Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt

[p. 132]Align sentencesZwischen den theoretischen Vorstellungen, welche sich die Physiker über die Gase und andere ponderable Körper gebildet haben, und der Maxwellschen Theorie der elektromagnetischen Prozesse im sogenannten leeren Raume besteht ein tiefgreifender formaler Unterschied. Show English translationWährend wir uns nämlich den Zustand eines Körpers durch die Lagen und Geschwindigkeiten einer zwar sehr großen, jedoch endlichen Anzahl von Atomen und Elektronen für vollkommen bestimmt ansehen, bedienen wir uns zur Bestimmung des elektromagnetischen Zustandes eines Raumes kontinuierlicher räumlicher Funktionen, so daß also eine endliche Anzahl von Größen nicht als genügend anzusehen ist zur vollständigen Festlegung des elektromagnetischen Zustandes eines Raumes. Show English translationNach der Maxwellschen Theorie ist bei allen rein elektromagnetischen Erscheinungen, also auch beim Licht, die Energie als kontinuierliche Raumfunktion aufzufassen, während die Energie eines ponderabeln Körpers nach der gegenwärtigen Auffassung der Physiker als eine über die Atome und Elektronen erstreckte Summe darzustellen ist. Show English translationDie Energie eines ponderabeln Körpers kann nicht in beliebig viele, beliebig kleine Teile zerfallen, während sich die Energie eines von einer punktförmigen Lichtquelle ausgesandten Lichtstrahles nach der Maxwellschen Theorie (oder allgemeiner nach jeder Undulationstheorie) des Lichtes auf ein stets wachsendes Volumen sich kontinuierlich verteilt. Show English translation

[pp. 132–133]Align sentencesDie mit kontinuierlichen Raumfunktionen operierende Undulationstheorie des Lichtes hat sich zur Darstellung der rein optischen Phänomene vortrefflich bewährt und wird wohl nie durch eine andere Theorie ersetzt werden. Show English translationEs ist jedoch im Auge zu behalten, daß sich die optischen Beobachtungen auf zeitliche Mittelwerte, nicht aber auf Momentanwerte beziehen, und es ist trotz der vollständigen Bestätigung der Theorie der Beugung, Reflexion, Brechung, Dispersion etc. durch das Experiment wohl denkbar, daß die mit kontinuierlichen Raumfunktionen operierende Theorie des Lichtes zu Widersprüchen mit der Erfahrung führt, wenn man sie auf die Erscheinungen der Lichterzeugung und Lichtverwandlung anwendet. Show English translation

[p. 133]Align sentencesEs scheint mir nun in der Tat, daß die Beobachtungen über die „schwarze Strahlung“, Photolumineszenz, die Erzeugung von Kathodenstrahlen durch ultraviolettes Licht und andere die Erzeugung bez. Verwandlung des Lichtes betreffende Erscheinungsgruppen besser verständlich erscheinen unter der Annahme, daß die Energie des Lichtes diskontinuierlich im Raume verteilt sei. Show English translationNach der hier ins Auge zu fassenden Annahme ist bei Ausbreitung eines von einem Punkte ausgehenden Lichtstrahles die Energie nicht kontinuierlich auf größer und größer werdende Räume verteilt, sondern es besteht dieselbe aus einer endlichen Zahl von in Raumpunkten lokalisierten Energiequanten, welche sich bewegen, ohne sich zu teilen und nur als Ganze absorbiert und erzeugt werden können. Show English translation

[p. 133]Align sentencesIm folgenden will ich den Gedankengang mitteilen und die Tatsachen anführen, welche mich auf diesen Weg geführt haben, in der Hoffnung, daß der darzulegende Gesichtspunkt sich einigen Forschern bei ihren Untersuchungen als brauchbar erweisen möge. Show English translation

[p. 133]§ 1. Über eine die Theorie der „schwarzen Strahlung“ betreffende Schwierigkeit.

[pp. 133–134]Align sentencesWir stellen uns zunächst auf den Standpunkt der Maxwellschen Theorie und Elektronentheorie und betrachten folgenden Fall. Show English translationIn einem von vollkommen reflektierenden Wänden eingeschlossenen Raumes befinde sich eine Anzahl Gasmoleküle und Elektronen, welche freibeweglich sind und aufeinander konservative Kräfte ausüben, wenn sie einander sehr nahe kommen, d. h. miteinander wie Gasmoleküle nach der kinetischen Gastheorie zusammenstoßen können.^[1)] Show English translationEine Anzahl Elektronen sei ferner an voneinander weit entfernte Punkte des Raumes gekettet durch nach diesen Punkten gerichtete, den Elongationen proportionale Kräfte. Show English translationAuch diese Elektronen sollen mit den freien Molekülen und Elektronen in konservative Wechselwirkung treten, wenn ihnen letztere sehr nahe kommen. Show English translationWir nennen die an Raumpunkte geketteten Elektronen „Resonatoren“; sie senden elektromagnetische Wellen bestimmter Periode aus und absorbieren solche. Show English translation

[p. 134]Align sentencesNach der gegenwärtigen Ansicht über die Entstehung des Lichtes müßte die Strahlung im betrachteten Raume, welche unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie für den Fall des dynamischen Gleichgewichtes gefunden wird, mit der „schwarzen Strahlung“ identisch sein — wenigstens wenn Resonatoren aller in Betracht zu ziehenden Frequenzen als vorhanden angesehen werden. Show English translation

[pp. 134–135]Align sentencesWir sehen vorläufig von der von den Resonatoren emittierten und absorbierten Strahlung ab und fragen nach der der Wechselwirkung (den Zusammenstößen) von Molekülen und Elektronen entsprechenden Bedingung für das dynamische Gleichgewicht. Show English translationDie kinetische Gastheorie liefert für letzteres die Bedingung, daß die mittlere lebendige Kraft eines Resonatorelektrons gleich der mittleren kinetischen Energie der fortschreitenden Bewegung eines Gasmoleküles sein muß. Show English translationZerlegen wir die Bewegung des Resonatorelektrons in drei aufeinander senkrechte Schwingungsbewegungen, so finden wir für den Mittelwert $\overline{E}$ der Energie einer solchen geradlinigen Schwingungsbewegung$$\overline{E} = \frac{R}{N} T,$$$\overline{E}$Mean resonator energy$R$Gas constant$N$Avogadro's number$T$Temperature of the radiationExplain this equation wobei $R$ die absolute Gaskonstante, $N$ die Anzahl der „wirklichen Moleküle“ in einem Grammäquivalent und $T$ die absolute Temperatur bedeutet. Show English translationDie Energie $\overline{E}$ ist nämlich wegen der Gleichheit der zeitlichen Mittelwerte von kinetischer und potentieller Energie des Resonators $2/3$ mal so groß wie die lebendige Kraft eines freien, einatomigen Gasmoleküles. Show English translationWürde nun durch irgend eine Ursache — in unserem Falle durch Strahlungsvorgänge — bewirkt, daß die Energie eines Resonators einen größeren oder kleineren zeitlichen Mittelwert als $\overline{E}$ besitzt, so würden die Zusammenstöße mit den freien Elektronen und Molekülen zu einer im Mittel von Null verschiedenen Energieabgabe an das Gas bez. Energieaufnahme von dem Gas führen. Show English translationEs ist also in dem von uns betrachteten Falle dynamisches Gleichgewicht nur dann möglich, wenn jeder Resonator die mittlere Energie $\overline{E}$ besitzt. Show English translation

[p. 135]Align sentencesEine ähnliche Überlegung machen wir jetzt bezüglich der Wechselwirkung der Resonatoren und der im Raume vorhandenen Strahlung. Show English translationHr. Planck hat für diesen Fall die Bedingung des dynamischen Gleichgewichtes abgeleitet^[1)] unter der Voraussetzung, daß die Strahlung als ein denkbar ungeordnetster Prozeß^[2)] betrachtet werden kann. Show English translationEr fand:$$\overline{E}_\nu = \frac{L^3}{8 \pi \nu^2} \varrho_\nu.$$${\overline{E}}_{\nu }$Mean resonator energy at a given frequency$L$Speed of light$\nu$Frequency of the light${\varrho }_{\nu }$Spectral energy densityExplain this equation Show English translation$\overline{E}_\nu$ ist hierbei die mittlere Energie eines Resonators von der Eigenfrequenz $\nu$ (pro Schwingungskomponente), $L$ die Lichtgeschwindigkeit, $\nu$ die Frequenz und $\varrho_\nu d \nu$ die Energie pro Volumeinheit desjenigen Teiles der Strahlung, dessen Schwingungszahl zwischen $\nu$ und $\nu + d \nu$ liegt. Show English translation

[p. 136]Align sentencesSoll die Strahlungsenergie von der Frequenz $\nu$ nicht beständig im Ganzen weder vermindert noch vermehrt werden, so muß gelten:$$\frac{R}{N} T = \overline{E} = \overline{E}_\nu = \frac{L^3}{8 \pi \nu^2} \varrho_\nu,$$$R$Gas constant$N$Avogadro's number$T$Temperature of the radiation$\overline{E}$Mean resonator energy${\overline{E}}_{\nu }$Mean resonator energy at a given frequency$L$Speed of light$\nu$Frequency of the light${\varrho }_{\nu }$Spectral energy densityExplain this equation$$\varrho_\nu = \frac{R}{N} \frac{8 \pi \nu^2}{L^3} T.$$${\varrho }_{\nu }$Spectral energy density$R$Gas constant$N$Avogadro's number$\nu$Frequency of the light$L$Speed of light$T$Temperature of the radiationExplain this equation Show English translationDiese als Bedingung des dynamischen Gleichgewichtes gefundene Beziehung entbehrt nicht nur der Übereinstimmung mit der Erfahrung, sondern sie besagt auch, daß in unserem Bilde von einer bestimmten Energieverteilung zwischen Äther und Materie nicht die Rede sein kann. Show English translationJe weiter nämlich der Schwingungszahlenbereich der Resonatoren gewählt wird, desto größer wird die Strahlungsenergie des Raumes, und wir erhalten in der Grenze$$\int_0^\infty \varrho_\nu d \nu = \frac{R}{N} \frac{8 \pi}{L^3} T \int_0^\infty \nu^2 d \nu = \infty.$$${\varrho }_{\nu }$Spectral energy density$\nu$Frequency of the light$R$Gas constant$N$Avogadro's number$L$Speed of light$T$Temperature of the radiationExplain this equation Show English translation

[p. 136]§ 2. Über die Plancksche Bestimmung der Elementarquanta.

[p. 136]Align sentencesWir wollen im folgenden zeigen, daß die von Hrn. Planck gegebene Bestimmung der Elementarquanta von der von ihm aufgestellten Theorie der „schwarzen Strahlung“ bis zu einem gewissen Grade unabhängig ist. Show English translation

[pp. 136–137]Align sentencesDie allen bisherigen Erfahrungen genügende Plancksche Formel^[1)] für $\varrho_\nu$ lautet$$\varrho_\nu = \frac{\alpha \nu^3}{e^{\frac{\beta \nu}{T}} - 1},$$${\varrho }_{\nu }$Spectral energy density$\alpha$Spectral constant A$\nu$Frequency of the light$\beta$Spectral constant B$T$Temperature of the radiationExplain this equation wobei$$\alpha = 6{,}10 \cdot 10^{-56},$$$\alpha$Spectral constant AExplain this equation$$\beta = 4{,}866 \cdot 10^{-11}.$$$\beta$Spectral constant BExplain this equation Show English translationFür große Werte von $T/\nu$, d. h. für große Wellenlängen und Strahlungsdichten geht diese Formel in der Grenze in folgende über:$$\varrho_\nu = \frac{\alpha}{\beta} \nu^2 T.$$${\varrho }_{\nu }$Spectral energy density$\alpha$Spectral constant A$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$T$Temperature of the radiationExplain this equation Show English translationMan erkennt, daß diese Formel mit der in § 1 aus der Maxwellschen und der Elektronentheorie entwickelten übereinstimmt. Show English translationDurch Gleichsetzung der Koeffizienten beider Formeln erhält man:$$\frac{R}{N} \frac{8 \pi}{L^3} = \frac{\alpha}{\beta}$$$R$Gas constant$N$Avogadro's number$L$Speed of light$\alpha$Spectral constant A$\beta$Spectral constant BExplain this equation oder$$N = \frac{\beta}{\alpha} \frac{8 \pi R}{L^3} = 6{,}17 \cdot 10^{23},$$$N$Avogadro's number$\beta$Spectral constant B$\alpha$Spectral constant A$R$Gas constant$L$Speed of lightExplain this equation d. h. ein Atom Wasserstoff wiegt $1/N$ Gramm $= 1{,}62 \cdot 10^{-24}$ g. Show English translationDies ist genau der von Hrn. Planck gefundene Wert, welcher mit den auf anderen Wegen gefundenen Werten für diese Größe befriedigend übereinstimmt. Show English translation

[p. 137]Align sentencesWir gelangen daher zu dem Schlusse: Je größer die Energiedichte und die Wellenlänge einer Strahlung ist, als um so brauchbarer erweisen sich die von uns benutzten theoretischen Grundlagen; für kleine Wellenlängen und kleine Strahlungsdichten aber versagen dieselben vollständig. Show English translation

[p. 137]Align sentencesIm folgenden soll die „schwarze Strahlung“ im Anschluß an die Erfahrung ohne Zugrundelegung eines Bildes über die Erzeugung und Ausbreitung der Strahlung betrachtet werden. Show English translation

[p. 137]§ 3. Über die Entropie der Strahlung.

[p. 137]Align sentencesDie folgende Betrachtung ist in einer berühmten Arbeit des Hrn. W. Wien enthalten und soll hier nur der Vollständigkeit halber Platz finden. Show English translation

[pp. 137–138]Align sentencesEs liege eine Strahlung vor, welche das Volumen $v$ einnehme. Show English translationWir nehmen an, daß die wahrnehmbaren Eigenschaften der vorliegenden Strahlung vollkommen bestimmt seien, wenn die Strahlungsdichte $\varrho(\nu)$ für alle Frequenzen gegeben ist.^[1)] Show English translationDa Strahlungen von verschiedenen Frequenzen als ohne Arbeitsleistung und ohne Wärmezufuhr voneinander trennbar anzusehen sind, so ist die Entropie der Strahlung in der Form$$S = v \int_0^\infty \varphi(\varrho, \nu) d \nu$$$S$Radiation entropy$v$Volume$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the lightExplain this equation darstellbar, wobei $\varphi$ eine Funktion der Variabeln $\varrho$ und $\nu$ bedeutet. Show English translationEs kann $\varphi$ auf eine Funktion von nur einer Variabeln reduziert werden durch Formulierung der Aussage, daß durch adiabatische Kompression einer Strahlung zwischen spiegelnden Wänden, deren Entropie nicht geändert wird. Show English translationWir wollen jedoch hierauf nicht eintreten, sondern sogleich untersuchen, wie die Funktion $\varphi$ aus dem Strahlungsgesetz des schwarzen Körpers ermittelt werden kann. Show English translation

[p. 138]Align sentencesBei der „schwarzen Strahlung“ ist $\varrho$ eine solche Funktion von $\nu$, daß die Entropie bei gegebener Energie ein Maximum ist, d. h. daß$$\delta \int_0^\infty \varphi(\varrho, \nu) d \nu = 0,$$$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the lightExplain this equation wenn$$\delta \int_0^\infty \varrho d \nu = 0.$$$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the lightExplain this equation Show English translationHieraus folgt, daß für jede Wahl des $\delta \varrho$ als Funktion von $\nu$$$\int_0^\infty \left( \frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} - \lambda \right) \delta \varrho d \nu = 0,$$$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\lambda$Lagrange multiplier$\nu$Frequency of the lightExplain this equation wobei $\lambda$ von $\nu$ unabhängig ist. Show English translationBei der schwarzen Strahlung ist also $\partial \varphi / \partial \varrho$ von $\nu$ unabhängig. Show English translation

[pp. 138–139]Align sentencesFür die Temperaturzunahme einer schwarzen Strahlung vom Volumen $v = 1$ um $d T$ gilt die Gleichung:$$d S = \int_{\nu = 0}^{\nu = \infty} \frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} d \varrho d \nu,$$$S$Radiation entropy$\nu$Frequency of the light$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy densityExplain this equation oder, da $\partial \varphi / \partial \varrho$ von $\nu$ unabhängig ist:$$d S = \frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} d E.$$$S$Radiation entropy$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$E$Radiation energy in the bandExplain this equation Show English translationDa $d E$ gleich der zugeführten Wärme und der Vorgang umkehrbar ist, so gilt auch:$$d S = \frac{1}{T} d E.$$$S$Radiation entropy$T$Temperature of the radiation$E$Radiation energy in the bandExplain this equation Show English translationDurch Vergleich erhält man:$$\frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} = \frac{1}{T}.$$$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$T$Temperature of the radiationExplain this equation Show English translationDies ist das Gesetz der schwarzen Strahlung. Show English translationMan kann also aus der Funktion $\varphi$ das Gesetz der schwarzen Strahlung und umgekehrt aus letzterem die Funktion $\varphi$ durch Integration bestimmen mit Rücksicht darauf, daß $\varphi$ für $\varrho = 0$ verschwindet. Show English translation

[p. 139]§ 4. Grenzgesetz für die Entropie der monochromatischen Strahlung bei geringer Strahlungsdichte.

[p. 139]Align sentencesAus den bisherigen Beobachtungen über die „schwarze Strahlung“ geht zwar hervor, daß das ursprünglich von Hrn. W. Wien für die „schwarze Strahlung“ aufgestellte Gesetz$$\varrho = \alpha \nu^3 e^{-\beta \frac{\nu}{T}}$$$\varrho$Spectral energy density$\alpha$Spectral constant A$\nu$Frequency of the light$\beta$Spectral constant B$T$Temperature of the radiationExplain this equation nicht genau gültig ist. Show English translationDasselbe wurde aber für große Werte von $\nu/T$ sehr vollkommen durch das Experiment bestätigt. Show English translationWir legen diese Formel unseren Rechnungen zugrunde, behalten aber im Sinne, daß unsere Resultate nur innerhalb gewisser Grenzen gelten. Show English translation

[p. 139]Align sentencesAus dieser Formel ergibt sich zunächst:$$\frac{1}{T} = -\frac{1}{\beta \nu} \lg \frac{\varrho}{\alpha \nu^3}$$$T$Temperature of the radiation$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$\varrho$Spectral energy density$\alpha$Spectral constant AExplain this equation und weiter unter Benutzung der in dem vorigen Paragraphen gefundenen Beziehung:$$\varphi(\varrho, \nu) = -\frac{\varrho}{\beta \nu} \left\{ \lg \frac{\varrho}{\alpha \nu^3} - 1 \right\}.$$$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the light$\beta$Spectral constant B$\alpha$Spectral constant AExplain this equation Show English translationEs sei nun eine Strahlung von der Energie $E$ gegeben, deren Frequenz zwischen $\nu$ und $\nu + d \nu$ liegt. Show English translationDie Strahlung nehme das Volumen $v$ ein. Show English translationDie Entropie dieser Strahlung ist:$$S = v \varphi(\varrho, \nu) d \nu = -\frac{E}{\beta \nu} \left\{ \lg \frac{E}{v \alpha \nu^3 d \nu} - 1 \right\}.$$$S$Radiation entropy$v$Volume$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the light$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\alpha$Spectral constant AExplain this equation Show English translationBeschränken wir uns darauf, die Abhängigkeit der Entropie von dem von der Strahlung eingenommenen Volumen zu untersuchen, und bezeichnen wir die Entropie der Strahlung mit $S_0$, falls dieselbe das Volumen $v_0$ besitzt, so erhalten wir:$$S - S_0 = \frac{E}{\beta \nu} \lg \left( \frac{v}{v_0} \right).$$$S$Radiation entropy$S_0$Radiation entropy$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$v$Volume$v_0$VolumeExplain this equation Show English translation

[pp. 139–140]Align sentencesDiese Gleichung zeigt, daß die Entropie einer monochromatischen Strahlung von genügend kleiner Dichte nach dem gleichen Gesetze mit dem Volumen variiert wie die Entropie eines idealen Gases oder die einer verdünnten Lösung. Show English translationDie soeben gefundene Gleichung soll im folgenden interpretiert werden unter Zugrundelegung des von Hrn. Boltzmann in die Physik eingeführten Prinzips, nach welchem die Entropie eines Systems eine Funktion der Wahrscheinlichkeit seines Zustandes ist. Show English translation

[p. 140]§ 5. Molekulartheoretische Untersuchung der Abhängigkeit der Entropie von Gasen und verdünnten Lösungen vom Volumen.

[p. 140]Align sentencesBei Berechnung der Entropie auf molekulartheoretischem Wege wird häufig das Wort „Wahrscheinlichkeit“ in einer Bedeutung angewendet, die sich nicht mit der Definition der Wahrscheinlichkeit deckt, wie sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gegeben wird. Show English translationInsbesondere werden die „Fälle gleicher Wahrscheinlichkeit“ häufig hypothetisch festgesetzt in Fällen, wo die angewendeten theoretischen Bilder bestimmt genug sind, um statt jener hypothetischen Festsetzung eine Deduktion zu geben. Show English translationIch will in einer besonderen Arbeit zeigen, daß man bei Betrachtungen über thermische Vorgänge mit der sogenannten „statistischen Wahrscheinlichkeit“ vollkommen auskommt und hoffe dadurch eine logische Schwierigkeit zu beseitigen, welche der Durchführung des Boltzmannschen Prinzips noch im Wege steht. Show English translationHier aber soll nur dessen allgemeine Formulierung und dessen Anwendung auf ganz spezielle Fälle gegeben werden. Show English translation

[pp. 140–141]Align sentencesWenn es einen Sinn hat, von der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes eines Systems zu reden, wenn ferner jede Entropiezunahme als ein Übergang zu einem wahrscheinlicheren Zustande aufgefaßt werden kann, so ist die Entropie $S_1$ eines Systems eine Funktion der Wahrscheinlichkeit $W_1$ seines momentanen Zustandes. Show English translationLiegen also zwei nicht miteinander in Wechselwirkung stehende Systeme $S_1$ und $S_2$ vor, so kann man setzen:$$\begin{aligned} S_1 &= \varphi_1(W_1), \\ S_2 &= \varphi_2(W_2). \end{aligned}$$$S_1$Entropy${\phi }_1$Entropy$W_1$Probability of the configuration$S_2$Entropy${\phi }_2$Entropy$W_2$Probability of the configurationExplain this equation Show English translationBetrachtet man diese beiden Systeme als ein einziges System von der Entropie $S$ und der Wahrscheinlichkeit $W$, so ist:$$S = S_1 + S_2 = \varphi(W)$$$S$Entropy$S_1$Entropy$S_2$Entropy$\phi$Entropy$W$Probability of the configurationExplain this equation und$$W = W_1 \cdot W_2.$$$W$Probability of the configuration$W_1$Probability of the configuration$W_2$Probability of the configurationExplain this equation Show English translationDie letztere Beziehung sagt aus, daß die Zustände der beiden Systeme voneinander unabhängige Ereignisse sind. Show English translation

[p. 141]Align sentencesAus diesen Gleichungen folgt:$$\varphi(W_1 \cdot W_2) = \varphi_1(W_1) + \varphi_2(W_2)$$$\phi$Entropy$W_1$Probability of the configuration$W_2$Probability of the configuration${\phi }_1$Entropy${\phi }_2$EntropyExplain this equation und hieraus endlich$$\begin{aligned} \varphi_1(W_1) &= C \lg(W_1) + \text{konst.}, \\ \varphi_2(W_2) &= C \lg(W_2) + \text{konst.}, \\ \varphi(W) &= C \lg(W) + \text{konst.} \end{aligned}$$${\phi }_1$Entropy$W_1$Probability of the configuration$C$Universal entropy constant${\phi }_2$Entropy$W_2$Probability of the configuration$\phi$Entropy$W$Probability of the configurationExplain this equation Show English translationDie Größe $C$ ist also eine universelle Konstante; sie hat, wie aus der kinetischen Gastheorie folgt, den Wert $R/N$, wobei den Konstanten $R$ und $N$ dieselbe Bedeutung wie oben beizulegen ist. Show English translationBedeutet $S_0$ die Entropie bei einem gewissen Anfangszustande eines betrachteten Systems und $W$ die relative Wahrscheinlichkeit eines Zustandes von der Entropie $S$, so erhalten wir also allgemein:$$S - S_0 = \frac{R}{N} \lg W.$$$S$Entropy$S_0$Entropy$R$Gas constant$N$Avogadro's number$W$Probability of the configurationExplain this equation Show English translation

[p. 141]Align sentencesWir behandeln zunächst folgenden Spezialfall. Show English translationIn einem Volumen $v_0$ sei eine Anzahl $(n)$ beweglicher Punkte (z. B. Moleküle) vorhanden, auf welche sich unsere Überlegung beziehen soll. Show English translationAußer diesen können in dem Raume noch beliebig viele andere bewegliche Punkte irgendwelcher Art vorhanden sein. Show English translationÜber das Gesetz, nach dem sich die betrachteten Punkte in dem Raume bewegen, sei nichts vorausgesetzt, als daß in bezug auf diese Bewegung kein Raumteil (und keine Richtung) von den anderen ausgezeichnet sei. Show English translationDie Anzahl der betrachteten (ersterwähnten) beweglichen Punkte sei ferner so klein, daß von einer Wirkung der Punkte aufeinander abgesehen werden kann. Show English translation

[p. 141]Align sentencesDem betrachteten System, welches z. B. ein ideales Gas oder eine verdünnte Lösung sein kann, kommt eine gewisse Entropie $S_0$ zu. Show English translationWir denken uns einen Teil des Volumens $v_0$ von der Größe $v$ und alle $n$ beweglichen Punkte in das Volumen $v$ versetzt, ohne daß an dem System sonst etwas geändert wird. Show English translationDiesem Zustand kommt offenbar ein anderer Wert der Entropie $(S)$ zu, und wir wollen nun die Entropiedifferenz mit Hilfe des Boltzmannschen Prinzips bestimmen. Show English translation

[p. 142]Align sentencesWir fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des letzterwähnten Zustandes relativ zum ursprünglichen? Show English translationOder: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich in einem zufällig herausgegriffenen Zeitmoment alle $n$ in einem gegebenen Volumen $v_0$ unabhängig voneinander beweglichen Punkte (zufällig) in dem Volumen $v$ befinden? Show English translation

[p. 142]Align sentencesFür diese Wahrscheinlichkeit, welche eine „statistische Wahrscheinlichkeit“ ist, erhält man offenbar den Wert:$$W = \left( \frac{v}{v_0} \right)^n ;$$$W$Probability of the configuration$v$Volume$v_0$Volume$n$Number of independent pointsExplain this equation man erhält hieraus durch Anwendung des Boltzmannschen Prinzipes:$$S - S_0 = R \left( \frac{n}{N} \right) \lg \left( \frac{v}{v_0} \right).$$$S$Entropy$S_0$Entropy$R$Gas constant$n$Number of independent points$N$Avogadro's number$v$Volume$v_0$VolumeExplain this equation Show English translation

[p. 142]Align sentencesEs ist bemerkenswert, daß man zur Herleitung dieser Gleichung, aus welcher das Boyle-Gay-Lussacsche Gesetz und das gleichlautende Gesetz des osmotischen Druckes leicht thermodynamisch ableiten kann^[1)]; keine Voraussetzung über das Gesetz zu machen braucht, nachdem sich die Moleküle bewegen. Show English translation

[p. 142]§ 6. Interpretation des Ausdruckes für die Abhängigkeit der Entropie der monochromatischen Strahlung vom Volumen nach dem Boltzmannschen Prinzip.

[pp. 142–143]Align sentencesWir haben in § 4 für die Abhängigkeit der Entropie der monochromatischen Strahlung vom Volumen den Ausdruck gefunden:$$S - S_0 = \frac{E}{\beta \nu} \lg \left( \frac{v}{v_0} \right).$$$S$Radiation entropy$S_0$Radiation entropy$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$v$Volume$v_0$VolumeExplain this equation Show English translationSchreibt man diese Formel in der Gestalt:$$S - S_0 = \frac{R}{N} \lg \left[ \left( \frac{v}{v_0} \right)^{\frac{N}{R} \frac{E}{\beta \nu}} \right]$$$S$Radiation entropy$S_0$Radiation entropy$R$Gas constant$N$Avogadro's number$v$Volume$v_0$Volume$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the lightExplain this equation und vergleicht man sie mit der allgemeinen, das Boltzmannsche Prinzip ausdrückenden Formel$$S - S_0 = \frac{R}{N} \lg W ,$$$S$Radiation entropy$S_0$Radiation entropy$R$Gas constant$N$Avogadro's number$W$Probability of the configurationExplain this equation so gelangt man zu folgendem Schluß: Show English translation

[p. 143]Align sentencesIst monochromatische Strahlung von der Frequenz $\nu$ und der Energie $E$ in das Volumen $v_0$ (durch spiegelnde Wände) eingeschlossen, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich in einem beliebig herausgegriffenen Zeitmoment die ganze Strahlungsenergie in dem Teilvolumen $v$ des Volumens $v_0$ befindet:$$W = \left( \frac{v}{v_0} \right)^{\frac{N}{R} \frac{E}{\beta \nu}}.$$$W$Probability of the configuration$v$Volume$v_0$Volume$N$Avogadro's number$R$Gas constant$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the lightExplain this equation Show English translation

[p. 143]Align sentencesHieraus schließen wir weiter: Show English translation

[p. 143]Align sentencesMonochromatische Strahlung von geringer Dichte (innerhalb des Gültigkeitsbereiches der Wienschen Strahlungsformel) verhält sich in wärmetheoretischer Beziehung so, wie wenn sie aus voneinander unabhängigen Energiequanten von der Größe $R \beta \nu / N$ bestünde. Show English translation

[p. 143]Align sentencesWir wollen noch die mittlere Größe der Energiequanten der „schwarzen Strahlung“ mit der mittleren lebendigen Kraft der Schwerpunktsbewegung eines Moleküls bei der nämlichen Temperatur vergleichen. Show English translationLetztere ist $\frac{3}{2} (R/N) T$, während man für die mittlere Größe des Energiequantums unter Zugrundelegung der Wienschen Formel erhält:$$\frac{\int_0^\infty \alpha \nu^3 e^{-\frac{\beta \nu}{T}} d \nu}{\int_0^\infty \frac{N}{R \beta \nu} \alpha \nu^3 e^{-\frac{\beta \nu}{T}} d \nu} = 3 \frac{R}{N} T.$$$\alpha$Spectral constant A$\nu$Frequency of the light$\beta$Spectral constant B$T$Temperature of the radiation$N$Avogadro's number$R$Gas constantExplain this equation Show English translation

[pp. 143–144]Align sentencesWenn sich nun monochromatische Strahlung (von hinreichend kleiner Dichte) bezüglich der Abhängigkeit der Entropie vom Volumen wie ein diskontinuierliches Medium verhält, welches aus Energiequanten von der Größe $R \beta \nu / N$ besteht, so liegt es nahe, zu untersuchen, ob auch die Gesetze der Erzeugung und Verwandlung des Lichtes so beschaffen sind, wie wenn das Licht aus derartigen Energiequanten bestünde. Show English translationMit dieser Frage wollen wir uns im folgenden beschäftigen. Show English translation

[p. 144]§ 7. Über die Stokessche Regel.

[p. 144]Align sentencesEs werde monochromatisches Licht durch Photolumineszenz in Licht anderer Frequenz verwandelt und gemäß dem eben erlangten Resultat angenommen, daß sowohl das erzeugende wie das erzeugte Licht aus Energiequanten von der Größe $(R/N) \beta \nu$ bestehe, wobei $\nu$ die betreffende Frequenz bedeutet. Show English translationDer Verwandlungsprozeß wird dann folgendermaßen zu deuten sein. Show English translationJedes erzeugende Energiequant von der Frequenz $\nu_1$ wird absorbiert und gibt — wenigstens bei genügend kleiner Verteilungsdichte der erzeugenden Energiequanten — für sich allein Anlaß zur Entstehung eines Lichtquants von der Frequenz $\nu_2$; eventuell können bei der Absorption des erzeugenden Lichtquants auch gleichzeitig Lichtquanten von den Frequenzen $\nu_3$, $\nu_4$ etc. sowie Energie anderer Art (z. B. Wärme) entstehen. Show English translationUnter Vermittelung von was für Zwischenprozessen dies Endresultat zustande kommt, ist gleichgültig. Show English translationWenn die photolumineszierende Substanz nicht als eine beständige Quelle von Energie anzusehen ist, so kann nach dem Energieprinzip die Energie eines erzeugten Energiequants nicht größer sein als die eines erzeugenden Lichtquants; es muß also die Bezeichnung gelten:$$\frac{R}{N} \beta \nu_2 \leqq \frac{R}{N} \beta \nu_1$$$R$Gas constant$N$Avogadro's number$\beta$Spectral constant B${\nu }_2$Frequency of the emitted light${\nu }_1$Frequency of the absorbed lightExplain this equation oder$$\nu_2 \leqq \nu_1 .$$${\nu }_2$Frequency of the emitted light${\nu }_1$Frequency of the absorbed lightExplain this equation Show English translationDies ist die bekannte Stokessche Regel. Show English translation

[p. 144]Align sentencesBesonders hervorzuheben ist, daß bei schwacher Belichtung die erzeugte Lichtmenge der erregenden unter sonst gleichen Umständen nach unserer Auffassung der erregenden Lichtstärke proportional sein muß, da jedes erregende Energiequant einen Elementarprozeß von der oben angedeuteten Art verursachen wird, unabhängig von der Wirkung der anderen erregenden Energiequanten. Show English translationInsbesondere wird es keine untere Grenze für die Intensität des erregenden Lichtes geben, unterhalb welcher das Licht unfähig wäre, lichterregend zu wirken. Show English translation

[p. 145]Align sentencesAbweichungen von der Stokesschen Regel sind nach der dargelegten Auffassung der Phänomene in folgenden Fällen denkbar:
1. wenn die Anzahl der gleichzeitig in Umwandlung begriffenen Energiequanten pro Volumeneinheit so groß ist, daß ein Energiequant des erzeugten Lichtes seine Energie von mehreren erzeugenden Energiequanten erhalten kann;
2. wenn das erzeugende (oder erzeugte) Licht nicht von derjenigen energetischen Beschaffenheit ist, die einer „schwarzen Strahlung“ aus dem Gültigkeitsbereich des Wienschen Gesetzes zukommt, wenn also z. B. das erregende Licht von einem Körper so hoher Temperatur erzeugt ist, daß für die in Betracht kommende Wellenlänge das Wiensche Gesetz nicht mehr gilt. Show English translation

[p. 145]Align sentencesDie letztgenannte Möglichkeit verdient besonderes Interesse. Show English translationNach der entwickelten Auffassung ist es nämlich nicht ausgeschlossen, daß eine „nicht Wiensche Strahlung“ auch in großer Verdünnung sich in energetischer Beziehung anders verhält als eine „schwarze Strahlung“ aus dem Gültigkeitsbereich des Wienschen Gesetzes. Show English translation

[p. 145]§ 8. Über die Erzeugung von Kathodenstrahlen durch Belichtung fester Körper.

[p. 145]Align sentencesDie übliche Auffassung, daß die Energie des Lichtes kontinuierlich über den durchstrahlten Raum verteilt sei, findet bei dem Versuch, die lichtelektrischen Erscheinungen zu erklären, besonders große Schwierigkeiten, welche in einer bahnbrechenden Arbeit von Hrn. Lenard dargelegt sind.^[1)] Show English translation

[pp. 145–146]Align sentencesNach der Auffassung, daß das erregende Licht aus Energiequanten von der Energie $(R/N) \beta \nu$ bestehe, läßt sich die Erzeugung von Kathodenstrahlen durch Licht folgendermaßen auffassen. Show English translationIn die oberflächliche Schicht des Körpers dringen Energiequanten ein, und deren Energie verwandelt sich wenigstens zum Teil in kinetische Energie von Elektronen. Show English translationDie einfachste Vorstellung ist die, daß ein Lichtquant seine ganze Energie an ein einziges Elektron abgibt; wir wollen annehmen, daß dies vorkomme. Show English translationEs soll jedoch nicht ausgeschlossen sein, daß Elektronen die Energie von Lichtquanten nur teilweise aufnehmen. Show English translationEin im Innern des Körpers mit kinetischer Energie versehenes Elektron wird, wenn es die Oberfläche erreicht hat, einen Teil seiner kinetischen Energie eingebüßt haben. Show English translationAußerdem wird anzunehmen sein, daß jedes Elektron beim Verlassen des Körpers eine (für den Körper charakteristische) Arbeit $P$ zu leisten hat, wenn es den Körper verläßt. Show English translationMit der größten Normalgeschwindigkeit werden die unmittelbar an der Oberfläche normal zu dieser erregten Elektronen den Körper verlassen. Show English translationDie kinetische Energie solcher Elektronen ist$$\frac{R}{N} \beta \nu - P .$$$R$Gas constant$N$Avogadro's number$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$P$Escape workExplain this equation Show English translation

[p. 146]Align sentencesIst der Körper zum positiven Potential $\Pi$ geladen und von Leitern vom Potential Null umgeben und ist $\Pi$ eben imstande, einen Elektrizitätsverlust des Körpers zu verhindern, so muß sein:$$\Pi \varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu - P ,$$$\Pi$Stopping potential$\epsilon$Charge of one electron$R$Gas constant$N$Avogadro's number$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$P$Escape workExplain this equation wobei $\varepsilon$ die elektrische Masse des Elektrons bedeutet, oder$$\Pi E = R \beta \nu - P' ,$$$\Pi$Stopping potential$E$Gram-equivalent charge$R$Gas constant$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$P^{\prime }$Work function per gram-equivalentExplain this equation wobei $E$ die Ladung eines Grammäquivalentes eines einwertigen Ions und $P'$ das Potential dieser Menge negativer Elektrizität in bezug auf den Körper bedeutet.^[1)] Show English translation

[p. 146]Align sentencesSetzt man $E = 9{,}6 \cdot 10^3$, so ist $\Pi \cdot 10^{-8}$ das Potential in Volts, welches der Körper bei Bestrahlung im Vakuum annimmt. Show English translation

[p. 146]Align sentencesUm zunächst zu sehen, ob die abgeleitete Beziehung der Größenordnung nach mit der Erfahrung übereinstimmt, setzen wir $P' = 0$, $\nu = 1{,}03 \cdot 10^{15}$ (entsprechend der Grenze des Sonnenspektrums nach dem Ultraviolett hin) und $\beta = 4{,}866 \cdot 10^{-11}$. Show English translationWir erhalten $\Pi \cdot 10^7 = 4{,}3$ Volt, welches Resultat der Größenordnung nach mit den Resultaten von Hrn. Lenard übereinstimmt.^[2)] Show English translation

[p. 146]Align sentencesIst die abgeleitete Formel richtig, so muß $\Pi$, als Funktion der Frequenz des erregenden Lichtes in kartesischen Koordinaten dargestellt, eine Gerade sein, deren Neigung von der Natur der untersuchten Substanz unabhängig ist. Show English translation

[p. 147]Align sentencesMit den von Hrn. Lenard beobachteten Eigenschaften der lichtelektrischen Wirkung steht unsere Auffassung, soweit ich sehe, nicht im Widerspruch. Show English translationWenn jedes Energiequant des erregenden Lichtes unabhängig von allen übrigen seine Energie an Elektronen abgibt, so wird die Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen, d. h. die Qualität der erzeugten Kathodenstrahlung von der Intensität des erregenden Lichtes unabhängig sein; andererseits wird die Anzahl der den Körper verlassenden Elektronen der Intensität des erregenden Lichtes unter sonst gleichen Umständen proportional sein.^[1)] Show English translation

[p. 147]Align sentencesÜber die mutmaßlichen Gültigkeitsgrenzen der erwähnten Gesetzmäßigkeiten wären ähnliche Bemerkungen zu machen wie bezüglich der mutmaßlichen Abweichungen von der Stokesschen Regel. Show English translation

[p. 147]Align sentencesIm vorstehenden ist angenommen, daß die Energie wenigstens eines Teiles der Energiequanten des erzeugenden Lichtes je an ein einziges Elektron vollständig abgegeben werde. Show English translationMacht man diese naheliegende Voraussetzung nicht, so erhält man statt obiger Gleichung die folgende:$$\Pi E + P' \leqq R \beta \nu .$$$\Pi$Stopping potential$E$Gram-equivalent charge$P^{\prime }$Work function per gram-equivalent$R$Gas constant$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the lightExplain this equation Show English translation

[p. 147]Align sentencesFür die Kathodenlumineszenz, welche den inversen Vorgang zu dem eben betrachteten bildet, erhält man durch eine der durchgeführten analoge Betrachtung:$$\Pi E + P' \geqq R \beta \nu .$$$\Pi$Stopping potential$E$Gram-equivalent charge$P^{\prime }$Work function per gram-equivalent$R$Gas constant$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the lightExplain this equation Show English translationBei den von Hrn. Lenard untersuchten Substanzen ist $P E$ stets bedeutend größer als $R \beta \nu$, da die Spannung, welche die Kathodenstrahlen durchlaufen haben müssen, um eben sichtbares Licht erzeugen zu können, in einigen Fällen einige Hundert, in anderen Tausende von Volts beträgt.^[2)] Show English translationEs ist also anzunehmen, daß die kinetische Energie eines Elektrons zur Erzeugung vieler Lichtenergiequanten verwendet wird. Show English translation

[p. 147]§ 9. Über die Ionisierung der Gase durch ultraviolettes Licht.

[pp. 147–148]Align sentencesWir werden anzunehmen haben, daß bei der Ionisierung eines Gases durch ultraviolettes Licht je ein absorbiertes Lichtenergiequant zur Ionisierung je eines Gasmoleküles verwendet wird. Show English translationHieraus folgt zunächst, daß die Ionisierungsarbeit (d. h. die zur Ionisierung theoretisch nötige Arbeit) eines Moleküles nicht größer sein kann als die Energie eines absorbierten wirksamen Lichtenergiequantes. Show English translationBezeichnet man mit $J$ die (theoretische) Ionisierungsarbeit pro Grammäquivalent, so muß also sein:$$R \beta \nu \geqq J .$$$R$Gas constant$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$J$Ionization work per gram-equivalentExplain this equation Show English translationNach Messungen Lenards ist aber die größte wirksame Wellenlänge für Luft ca. $1{,}9 \cdot 10^{-5}$ cm, also$$R \beta \nu = 6{,}4 \cdot 10^{12} \text{ Erg} \geqq J .$$$R$Gas constant$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$J$Ionization work per gram-equivalentExplain this equation Show English translation

[p. 148]Align sentencesEine obere Grenze für die Ionisierungsarbeit gewinnt man auch aus den Ionisierungsspannungen in verdünnten Gasen. Show English translationNach J. Stark^[1)] ist die kleinste gemessene Ionisierungsspannung (an Platinanoden) für Luft ca. 10 Volt.^[2)] Show English translationEs ergibt sich also für $J$ die obere Grenze $9{,}6 \cdot 10^{12}$, welche nahezu gleich der eben gefundenen ist. Show English translationEs ergibt sich noch eine andere Konsequenz, deren Prüfung durch das Experiment mir von großer Wichtigkeit zu sein scheint. Show English translationWenn jedes absorbierte Lichtenergiequant ein Molekül ionisiert, so muß zwischen der absorbierten Lichtmenge $L$ und der Anzahl $j$ der durch dieselbe ionisierten Grammoleküle die Beziehung bestehen:$$j = \frac{L}{R \beta \nu} .$$$j$Ionized gram-molecules$L$Light energy absorbed$R$Gas constant$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the lightExplain this equation Show English translationDiese Beziehung muß, wenn unsere Auffassung der Wirklichkeit entspricht, für jedes Gas gelten, welches (bei der betreffenden Frequenz) keine merkliche nicht von Ionisation begleitete Absorption aufweist. Show English translation