Annus MirabilisEinstein in 1905
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Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen

Brownian motion: from wandering to a measurable law

Überondiethevonbyderthemolekularkinetischenmolecular-kineticTheorietheoryderof theWärmeheatgeforderterequiredBewegungmotionvonofininruhendenrestingFlüssigkeitenliquidssuspendiertensuspendedTeilchen;particles
vonbyA.A.Einstein.Einstein
[p. 549]
InindieserthisArbeitpapersollis togezeigtshownwerden,bedaßthatnachaccording toderthemolekularkinetischenmolecular-kineticTheorietheoryderof theWärmeheatininFlüssigkeitenliquidssuspendiertesuspendedKörperbodiesvonofmikroskopischmicroscopicallysichtbarervisibleGrößesizeinfolgeas a consequence ofdertheMolekularbewegungmolecular motionderof theWärmeheatBewegungenmotionsvonofsolchersuchGrößemagnitudeausführencarry outmüssen,mustdaßthatdiesetheseBewegungenmotionsleichteasilymitwithdemtheMikroskopmicroscopenachgewiesendetectedwerdenbekönnen.can
Esitistismöglich,possibledaßthatdiethehierherezuto bebehandelndentreatedBewegungenmotionsmitwithderthesogenanntenso-called„BrownschenBrownianMolekularbewegung“molecular motionidentischidenticalsind;arediethemirto meerreichbarenaccessibleAngabenreportsüberaboutletzterethe lattersindarejedochhoweversosoungenau,imprecisedaßthatichImirformhierüberon thiskeinnoUrteiljudgmentbilden↳konnte.could
[p. 549]
Wennifsichcan bediethehierherezuto bebehandelndetreatedBewegungmotionsamttogether withdenthefürforsieitzuto beerwartendenexpectedGesetzmäßigkeitenregularitieswirklichactuallybeobachtenobservedläßt,↳sothenistisdietheklassischeclassicalThermodynamikthermodynamicsschonevenfürformikroskopischmicroscopicallyunterscheidbaredistinguishableRäumespacesnichtnomehrlongeralsasgenauexactlygültigvalidanzusehento be regardedundandesitistisdanntheneineanexakteexactBestimmungdeterminationderof thewahrentrueAtomgrößesize of atomsmöglich.possible
Erwieseshould prove[hypothetical]sich↳[hypothetical]umgekehrtconverselydietheVoraussagepredictiondieserof thisBewegungmotionals↳[hypothetical]unzutreffend,incorrectsothenwärewould be[hypothetical]damittherebyeinaschwerwiegendesweightyArgumentargumentgegenagainstdiethemolekularkinetischemolecular-kineticAuffassungconceptionderof theWärmeheatgegeben.given
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. Erwiese sich als (should prove) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II of sich erweisen als, in a verb-first clause: a condition, 'if ... should prove'
  2. wäre (would be) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II: what would follow, not what is asserted

[p. 549]§ 1. Über den suspendierten Teilchen zuzuschreibenden osmotischen Druck.

§ 1.§ 1ÜberondenthesuspendiertensuspendedTeilchenparticleszuzuschreibendento be ascribedosmotischenosmoticDruck.pressure
[pp. 549–550]
Imin theTeilvolumenpartial volumeV∗V^*einerof aFlüssigkeitliquidvomof theGesamtvolumentotal volumeVVseienlet ... be[supposition]zz-Gramm-Molekülegram-moleculeseinesof aNichtelektrolytennon-electrolytegelöst.dissolved
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. seien (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a supposition, 'let z gram-molecules be dissolved'
Istis separateddastheVolumenvolumeV∗V^*durchbyeineafürfordastheLösungsmittel,solventnichtnotaberbutfürfordiethegelöstedissolvedSubstanzsubstancedurchlässigepermeableWandwallvomfrom thereinenpureLösungsmittelsolventgetrennt,↳sothenwirktactsaufondiesethisWandwallderthesogenannteso-calledosmotischeosmoticDruck,pressurewelcherwhichbeiforgenügendsufficientlygroßenlargeWertenvaluesvonofV∗/zV^*/zdertheGleichungequationgenügt:satisfies
[p. 550]
pV∗=RTz.p V^* = R T z.
[p. 550]
Sindare presenthingegenon the other handstattinstead ofderthegelöstendissolvedSubstanzsubstanceinindemtheTeilvolumenpartial volumeV∗V^*derof theFlüssigkeitliquidkleinesmallsuspendiertesuspendedKörperbodiesvorhanden,↳welchewhichebenfallslikewisenichtnotdurchthroughdiethefürfordastheLösungsmittelsolventdurchlässigepermeableWandwallhindurchtretenpass throughkönnen,cansothenhathasmanonenachaccording todertheklassischenclassicalTheorietheoryderof theThermodynamikthermodynamics—wenigstensat leastbeiwithVernachlässigungneglectderof theunsushierherenichtnotinteressierendeninterestingSchwerkraftgravity—nichtnotzutoerwarten,expectdaßthataufondietheWandwalleineaKraftforcewirke;acts[supposition]dennfordiethe„freiefreeEnergie“energydesof theSystemssystemscheintappearsnachaccording todertheüblichenusualAuffassungviewnichtnotvonondertheLagepositionderof theWandwallundandderof thesuspendiertensuspendedKörperbodiesabzuhängen,to dependsondernbutnuronlyvonondentheGesamtmassentotal massesundandQualitätenqualitiesderof thesuspendiertensuspendedSubstanz,substancederof theFlüssigkeitliquidundandderof theWand,wallsowieas well asvononDruckpressureundandTemperatur.temperature
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  1. wirke (acts) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: what the classical theory would lead one to expect, reported, not asserted
Estherekämenwould come into consideration[hypothetical]allerdingsadmittedlyfürfordietheBerechnungcalculationderof thefreienfreeEnergieenergynochalsoEnergieenergyundandEntropieentropyderof theGrenzflächenboundary surfacesin↳[hypothetical]Betracht↳[hypothetical](Kapillarkräfte);capillary forceshiervonfrom thiskönnencanwirwejedochhoweverabsehen,disregardindemsincebeiindentheinsto be consideredAuge↳zu↳fassenden↳Lagenänderungenchanges of positionderof theWandwallundandderof thesuspendiertensuspendedKörperbodiesÄnderungenchangesderof theGrößesizeundandBeschaffenheitnaturederof theBerührungsflächensurfaces of contactnichtnoteintretenoccurmögen.are supposed to
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. kämen in Betracht (would come into consideration) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II of in Betracht kommen: what would also count, granted and then set aside
[pp. 550–551]
Vomfrom theStandpunktestandpointderof themolekularkinetischenmolecular-kineticWärmetheorietheory of heataus↳kommtcomesmanoneaberhoweverzutoeineraanderendifferentAuffassung.view
Nachaccording todieserthisTheorietheoryunterscheidetdifferssich↳einagelöstesdissolvedMolekülmoleculevonfromeinemasuspendiertensuspendedKörperbodylediglichonlydurchbydietheGröße,sizeundandmanonesiehtseenichtnotein,↳warumwhyeineraAnzahlnumbersuspendierterof suspendedKörperbodiesnichtnotderselbethe sameosmotischeosmoticDruckpressureentsprechencorrespondsollte,should[hypothetical]wieasderto thenämlichensameAnzahlnumbergelösterof dissolvedMoleküle.molecules
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  1. sollte (should) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II of sollen: a question about what should hold
Manonewirdwill have to assumeanzunehmen↳haben,↳daßthatdiethesuspendiertensuspendedKörperbodiesinfolgeas a consequence ofderof theMolekularbewegungmolecular motionderof theFlüssigkeitliquideineawenneven ifauch↳sehrverylangsameslowungeordnetedisorderedBewegungmotioninindertheFlüssigkeitliquidausführen;carry outwerdenare preventedsietheydurchbydietheWandwallverhindert,↳dastheVolumenvolumeV∗V^*zutoverlassen,leavesothenwerdenwillsietheyaufondietheWandwallKräfteforcesausüben,exertebensojustwieasgelöstedissolvedMoleküle.molecules
Sindare presentalsothereforennsuspendiertesuspendedKörperbodiesimin theVolumenvolumeV∗V^*,alsothat isn/V∗=νn/V^* = \nuinindertheVolumeneinheitunit volumevorhanden,↳undandsindare apartbenachbarteneighboringunteramongihnenthemgenügendsufficientlyweitfarvoneinanderfrom one anotherentfernt,↳sothenwirdwillihnento themeinanosmotischerosmoticDruckpressureppentsprechencorrespondvonofdertheGröße:magnitudewobeiwhereNNdietheAnzahlnumberderof theinineinemoneGramm-Molekülgram-moleculeenthaltenencontainedwirklichenactualMolekülemoleculesbedeutet.denotes
[p. 551]
p=RTV∗nN=RTN⋅ν,p = \frac{R T}{V^*} \frac{n}{N} = \frac{R T}{N} \cdot \nu,
Imin thenächstennextParagraphsectionsollis togezeigtshownwerden,bedaßthatdiethemolekularkinetischemolecular-kineticTheorietheoryderof theWärmeheatwirklichactuallyzutodieserthiserweitertenextendedAuffassungviewdesof theosmotischenosmoticDruckespressureführt.leads

[p. 551]§ 2. Der osmotische Druck vom Standpunkte der molekularkinetischen Theorie der Wärme.[1)]

§ 2.§ 2DertheosmotischeosmoticDruckpressurevomfrom theStandpunktestandpointderof themolekularkinetischenmolecular-kineticTheorietheoryderof theWärme.heat
[p. 551]
Sindarep1p2…plp_1 p_2 \ldots p_lZustandsvariablevariables of stateeinesof aphysikalischenphysicalSystems,systemwelchewhichdenthemomentaneninstantaneousZustandstatedesselbenof the samevollkommencompletelybestimmendetermine(z. B.e.g.dietheKoordinatencoordinatesundandGeschwindigkeitskomponentenvelocity componentsallerof allAtomeatomsdesof theSystems)systemundandistis givendasthevollständigecompleteSystemsystemderof theVeränderungsgleichungenequations of changedieserof theseZustandsvariabelnvariables of statevonofdertheFormformgegeben,↳wobeiwhere∑∂φν∂pν=0\sum \frac{\partial \varphi_\nu}{\partial p_\nu} = 0,sothenistisdietheEntropieentropydesof theSystemssystemdurchbydentheAusdruckexpressiongegeben:given
[p. 551]
∂pν∂t=φν(p1…pl)(ν=1,2…l)\frac{\partial p_\nu}{\partial t} = \varphi_\nu(p_1 \ldots p_l) \quad (\nu = 1, 2 \ldots l)
[p. 551]
S=EˉT+2ϰlg⁡∫e−E2ϰTdp1…dpl.S = \frac{\bar{E}}{T} + 2 \varkappa \lg \int e^{-\frac{E}{2 \varkappa T}} d p_1 \ldots d p_l.
HierbeiherebedeutetdenotesTTdietheabsoluteabsoluteTemperatur,temperatureEˉ\bar{E}dietheEnergieenergydesof theSystems,systemEEdietheEnergieenergyalsasFunktionfunctionderof thepνp_\nu.
DastheIntegralintegralistis to be extendedüberoveralleallmitwithdentheBedingungenconditionsdesof theProblemsproblemvereinbarencompatibleWertekombinationencombinations of valuesderof thepνp_\nuzu↳erstrecken.extend
ϰ\varkappaistismitwithdertheobenaboveerwähntenmentionedKonstantenconstantNNdurchbydietheRelationrelation2ϰN=R2 \varkappa N = Rverbunden.connected
FürfordiethefreiefreeEnergieenergyFFerhaltenobtainwirwedaher:therefore
[p. 551]
F=−RNTlg⁡∫e−ENRTdp1…dpl=−RTNlg⁡B.F = -\frac{R}{N} T \lg \int e^{-\frac{E N}{R T}} d p_1 \ldots d p_l = -\frac{R T}{N} \lg B.
[p. 552]
Wirwedenkenimagineuns↳nunnoweineainindemtheVolumenvolumeVVeingeschlosseneenclosedFlüssigkeit;liquidinindemtheTeilvolumenpartial volumeV∗V^*vonofVVmögenlet there be[supposition]sich↳[supposition]nngelöstedissolvedMolekülemoleculesbez.orsuspendiertesuspendedKörperbodiesbefinden,↳[supposition]welchewhichimin theVolumenvolumeV∗V^*durchbyeineasemipermeabelesemipermeableWandwallfestgehaltenheldseien;are[supposition]esare affectedwerdenarehierdurchtherebydietheIntegrationsgrenzenlimits of integrationdesof theinindentheAusdrückenexpressionsfürforSSundandFFauftretendenoccurringIntegralesintegralBBbeeinflußt.affected
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. mögen sich befinden (let there be) · [konjunktiv-i]: supposition: mögen with sich befinden, 'let there be' (literally 'may ... be located')
  2. seien (are) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: still inside the supposition, 'which are held by a semipermeable wall'
DastheGesamtvolumentotal volumederof thegelöstendissolvedMolekülemoleculesbez.orsuspendiertensuspendedKörperbodiesseilet ... be[supposition]kleinsmallgegencompared withV∗V^*.
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a supposition, 'let the total volume be small compared with V*'
DiesthisSystemsystemwerdelet ... be described[supposition]imin theSinnesensederof theerwähntenmentionedTheorietheorydurchbydietheZustandsvariabelnvariables of statep1…plp_1 \ldots p_lvollständigcompletelydargestellt.described[supposition]
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. werde dargestellt (let ... be described) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I of the passive: a supposition, 'let this system be described'
[p. 552]
Wärewere fixed[hypothetical]nunnowauchevendasthemolekularemolecularBildpicturebisdownintoalleallEinzelheitendetailsfestgelegt,↳[hypothetical]sothenbötewould present[hypothetical]dochstilldietheAusrechnungevaluationdesof theIntegralesintegralBBsolchesuchSchwierigkeiten,difficultiesdaßthatanthink ofeineanexakteexactBerechnungcalculationvonofFFkaumhardlygedachtthoughtwerdenbekönnte.could[hypothetical]
List the reasoning words in this sentence (3)
  1. Wäre festgelegt (were fixed) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II, verb first: a condition contrary to fact, 'even if the picture were fixed'
  2. böte (would present) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II of bieten: what would follow even then
  3. könnte (could) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II: what could be done if the picture were fixed
Wirwebrauchenneedjedochhoweverhierherenuronlyzutowissen,knowwiehowFFvonondertheGrößesizedesof theVolumensvolumeV∗V^*abhängt,dependsininwelchemwhichalleallgelöstendissolvedMolekülemoleculesbez.orsuspendiertensuspendedKörperbodies(imin what followsfolgenden↳kurzfor short„Teilchen“particlesgenannt)calledenthaltencontainedsind.are
[pp. 552–553]
Wirwenennencallx1,y1,z1x_1, y_1, z_1dietherechtwinkligenrectangularKoordinatencoordinatesdesof theSchwerpunktescenter of gravitydesof theerstenfirstTeilchens,particlex2,y2,z2x_2, y_2, z_2diethosedesof thezweitensecondetc.,etc.xn,yn,znx_n, y_n, z_ndiethosedesof theletztenlastTeilchensparticleundandgebenassignfürtodietheSchwerpunktecenters of gravityderof theTeilchenparticlesdietheunendlichinfinitelykleinensmallparallelepipedförmigenparallelepiped-shapedGebieteregionsdx1dy1dz1,dx2dy2dz2…dxndyndznd x_1 d y_1 d z_1, d x_2 d y_2 d z_2 \ldots d x_n d y_n d z_n,welchewhichalleallininV∗V^*gelegensituatedseien.are to be[supposition]
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. seien (are to be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a stipulation, 'all of which are to lie in V*'
Gesuchtsoughtseilet ... be[supposition]dertheWertvaluedesof theimin theAusdruckexpressionfürforFFauftretendenoccurringIntegralesintegralmitwithdertheBeschränkung,restrictiondaßthatdietheTeilchenschwerpunktecenters of gravity of the particlesinindentheihnento themsoebenjustzugewiesenenassignedGebietenregionsliegen.lie
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I after the participle: a supposition, 'let the value be sought'
DiesthisIntegralintegralläßtcan besich↳jedenfallsin any caseaufintodietheFormformbringen,bringwobeiwhereJJvonofdx1dy1d x_1 d y_1etc.,etc.sowieas well asvonofV∗V^*,d. h.that isvonofdertheLagepositionderof thesemipermeabelnsemipermeableWand,wallunabhängigindependentist.is
[p. 552]
dB=dx1dy1…dzn⋅Jd B = d x_1 d y_1 \ldots d z_n \cdot J
JJistisaberbutauchalsounabhängigindependentvonofderthespeziellenparticularWahlchoicederof theLagenpositionsderof theSchwerpunktsgebieteregions for the centers of gravityundandvonofdemtheWertevaluevonofV∗V^*,wieassogleichpresentlygezeigtshownwerdenbesoll.is to
Seilet ... be given[supposition]nämlichforeinazweitessecondSystemsystemvonofunendlichinfinitelykleinensmallGebietenregionsfürfordietheTeilchenschwerpunktecenters of gravity of the particlesgegeben↳[supposition]undandbezeichnetdenoteddurchbydx1′dy1′dz2′,dx2′dy2′dz2′…dxn′dyn′dzn′d x'_1 d y'_1 d z'_2, d x'_2 d y'_2 d z'_2 \ldots d x'_n d y'_n d z'_n,welchewhichGebieteregionssichdiffervonfromdenthoseursprünglichoriginallygegebenengivennuronlydurchinihretheirLage,positionnichtnotaberhoweverdurchinihretheirGrößesizeunterscheiden↳mögenare to[supposition]undandebenfallslikewisealleallininV∗V^*enthaltencontainedseien,are to be[supposition]sothengiltholdsanalog:analogouslywobeiwhere
List the reasoning words in this sentence (3)
  1. Sei gegeben (let ... be given) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I, verb first: a supposition, 'let a second system ... be given'
  2. mögen (are to) · [konjunktiv-i]: supposition: mögen, 'are to differ', a stipulation about the second regions
  3. seien (are to be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: still inside the supposition, 'are to be contained in V*'
[p. 552]
dB′=dx1′dy1′…dzn′⋅J′,d B' = d x'_1 d y'_1 \ldots d z'_n \cdot J',
[p. 553]
dx1dy1…dzn=dx1′dy1′…dzn′.d x_1 d y_1 \ldots d z_n = d x'_1 d y'_1 \ldots d z'_n.
Esitistisalso:therefore
[p. 553]
dBdB′=JJ′.\frac{d B}{d B'} = \frac{J}{J'}.
[p. 553]
AusfromdertheinindenthezitiertencitedArbeitenpapersgegebenengivenmolekularenmolecularTheorietheoryderofWärmeheatläßtcan be inferredsich↳aberhoweverleichteasilyfolgern,inferdaßthatdB/Bd B/Bbez.ordB′/Bd B'/Bgleichequalistisderto theWahrscheinlichkeitprobabilitydafür,for thisdaßthatsichlieinateinemanbeliebigarbitrarilyherausgegriffenenchosenZeitpunkteinstantdietheTeilchenschwerpunktecenters of gravity of the particlesinindentheGebietenregions(dx1…dzn)(d x_1 \ldots d z_n)bez.orinindentheGebietenregions(dx1′…dzn′)(d x'_1 \ldots d z'_n)befinden.↳
Sindare independentnunnowdietheBewegungenmotionsderof theeinzelnenindividualTeilchenparticles(mitwithgenügendersufficientAnnäherung)approximationvoneinanderof one anotherunabhängig,independentistis homogeneousdietheFlüssigkeitliquidhomogenhomogeneousundandwirkenactaufondietheTeilchenparticleskeinenoKräfte,forcessothenmüssenmustbeiforgleicherequalGrößesizederof theGebieteregionsdiethedento thebeidentwoGebietssystemensystems of regionszukommendenbelongingWahrscheinlichkeitenprobabilitieseinanderto each othergleichequalsein,besoso thatdaßthatgilt:holds
[p. 553]
dBB=dB′B.\frac{d B}{B} = \frac{d B'}{B}.
AusfromdieserthisundandausfromderthezuletztlastgefundenenfoundGleichungequationfolgtfollowsaberhowever
[p. 553]
J=J′.J = J'.
[p. 553]
Esitistissomitthuserwiesen,proveddaßthatJJwederneithervononV∗V^*nochnorvononx1,y1…znx_1, y_1 \ldots z_nabhängigdependentist.is
DurchbyIntegrationintegrationerhältobtainsmanoneundanddarausfrom thisundand
[p. 553]
B=∫Jdx1…dzn=JV∗nB = \int J d x_1 \ldots d z_n = J V^{*n}
[p. 553]
F=−RTN{lg⁡J+nlg⁡V∗}F = -\frac{R T}{N} \{ \lg J + n \lg V^* \}
[p. 553]
p=−∂F∂V∗=RTV∗nN=RTNν.p = -\frac{\partial F}{\partial V^*} = \frac{R T}{V^*} \frac{n}{N} = \frac{R T}{N} \nu.
[p. 553]
DurchbydiesethisBetrachtungconsiderationistisgezeigt,showndaßthatdietheExistenzexistencedesof theosmotischenosmoticDruckespressureeineaKonsequenzconsequencederof themolekularkinetischenmolecular-kineticTheorietheoryderofWärmeheatist,isundanddaßthatnachaccording todieserthisTheorietheorygelöstedissolvedMolekülemoleculesundandsuspendiertesuspendedKörperbodiesvonofgleicherequalAnzahlnumbersichbehaveinwith respect tobezug↳auf↳osmotischenosmoticDruckpressurebeiat great dilutiongroßergreatVerdünnungdilutionvollkommencompletelygleichalikeverhalten.↳

[p. 554]§ 3. Theorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln.

§ 3.§ 3Theorietheoryderof theDiffusiondiffusionkleinerof smallsuspendiertersuspendedKugeln.spheres
[p. 554]
InineineraFlüssigkeitliquidseienlet ... be[supposition]suspendiertesuspendedTeilchenparticlesregellosirregularlyverteilt.distributed
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. seien (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a supposition, 'let suspended particles be distributed'
WirwewollenshalldenthedynamischendynamicGleichgewichtszustandstate of equilibriumderselbentheiruntersucheninvestigateunterunder the assumptiondertheVoraussetzung,assumptiondaßthataufondietheeinzelnenindividualTeilchenparticleseineaKraftforceKKwirkt,actswelchewhichvomon theOrte,positionnichtnotaberbutvonondertheZeittimeabhängt.depends
Derfor the sake of simplicityEinfachheitsimplicityhalberfor the sake ofwerdelet it be assumed[supposition]angenommen,assumed[supposition]daßthatdietheKraftforceüberalleverywheredietheRichtungdirectionderof theXX-Achseaxishabe.has[supposition]
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. werde angenommen (let it be assumed) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I of the passive: a stipulation, 'let it be assumed'
  2. habe (has) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: inside the stipulation, 'that the force has the direction of the X-axis'
[p. 554]
Eslet ... be[supposition]sei↳[supposition]ν\nudietheAnzahlnumberderof thesuspendiertensuspendedTeilchenparticlesproperVolumeneinheit,unit volumesothenistisimin theFallecasedesofthermodynamischenthermodynamicGleichgewichtesequilibriumν\nueineasolchesuchFunktionfunctionvonofxx,daßthatfürforeineanbeliebigearbitraryvirtuellevirtualVerrückungdisplacementδx\delta xderof thesuspendiertensuspendedSubstanzsubstancedietheVariationvariationderof thefreienfreeEnergieenergyverschwindet.vanishes
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. Es sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: es sei, a supposition, 'let nu be'
Manonehathasalso:therefore
[p. 554]
δF=δE−TδS=0.\delta F = \delta E - T \delta S = 0.
Eslet it be assumed[supposition]werde↳[supposition]angenommen,assumed[supposition]daßthatdietheFlüssigkeitliquidsenkrechtperpendicularzurto theXX-AchseaxisdentheQuerschnittcross-section11habehas[supposition]undanddurchbydietheEbenenplanesx=0x = 0undandx=lx = lbegrenztboundedsei.is[supposition]
List the reasoning words in this sentence (3)
  1. Es werde angenommen (let it be assumed) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I of the passive: a stipulation, 'let it be assumed'
  2. habe (has) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: inside the stipulation, 'that the liquid has cross-section 1'
  3. sei (is) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: inside the stipulation, 'and is bounded by the planes'
Manonehathasdann:thenundand
[p. 554]
δE=−∫0lKνδxdx\delta E = -\int_0^l K \nu \delta x d x
[p. 554]
δS=∫0lRνN∂δx∂xdx=−RN∫0l∂ν∂xδxdx.\delta S = \int_0^l R \frac{\nu}{N} \frac{\partial \delta x}{\partial x} d x = -\frac{R}{N} \int_0^l \frac{\partial \nu}{\partial x} \delta x d x.
DiethegesuchtesoughtGleichgewichtsbedingungequilibrium conditionistisalso:thereforeoderor
[p. 554]
−Kν+RTN∂ν∂x=0-K \nu + \frac{R T}{N} \frac{\partial \nu}{\partial x} = 0
(1)
[p. 554]
Kν−∂p∂x=0.K \nu - \frac{\partial p}{\partial x} = 0.
DietheletztelastGleichungequationsagtstatesaus,↳daßthatdertheKraftforceKKdurchbyosmotischeosmoticDruckkräftepressure forcesdasis held in equilibriumGleichgewichtequilibriumgeleistetheldwird.is
[pp. 554–555]
DietheGleichungequation(1)1benutzenusewir,weumin order to determinedentheDiffusionskoeffizientendiffusion coefficientderof thesuspendiertensuspendedSubstanzsubstancezu↳ermitteln.determine
WirwekönnencandentheebenjustbetrachtetenconsidereddynamischendynamicGleichgewichtszustandstate of equilibriumalsasdietheSuperpositionsuperpositionzweierof twoininumgekehrtemoppositeSinnedirectionverlaufenderrunningProzesseprocessesauffassen,regardnämlichnamely1.1.eineraBewegungmotionderof thesuspendiertensuspendedSubstanzsubstanceunterunderdertheWirkungactionderof theaufonjedeseacheinzelneindividualsuspendiertesuspendedTeilchenparticlewirkendenactingKraftforceKK,2.2.einesaDiffusionsvorganges,process of diffusionwelcherwhichalsasFolgeconsequencederof theungeordnetendisorderedBewegungenmotionsderof theTeilchenparticlesinfolgedue todertheMolekularbewegungmolecular motionderofWärmeheataufzufassento be regardedist.is
[p. 555]
HabenhavediethesuspendiertensuspendedTeilchenparticlesKugelformspherical form(Kugelradiussphere radiusPP)undandbesitzthasdietheFlüssigkeitliquiddentheReibungskoeffizientencoefficient of frictionkk,sothenerteiltimpartsdietheKraftforceKKdemto theeinzelnenindividualTeilchenparticledietheGeschwindigkeitvelocityundandesthere pass throughtreten↳durchthroughdietheQuerschnittseinheitunit of cross-sectionproperZeiteinheitunit timeTeilchenparticleshindurch.↳
[p. 555]
K6πkP,\frac{K}{6 \pi k P},
[p. 555]
νK6πkP\frac{\nu K}{6 \pi k P}
[p. 555]
BezeichnetdenotesfernerfurtherDDdentheDiffusionskoeffizientendiffusion coefficientderof thesuspendiertensuspendedSubstanzsubstanceundandμ\mudietheMassemasseinesof aTeilchens,particlesothentretenpassproperZeiteinheitunit timeinfolgeas a result ofdertheDiffusiondiffusionoderorTeilchenparticlesdurchthroughdietheQuerschnittseinheit.unit of cross-section
[p. 555]
−D∂(μν)∂xGramm-D \frac{\partial (\mu \nu)}{\partial x} \quad \text{Gramm}
[p. 555]
−D∂ν∂x-D \frac{\partial \nu}{\partial x}
DasincedynamischesdynamicGleichgewichtequilibriumherrschenprevailsoll,is tososomußmustsein:be
[p. 555]
νK6πkP−D∂ν∂x=0.\frac{\nu K}{6 \pi k P} - D \frac{\partial \nu}{\partial x} = 0.
(2)
[pp. 555–556]
AusfromdenthebeidentwofürfordasthedynamischedynamicGleichgewichtequilibriumgefundenenfoundBedingungenconditions(1)1undand(2)2kanncanmanonedentheDiffusionskoeffizientendiffusion coefficientberechnen.calculate
Manoneerhält:obtains
[p. 555]
D=RTN16πkP.D = \frac{R T}{N} \frac{1}{6 \pi k P}.
DertheDiffusionskoeffizientdiffusion coefficientderof thesuspendiertensuspendedSubstanzsubstancehängtdependsalsothereforeaußerapart fromvononuniversellenuniversalKonstantenconstantsundanddertheabsolutenabsoluteTemperaturtemperaturenuronlyvomon theReibungskoeffizientencoefficient of frictionderof theFlüssigkeitliquidundandvonondertheGrößesizederof thesuspendiertensuspendedTeilchenparticlesab.↳

[p. 556]§ 4. Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

§ 4.§ 4ÜberondietheungeordnetedisorderedBewegungmotionvonofinineineraFlüssigkeitliquidsuspendiertensuspendedTeilchenparticlesundandderenitsBeziehungrelationzurto theDiffusion.diffusion
[p. 556]
Wirwegehenturnnunnowdazutoüber,↳dietheungeordnetendisorderedBewegungenmotionsgenauermore closelyzutountersuchen,investigatewelche,whichvonbydertheMolekularbewegungmolecular motionderof theWärmeheathervorgerufen,producedAnlaßgive risezutodertheimin theletztenlastParagraphensectionuntersuchteninvestigatedDiffusiondiffusiongeben.↳
[p. 556]
Esitmußmustoffenbarevidentlyangenommenassumedwerden,bedaßthatjedeseacheinzelneindividualTeilchenparticleeineaBewegungmotionausführe,carries out[supposition]welchewhichunabhängigindependentistisvonofdertheBewegungmotionallerof allanderenotherTeilchen;particlesesitwerdenwillauchalsodietheBewegungenmotionseinesof oneundanddesselbenthe sameTeilchensparticleininverschiedenendifferentZeitintervallentime intervalsalsasvoneinanderof one anotherunabhängigeindependentVorgängeprocessesaufzufassento be regardedsein,besolangeas long aswirwediesetheseZeitintervalletime intervalsnichtnotzutookleinsmallgewähltchosendenken.think of
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  1. ausführe (carries out) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: what is assumed, stated as an assumption, not as an observation
[p. 556]
WirweführenintroduceeinaZeitintervalltime intervalτ\tauinintodietheBetrachtungconsiderationein,↳welcheswhichsehrverykleinsmallseiis to be[supposition]gegencompared withdiethebeobachtbarenobservableZeitintervalle,time intervalsaberbutdochstillsosogroß,largedaßthatdietheininzweitwoaufeinanderfolgendensuccessiveZeitintervallentime intervalsτ\tauvonbyeinemaTeilchenparticleausgeführtencarried outBewegungenmotionsalsasvoneinanderof one anotherunabhängigeindependentEreignisseeventsaufzufassento be regardedsind.are
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  1. sei (is to be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a stipulation, 'which is to be very small'
[p. 556]
Seienlet there be[supposition]nunnowinineineraFlüssigkeitliquidimin allganzen↳nnsuspendiertesuspendedTeilchenparticlesvorhanden.↳[supposition]
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  1. Seien vorhanden (let there be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I of vorhanden sein, verb first: a supposition, 'let there be present'
InineinemaZeitintervalltime intervalτ\tauwerdenwillsichincreasedietheXX-Koordinatencoordinatesderof theeinzelnenindividualTeilchenparticlesumbyΔ\Deltavergrößern,↳wobeiwhereΔ\DeltafürforjedeseachTeilchenparticleeinenaanderendifferent(positivenpositiveoderornegativen)negativeWertvaluehat.has
EstherewirdwillfürforΔ\DeltaeinagewissescertainHäufigkeitsgesetzfrequency lawgelten;holddietheAnzahlnumberdnd nderof theTeilchen,particleswelchewhichinindemtheZeitintervalltime intervalτ\taueineaVerschiebungdisplacementerfahren,undergowelchewhichzwischenbetweenΔ\DeltaundandΔ+dΔ\Delta + d \Deltaliegt,lieswirdwilldurchbyeineanGleichungequationvonofdertheFormformausdrückbarexpressiblesein,bewobeiwhereundandφ\varphinuronlyfürforsehrverykleinesmallWertevaluesvonofΔ\DeltavonfromNullzeroverschiedendifferentistisundanddietheBedingungconditionerfüllt.satisfies
[p. 556]
dn=nφ(Δ)dΔd n = n \varphi(\Delta) d \Delta
[p. 556]
∫−∞+∞φ(Δ)dΔ=1\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1
[p. 556]
φ(Δ)=φ(−Δ)\varphi(\Delta) = \varphi(-\Delta)
[p. 557]
Wirweuntersucheninvestigatenun,nowwiehowdertheDiffusionskoeffizientdiffusion coefficientvononφ\varphiabhängt,dependswobeiwherewirweunsrestrict ourselveswiederagainauftodentheFallcasebeschränken,↳daßthatdietheAnzahlnumberν\nuderof theTeilchenparticlesproperVolumeneinheitunit volumenuronlyvononxxundandttabhängt.depends
[pp. 557–558]
Eslet ... be[supposition]sei↳[supposition]ν=f(x,t)\nu = f(x, t)dietheAnzahlnumberderof theTeilchenparticlesproperVolumeneinheit,unit volumewirweberechnencalculatedietheVerteilungdistributionderof theTeilchenparticleszurat theZeittimet+τt + \tauausfromderentheirVerteilungdistributionzurat theZeittimett.
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  1. Es sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: es sei, a supposition, 'let ... be'
AusfromdertheDefinitiondefinitionderof theFunktionfunctionφ(Δ)\varphi(\Delta)ergibtfollowssich↳leichteasilydietheAnzahlnumberderof theTeilchen,particleswelchewhichsichare locatedzurat theZeittimet+τt + \tauzwischenbetweenzweitwozurto theXX-AchseaxissenkrechtenperpendicularEbenenplanesmitwithdentheAbszissenabscissasxxundandx+dxx + d xbefinden.↳
Manoneerhält:obtains
[p. 557]
f(x,t+τ)dx=dx⋅∫Δ=−∞Δ=+∞f(x+Δ)φ(Δ)dΔ.f(x, t + \tau) d x = d x \cdot \int_{\Delta = -\infty}^{\Delta = +\infty} f(x + \Delta) \varphi(\Delta) d \Delta.
Nunnowkönnencanwirweaber,butdasinceτ\tausehrverykleinsmallist,issetzen:set
[p. 557]
f(x,t+τ)=f(x,t)+τ∂f∂t.f(x, t + \tau) = f(x, t) + \tau \frac{\partial f}{\partial t}.
Fernerfurtherentwickelnexpandwirwef(x+Δ,t)f(x + \Delta, t)nachinPotenzenpowersvonofΔ\Delta:
[p. 557]
f(x+Δ,t)=f(x,t)+Δ∂f(x,t)∂x+Δ22!∂2f(x,t)∂x2… in inf.f(x + \Delta, t) = f(x, t) + \Delta \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} + \frac{\Delta^2}{2!} \frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} \ldots \text{ in inf.}
DiesethisEntwicklungexpansionkönnencanwirweunterunderdemtheIntegralintegralvornehmen,carry outdasincezutoletzteremthe latternuronlysehrverykleinesmallWertevaluesvonofΔ\Deltaetwasanythingbeitragen.contribute
Wirweerhalten:obtain
[p. 557]
f+∂f∂t⋅τ=f⋅∫−∞+∞φ(Δ)dΔ+∂f∂x∫−∞+∞Δφ(Δ)dΔ+∂2f∂x2∫−∞+∞Δ22φ(Δ)dΔ…\begin{aligned} f + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \tau = f \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta &+ \frac{\partial f}{\partial x} \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \varphi(\Delta) d \Delta \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta \ldots \end{aligned}
AufondertherechtenrightSeitesideverschwindetvanisheswegenbecause ofφ(x)=φ(−x)\varphi(x) = \varphi(-x)dasthezweite,secondviertefourthetc.etc.Glied,termwährendwhilevonofdemtheersten,firstdritten,thirdfünftenfifthetc.etc.Gliedetermsjedeseachfolgendefollowinggegencompared withdasthevorhergehendeprecedingsehrverykleinsmallist.is
WirweerhaltenobtainausfromdieserthisGleichung,equationindembywirweberücksichtigen,take into accountdaßthatundandindembywirwesetzensettingundandnuronlydastheerstefirstundanddrittethirdGliedtermderof therechtenrightSeitesideberücksichtigen:take into account
[p. 557]
∫−∞+∞φ(Δ)dΔ=1,\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1,
[p. 558]
1τ∫−∞+∞Δ22φ(Δ)dΔ=D\frac{1}{\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta = D
[p. 558]
∂f∂t=D∂2f∂x2.\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.
(1)
[p. 558]
Diesthisistisdiethebekanntewell-knownDifferentialgleichungdifferential equationderof theDiffusion,diffusionundandmanoneerkennt,seesdaßthatDDdertheDiffusionskoeffizientdiffusion coefficientist.is
[p. 558]
AntodiesethisEntwicklungdevelopmentläßtcan be attachedsich↳nochfurthereineanwichtigeimportantÜberlegungconsiderationanknüpfen.↳
Wirwehabenhaveangenommen,assumeddaßthatdietheeinzelnenindividualTeilchenparticlesalleallauftodasselbethe sameKoordinatensystemcoordinate systembezogenreferredseien.were[supposition]
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  1. seien (were) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: what was assumed, reported, not asserted
Diesthisistisjedochhowevernichtnotnötig,necessarydasincedietheBewegungenmotionsderof theeinzelnenindividualTeilchenparticlesvoneinanderof one anotherunabhängigindependentsind.are
WirwewollenshallnunnowdietheBewegungmotionjedesof eachTeilchensparticleauftoeinaKoordinatensystemcoordinate systembeziehen,referdessenwhoseUrsprungoriginmitwithdertheLagepositiondesof theSchwerpunktescenter of gravitydesof thebetreffendenin questionTeilchensparticlezurat theZeittimet=0t = 0zusammenfällt,coincidesmitwithdemtheUnterschiede,differencedaßthatjetztnowf(x,t)dxf(x, t) d xdietheAnzahlnumberderof theTeilchenparticlesbedeutet,denotesderenwhoseXX-KoordinatencoordinatesvonfromdertheZeittimet=0t = 0bistozurtheZeittimet=tt = tumbyeineanGrößeamountgewachsengrownist,haswelchewhichzwischenbetweenxxundandx+dxx + d xliegt.lies
AuchalsoinindiesemthisFallecaseändertchangessich↳alsothereforedietheFunktionfunctionffgemäßaccording toGleichungequation(1).(1)
Fernerfurthermußmustoffenbarevidentlyfürforx≷0x \gtrless 0undandt=0t = 0sein.be
[p. 558]
f(x,t)=0und∫−∞+∞f(x,t)dx=nf(x, t) = 0 \quad \text{und} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t) d x = n
DastheProblem,problemwelcheswhichmitwithdemtheProblemproblemderof theDiffusiondiffusionvonfromeinemaPunktepointaus↳(unterneglectingVernachlässigung↳derof theWechselwirkunginteractionderof thediffundierendendiffusingTeilchen)particlesübereinstimmt,coincidesistisnunnowmathematischmathematicallyvollkommencompletelybestimmt;determinedseineitsLösungsolutionist:is
[p. 558]
f(x,t)=n4πDe−x24Dtt.f(x, t) = \frac{n}{\sqrt{4 \pi D}} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 D t}}}{\sqrt{t}}.
[pp. 558–559]
DietheHäufigkeitsverteilungfrequency distributionderof theinineineranbeliebigenarbitraryZeittimetterfolgtenoccurredLagenänderungenchanges of positionistisalsothereforedieselbethe samewieasdiethatderof thezufälligenrandomFehler,errorswaswhichzutovermutenexpectwar.was
VonofBedeutungimportanceaberhoweverist,iswiehowdietheKonstanteconstantimin theExponentenexponentmitwithdemtheDiffusionskoeffizientendiffusion coefficientzusammenhängt.is connected
WirweberechnencalculatenunnowmitwithHilfehelpdieserof thisGleichungequationdietheVerrückungdisplacementλx\lambda_xininRichtungdirectionderof theXX-Achse,axiswelchewhicheinaTeilchenparticleimon averageMittel↳erfährt,undergoesoderor—genauermore preciselyausgedrücktexpressed—dietheWurzelrootausofdemthearithmetischenarithmeticMittelmeanderof theQuadratesquaresderof theVerrückungendisplacementsininRichtungdirectionderof theXX-Achse;axisesitist:is
[p. 559]
λx=x2‾=2Dt.\lambda_x = \sqrt{\overline{x^2}} = \sqrt{2 D t}.
[p. 559]
DiethemittleremeanVerschiebungdisplacementistisalsothereforeproportionalproportionalderto theQuadratwurzelsquare rootausofdertheZeit.time
Manonekanncanleichteasilyzeigen,showdaßthatdietheWurzelrootausofdemtheMittelwertmean valuederof theQuadratesquaresderof theGesamtverschiebungentotal displacementsderof theTeilchenparticlesdentheWertvalueλx3\lambda_x \sqrt{3}besitzt.has

[p. 559]§ 5. Formel für die mittlere Verschiebung suspendierter Teilchen. Eine neue Methode zur Bestimmung der wahren Größe der Atome.

§ 5.§ 5FormelformulafürfordiethemittleremeanVerschiebungdisplacementsuspendierterof suspendedTeilchen.particlesEineaneuenewMethodemethodzurfor theBestimmungdeterminationderof thewahrentrueGrößesizederof theAtome.atoms
[p. 559]
Inin§ 3§ 3habenfoundwirwefürfordentheDiffusionskoeffizientendiffusion coefficientDDeinesof ainineineraFlüssigkeitliquidininFormformvonofkleinensmallKugelnspheresvomofRadiusradiusPPsuspendiertensuspendedStoffessubstancedentheWertvaluegefunden:found
[p. 559]
D=RTN16πkP.D = \frac{R T}{N} \frac{1}{6 \pi k P}.
Fernerfurtherfandenfoundwirweinin§ 4§ 4fürfordentheMittelwertmean valuederof theVerschiebungendisplacementsderof theTeilchenparticlesininRichtungdirectionderof theXX-AchseaxisinindertheZeittimett:
[p. 559]
λx=2Dt.\lambda_x = \sqrt{2 D t}.
DurchbyEliminiereneliminatingvonofDDerhaltenobtainwir:we
[p. 559]
λx=t⋅RTN13πkP.\lambda_x = \sqrt{t} \cdot \sqrt{\frac{R T}{N} \frac{1}{3 \pi k P}}.
DiesethisGleichungequationläßtshowserkennen,↳wiehowλx\lambda_xvononTT,kkundandPPabhängendependmuß.must
[p. 559]
Wirwewollenshallberechnen,calculatewiehowgroßlargeλx\lambda_xfürforeineoneSekundesecondist,iswennifNNgemäßin accordance withdentheResultatenresultsderof thekinetischenkineticGastheorietheory of gases6⋅10236 \cdot 10^{23}gesetztsetwird;iseslet ... be[supposition]sei↳[supposition]alsasFlüssigkeitliquidWasserwatervonat17°17C.Cgewähltchosen(k=1,35⋅10−2k = 1{,}35 \cdot 10^{-2})undanddertheTeilchendurchmesserdiameter of the particlesseilet ... be[supposition]0,0010,001mm.mm
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. es sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: es sei, a supposition, 'let water at 17° C be chosen as the liquid'
  2. sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a second supposition, 'let the diameter of the particles be 0,001 mm'
Manoneerhält:obtains
[p. 559]
λx=8⋅10−5 cm=0,8 Mikron.\lambda_x = 8 \cdot 10^{-5} \, \text{cm} = 0{,}8 \, \text{Mikron}.
DiethemittleremeanVerschiebungdisplacementinin11Min.minutewärewould be[hypothetical]alsothereforeca.about66Mikron.microns
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. wäre (would be) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II: the displacement the formula would predict under the chosen values
[p. 560]
Umgekehrtconverselyläßtcan besich↳diethegefundenefoundBeziehungrelationzurfor theBestimmungdeterminationvonofNNbenutzen.used
Manoneerhält:obtains
[p. 560]
N=tλx2⋅RT3πkP.N = \frac{t}{\lambda_x^2} \cdot \frac{R T}{3 \pi k P}.
[p. 560]
Mögemay[supposition]essucceedbaldsooneinemaForscherresearchergelingen,succeeddiethehierhereaufgeworfene,raisedfürfordietheTheorietheoryderofWärmeheatwichtigeimportantFragequestionzutoentscheiden!decide
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. Möge (may) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a wish, 'may a researcher soon succeed'
Bern,BernMaiMay1905.1905
(Eingegangenreceived11.11thMaiMay1905.)1905

Footnotes

  1. 1)
    InindiesemthisParagraphsectionsindaredietheArbeitenpapersdesof theVerfassersauthorüberondietheGrundlagenfoundationsderofThermodynamikthermodynamicsalsasbekanntknownvorausgesetztpresupposed(vgl.cf.Ann.Annalend.of thePhys.Physics9.9p.page417.4171902;190211.11p.page170.1701903).1903FürfordastheVerständnisunderstandingderof theResultateresultsderof thevorliegendenpresentArbeitpaperistisdietheKenntnisknowledgejenerof thoseArbeitenpaperssowieas well asdiesesof thisParagraphensectionderof thevorliegendenpresentArbeitpaperentbehrlich.dispensable
  2. 1)
    A.A.Einstein,EinsteinAnn.Annalend.of thePhys.Physics11.11p.page170.1701903.1903
  3. 1)
    Vgl.cf.z. B.e.g.G.G.Kirchhoff,KirchhoffVorlesungenlecturesüberonMechanik,mechanics26.26thVorlesunglecture§ 4.§ 4