzahl der Teilchen bedeutet, deren $X$-Koordinaten von der Zeit $t = 0$ bis zur Zeit $t = t$ um eine Größe gewachsen ist, welche zwischen $x$ und $x + d x$ liegt. Show English translationAuch in diesem Falle ändert sich also die Funktion $f$ gemäß Gleichung (1). Show English translationFerner muß offenbar für $x \gtrless 0$ und $t = 0$$$f(x, t) = 0 \quad \text{und} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t) d x = n$$$f$Number density$t$Time$n$Particle countExplain this equation sein. Show English translationDas Problem, welches mit dem Problem der Diffusion von einem Punkte aus (unter Vernachlässigung der Wechselwirkung der diffundierenden Teilchen) übereinstimmt, ist nun mathematisch vollkommen bestimmt; seine Lösung ist:$$f(x, t) = \frac{n}{\sqrt{4 \pi D}} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 D t}}}{\sqrt{t}}.$$$f$Number density$t$Time$n$Particle count$D$Diffusion coefficientExplain this equation Show English translation

[pp. 558–559]Align sentencesDie Häufigkeitsverteilung der in einer beliebigen Zeit $t$ erfolgten Lagenänderungen ist also dieselbe wie die der zufälligen Fehler, was zu vermuten war. Show English translationVon Bedeutung aber ist, wie die Konstante im Exponenten mit dem Diffusionskoeffizienten zusammenhängt. Show English translationWir berechnen nun mit Hilfe dieser Gleichung die Verrückung $\lambda_x$ in Richtung der $X$-Achse, welche ein Teilchen im Mittel erfährt, oder — genauer ausgedrückt — die Wurzel aus dem arithmetischen Mittel der Quadrate der Verrückungen in Richtung der $X$-Achse; es ist:$$\lambda_x = \sqrt{\overline{x^2}} = \sqrt{2 D t}.$$${\lambda }_x$Coordinate RMS displacement$\overline{x^2}$Mean-square displacement (one dimension)$D$Diffusion coefficient$t$Observation intervalExplain this equation Show English translation

[p. 559]Align sentencesDie mittlere Verschiebung ist also proportional der Quadratwurzel aus der Zeit. Show English translationMan kann leicht zeigen, daß die Wurzel aus dem Mittelwert der Quadrate der Gesamtverschiebungen der Teilchen den Wert $\lambda_x \sqrt{3}$ besitzt. Show English translation