Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen

§ 3. Theorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln.

In einer Flüssigkeit seien suspendierte Teilchen regellos verteilt. Wir wollen den dynamischen Gleichgewichtszustand derselben untersuchen unter der Voraussetzung, daß auf die einzelnen Teilchen eine Kraft $K$ wirkt, welche vom Orte, nicht aber von der Zeit abhängt. Der Einfachheit halber werde angenommen, daß die Kraft überall die Richtung der $X$-Achse habe.

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Es sei $\nu$ die Anzahl der suspendierten Teilchen pro Volumeneinheit, so ist im Falle des thermodynamischen Gleichgewichtes $\nu$ eine solche Funktion von $x$, daß für eine beliebige virtuelle Verrückung $\delta x$ der suspendierten Substanz die Variation der freien Energie verschwindet. Man hat also: $$\delta F = \delta E - T \delta S = 0.$$$F$Free energy$E$System energy$T$Absolute temperature$S$Entropy Es werde angenommen, daß die Flüssigkeit senkrecht zur $X$-Achse den Querschnitt 1 habe und durch die Ebenen $x = 0$ und $x = l$ begrenzt sei. Man hat dann: $$\delta E = -\int_0^l K \nu \delta x d x$$$E$System energy$l$Column length$K$External force per particle$\nu$Number density und $$\delta S = \int_0^l R \frac{\nu}{N} \frac{\partial \delta x}{\partial x} d x = -\frac{R}{N} \int_0^l \frac{\partial \nu}{\partial x} \delta x d x.$$$S$Entropy$l$Column length$R$Gas constant$\nu$Number density$N$Avogadro's number Die gesuchte Gleichgewichtsbedingung ist also: $$-K \nu + \frac{R T}{N} \frac{\partial \nu}{\partial x} = 0$$(1)$K$External force per particle$\nu$Number density$R$Gas constant$T$Absolute temperature$N$Avogadro's number oder $$K \nu - \frac{\partial p}{\partial x} = 0.$$$K$External force per particle$\nu$Number density$p$Osmotic pressure Die letzte Gleichung sagt aus, daß der Kraft $K$ durch osmotische Druckkräfte das Gleichgewicht geleistet wird.

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Die Gleichung (1) benutzen wir, um den Diffusionskoeffizienten der suspendierten Substanz zu ermitteln. Wir können den eben betrachteten dynamischen Gleichgewichtszustand als die Superposition zweier in umgekehrtem Sinne verlaufender Prozesse auffassen, nämlich 1. einer Bewegung der suspendierten Substanz unter der Wirkung der auf jedes einzelne suspendierte Teilchen wirkenden Kraft $K$, 2. eines Diffusionsvorganges, welcher als Folge der ungeordneten Bewegungen der Teilchen infolge der Molekularbewegung der Wärme aufzufassen ist.

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Haben die suspendierten Teilchen Kugelform (Kugelradius $P$) und besitzt die Flüssigkeit den Reibungskoeffizienten $k$, so erteilt die Kraft $K$ dem einzelnen Teilchen die Geschwindigkeit¹⁾ $$\frac{K}{6 \pi k P},$$$K$External force per particle$k$Dynamic viscosity$P$Particle radius und es treten durch die Querschnittseinheit pro Zeiteinheit $$\frac{\nu K}{6 \pi k P}$$$\nu$Number density$K$External force per particle$k$Dynamic viscosity$P$Particle radius Teilchen hindurch.

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Bezeichnet ferner $D$ den Diffusionskoeffizienten der suspendierten Substanz und $\mu$ die Masse eines Teilchens, so treten pro Zeiteinheit infolge der Diffusion $$-D \frac{\partial (\mu \nu)}{\partial x} \quad \text{Gramm}$$$D$Diffusion coefficient$\mu$Particle mass$\nu$Number density oder $$-D \frac{\partial \nu}{\partial x}$$$D$Diffusion coefficient$\nu$Number density Teilchen durch die Querschnittseinheit. Da dynamisches Gleichgewicht herrschen soll, so muß sein: $$\frac{\nu K}{6 \pi k P} - D \frac{\partial \nu}{\partial x} = 0.$$(2)$\nu$Number density$K$External force per particle$k$Dynamic viscosity$P$Particle radius$D$Diffusion coefficient

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Aus den beiden für das dynamische Gleichgewicht gefundenen Bedingungen (1) und (2) kann man den Diffusionskoeffizienten berechnen. Man erhält: $$D = \frac{R T}{N} \frac{1}{6 \pi k P}.$$$D$Diffusion coefficient$R$Gas constant$T$Absolute temperature$N$Avogadro's number$k$Dynamic viscosity$P$Particle radius Der Diffusionskoeffizient der suspendierten Substanz hängt also außer von universellen Konstanten und der absoluten Temperatur nur vom Reibungskoeffizienten der Flüssigkeit und von der Größe der suspendierten Teilchen ab.

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