§ 1. Über eine die Theorie der „schwarzen Strahlung“ betreffende Schwierigkeit.

Wir stellen uns zunächst auf den Standpunkt der [[SPERR]]Maxwell[[/SPERR]]schen Theorie und Elektronentheorie und betrachten folgenden Fall. In einem von vollkommen reflektierenden Wänden eingeschlossenen Raume befinde sich eine Anzahl Gasmoleküle und Elektronen, welche freibeweglich sind und aufeinander konservative Kräfte ausüben, wenn sie einander sehr nahe kommen, d. h. miteinander wie Gasmoleküle nach der kinetischen Gastheorie zusammenstoßen können.[[FN-MARK 1)]] Eine Anzahl[[CONTINUES]]

Elektronen sei ferner an voneinander weit entfernte Punkte des Raumes gekettet durch nach diesen Punkten gerichtete, den Elongationen proportionale Kräfte. Auch diese Elektronen sollen mit den freien Molekülen und Elektronen in konservative Wechselwirkung treten, wenn ihnen letztere sehr nahe kommen. Wir nennen die an Raumpunkte geketteten Elektronen „Resonatoren“; sie senden elektromagnetische Wellen bestimmter Periode aus und absorbieren solche.

Nach der gegenwärtigen Ansicht über die Entstehung des Lichtes müßte die Strahlung im betrachteten Raume, welche unter Zugrundelegung der [[SPERR]]Maxwell[[/SPERR]]schen Theorie für den Fall des dynamischen Gleichgewichtes gefunden wird, mit der „schwarzen Strahlung“ identisch sein — wenigstens wenn Resonatoren aller in Betracht zu ziehenden Frequenzen als vorhanden angesehen werden.

\overline{E} = \frac{R}{N} T,

Wir sehen vorläufig von der von den Resonatoren emittierten und absorbierten Strahlung ab und fragen nach der der Wechselwirkung (den Zusammenstößen) von Molekülen und Elektronen entsprechenden Bedingung für das dynamische Gleichgewicht. Die kinetische Gastheorie liefert für letzteres die Bedingung, daß die mittlere lebendige Kraft eines Resonatorelektrons gleich der mittleren kinetischen Energie der fortschreitenden Bewegung eines Gasmoleküles sein muß. Zerlegen wir die Bewegung des Resonatorelektrons in drei aufeinander senkrechte Schwingungsbewegungen, so finden wir für den Mittelwert $\overline{E}$ der Energie einer solchen geradlinigen Schwingungsbewegung $$ \overline{E} = \frac{R}{N} T, $$ wobei $R$ die absolute Gaskonstante, $N$ die Anzahl der „wirklichen Moleküle“ in einem Grammäquivalent und $T$ die absolute Temperatur bedeutet. Die Energie $\overline{E}$ ist nämlich wegen der Gleichheit der zeitlichen Mittelwerte von kinetischer und potentieller Energie des Resonators $2/3$ mal so groß wie die lebendige Kraft eines freien, einatomigen Gasmoleküles. Würde nun durch irgend eine Ursache — in unserem Falle durch Strahlungsvorgänge — bewirkt, daß die Energie eines Resonators einen größeren oder kleineren zeitlichen Mittelwert als $\overline{E}$ besitzt, so würden die Zusammenstöße mit den freien Elektronen[[CONTINUES]]

tronen und Molekülen zu einer im Mittel von Null verschiedenen Energieabgabe an das Gas bez. Energieaufnahme von dem Gas führen. Es ist also in dem von uns betrachteten Falle dynamisches Gleichgewicht nur dann möglich, wenn jeder Resonator die mittlere Energie $\overline{E}$ besitzt.

\overline{E}_\nu = \frac{L^3}{8 \pi \nu^2} \varrho_\nu.

Eine ähnliche Überlegung machen wir jetzt bezüglich der Wechselwirkung der Resonatoren und der im Raume vorhandenen Strahlung. Hr. [[SPERR]]Planck[[/SPERR]] hat für diesen Fall die Bedingung des dynamischen Gleichgewichtes abgeleitet[[FN-MARK 1)]] unter der Voraussetzung, daß die Strahlung als ein denkbar ungeordnetster Prozeß[[FN-MARK 2)]] betrachtet werden kann. Er fand: $$ \overline{E}_\nu = \frac{L^3}{8 \pi \nu^2} \varrho_\nu. $$ $\overline{E}_\nu$ ist hierbei die mittlere Energie eines Resonators von der Eigenfrequenz $\nu$ (pro Schwingungskomponente), $L$ die Lichtgeschwindigkeit, $\nu$ die Frequenz und $\varrho_\nu d \nu$ die Energie pro Volumeneinheit desjenigen Teiles der Strahlung, dessen Schwingungszahl zwischen $\nu$ und $\nu + d \nu$ liegt.

Z = \sum_{\nu = 1}^{\nu = \infty} A_\nu \sin\left(2 \pi \nu \frac{t}{T} + \alpha_\nu\right)

d W = f(A_1, A_2 \ldots \alpha_1, \alpha_2 \ldots) d A_1 d A_2 \ldots d \alpha_1 d \alpha_2 \ldots

f(A_1, A_2 \ldots \alpha_1, \alpha_2 \ldots) = F_1(A_1) F_2(A_2) \ldots f_1(\alpha_1) f_2(\alpha_2) \ldots

wobei $A_\nu \geq 0$ und $0 \leq \alpha_\nu \leq 2 \pi$. Denkt man sich in demselben Raumpunkte eine solche Entwickelung beliebig oft bei zufällig gewählten Anfangspunkten der Zeit ausgeführt, so wird man für die Größen $A_\nu$ und $\alpha_\nu$ verschiedene Wertesysteme erhalten. Es existieren dann für die Häufigkeit der verschiedenen Wertekombinationen der Größen $A_\nu$ und $\alpha_\nu$ (statistische) Wahrscheinlichkeiten $d W$ von der Form: $$ d W = f(A_1, A_2 \ldots \alpha_1, \alpha_2 \ldots) d A_1 d A_2 \ldots d \alpha_1 d \alpha_2 \ldots $$ Die Strahlung ist dann eine denkbar ungeordnete, wenn $$ f(A_1, A_2 \ldots \alpha_1, \alpha_2 \ldots) = F_1(A_1) F_2(A_2) \ldots f_1(\alpha_1) f_2(\alpha_2) \ldots $$ d. h. wenn die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Wertes einer der Größen $A$ bez. $\alpha$ von den Werten, welche die anderen Größen $A$ bez. $\alpha$ besitzen, unabhängig ist. Mit je größerer Annäherung die Bedingung erfüllt ist, daß die einzelnen Paare von Größen $A_\nu$ und $\alpha_\nu$ von Emissions- und Absorptionsprozessen [[EM]]besonderer[[/EM]] Gruppen abhängen, mit desto größerer Annäherung wird also in dem von uns betrachteten Falle die Strahlung als eine „denkbar ungeordnetste“ anzusehen sein.

\frac{R}{N} T = \overline{E} = \overline{E}_\nu = \frac{L^3}{8 \pi \nu^2} \varrho_\nu,

\varrho_\nu = \frac{R}{N} \frac{8 \pi \nu^2}{L^3} T.

Soll die Strahlungsenergie von der Frequenz $\nu$ nicht beständig im Ganzen weder vermindert noch vermehrt werden, so muß gelten: $$ \frac{R}{N} T = \overline{E} = \overline{E}_\nu = \frac{L^3}{8 \pi \nu^2} \varrho_\nu, $$ $$ \varrho_\nu = \frac{R}{N} \frac{8 \pi \nu^2}{L^3} T. $$

\int_0^\infty \varrho_\nu d \nu = \frac{R}{N} \frac{8 \pi}{L^3} T \int_0^\infty \nu^2 d \nu = \infty.

Diese als Bedingung des dynamischen Gleichgewichtes gefundene Beziehung entbehrt nicht nur der Übereinstimmung mit der Erfahrung, sondern sie besagt auch, daß in unserem Bilde von einer bestimmten Energieverteilung zwischen Äther und Materie nicht die Rede sein kann. Je weiter nämlich der Schwingungszahlenbereich der Resonatoren gewählt wird, desto größer wird die Strahlungsenergie des Raumes, und wir erhalten in der Grenze $$ \int_0^\infty \varrho_\nu d \nu = \frac{R}{N} \frac{8 \pi}{L^3} T \int_0^\infty \nu^2 d \nu = \infty. $$