On the Motion of Particles Suspended in Liquids at Rest, as Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat

[p. 549]Align sentencesIn dieser Arbeit soll gezeigt werden, daß nach der molekularkinetischen Theorie der Wärme in Flüssigkeiten suspendierte Körper von mikroskopisch sichtbarer Größe infolge der Molekularbewegung der Wärme Bewegungen von solcher Größe ausführen müssen, daß diese Bewegungen leicht mit dem Mikroskop nachgewiesen werden können. Show English translationEs ist möglich, daß die hier zu behandelnden Bewegungen mit der sogenannten „Brownschen Molekularbewegung“ identisch sind; die mir erreichbaren Angaben über letztere sind jedoch so ungenau, daß ich mir hierüber kein Urteil bilden konnte. Show English translation

[p. 549]Align sentencesWenn sich die hier zu behandelnde Bewegung samt den für sie zu erwartenden Gesetzmäßigkeiten wirklich beobachten läßt, so ist die klassische Thermodynamik schon für mikroskopisch unterscheidbare Räume nicht mehr als genau gültig anzusehen und es ist dann eine exakte Bestimmung der wahren Atomgröße möglich. Show English translationErwiese sich umgekehrt die Voraussage dieser Bewegung als unzutreffend, so wäre damit ein schwerwiegendes Argument gegen die molekularkinetische Auffassung der Wärme gegeben. Show English translation

[p. 549]§ 1. Über den suspendierten Teilchen zuzuschreibenden osmotischen Druck.

[pp. 549–550]Align sentencesIm Teilvolumen $V^*$ einer Flüssigkeit vom Gesamtvolumen $V$ seien $z$-Gramm-Moleküle eines Nichtelektrolyten gelöst. Show English translationIst das Volumen $V^*$ durch eine für das Lösungsmittel, nicht aber für die gelöste Substanz durchlässige Wand vom reinen Lösungsmittel getrennt, so wirkt auf diese Wand der sogenannte osmotische Druck, welcher bei genügend großen Werten von $V^*/z$ der Gleichung genügt:$$p V^* = R T z.$$$p$Osmotic pressure$V^{\ast }$Volume$R$Gas constant$T$Absolute temperature$z$Solute amountExplain this equation Show English translation

[p. 550]Align sentencesSind hingegen statt der gelösten Substanz in dem Teilvolumen $V^*$ der Flüssigkeit kleine suspendierte Körper vorhanden, welche ebenfalls nicht durch die für das Lösungsmittel durchlässige Wand hindurchtreten können, so hat man nach der klassischen Theorie der Thermodynamik — wenigstens bei Vernachlässigung der uns hier nicht interessierenden Schwerkraft — nicht zu erwarten, daß auf die Wand eine Kraft wirke; denn die „freie Energie“ des Systems scheint nach der üblichen Auffassung nicht von der Lage der Wand und der suspendierten Körper abzuhängen, sondern nur von den Gesamtmassen und Qualitäten der suspendierten Substanz, der Flüssigkeit und der Wand, sowie von Druck und Temperatur. Show English translationEs kämen allerdings für die Berechnung der freien Energie noch Energie und Entropie der Grenzflächen in Betracht (Kapillarkräfte); hiervon können wir jedoch absehen, indem bei den ins Auge zu fassenden Lagenänderungen der Wand und der suspendierten Körper Änderungen der Größe und Beschaffenheit der Berührungsflächen nicht eintreten mögen. Show English translation

[pp. 550–551]Align sentencesVom Standpunkte der molekularkinetischen Wärmetheorie aus kommt man aber zu einer anderen Auffassung. Show English translationNach dieser Theorie unterscheidet sich ein gelöstes Molekül von einem suspendierten Körper lediglich durch die Größe, und man sieht nicht ein, warum einer Anzahl suspendierter Körper nicht derselbe osmotische Druck entsprechen sollte, wie der nämlichen Anzahl gelöster Moleküle. Show English translationMan wird anzunehmen haben, daß die suspendierten Körper infolge der Molekularbewegung der Flüssigkeit eine wenn auch sehr langsame ungeordnete Bewegung in der Flüssigkeit ausführen; werden sie durch die Wand verhindert, das Volumen $V^*$ zu verlassen, so werden sie auf die Wand Kräfte ausüben, ebenso wie gelöste Moleküle. Show English translationSind also $n$ suspendierte Körper im Volumen $V^*$, also $n/V^* = \nu$ in der Volumeneinheit vorhanden, und sind benachbarte unter ihnen genügend weit voneinander entfernt, so wird ihnen ein osmotischer Druck $p$ entsprechen von der Größe:$$p = \frac{R T}{V^*} \frac{n}{N} = \frac{R T}{N} \cdot \nu,$$$p$Osmotic pressure$R$Gas constant$T$Absolute temperature$V^{\ast }$Volume$n$Particle count$N$Avogadro's number$\nu$Number densityExplain this equation wobei $N$ die Anzahl der in einem Gramm-Molekül enthaltenen wirklichen Moleküle bedeutet. Show English translationIm nächsten Paragraph soll gezeigt werden, daß die molekularkinetische Theorie der Wärme wirklich zu dieser erweiterten Auffassung des osmotischen Druckes führt. Show English translation

[p. 551]§ 2. Der osmotische Druck vom Standpunkte der molekularkinetischen Theorie der Wärme.^[1)]

[p. 551]Align sentencesSind $p_1 p_2 \ldots p_l$ Zustandsvariable eines physikalischen Systems, welche den momentanen Zustand desselben vollkommen bestimmen (z. B. die Koordinaten und Geschwindigkeitskomponenten aller Atome des Systems) und ist das vollständige System der Veränderungsgleichungen dieser Zustandsvariabeln von der Form$$\frac{\partial p_\nu}{\partial t} = \varphi_\nu(p_1 \ldots p_l) \quad (\nu = 1, 2 \ldots l)$$$p_{\nu }$State variable$t$Elapsed time${\phi }_{\nu }$State variable rate$p_1$State variable$p_l$State variableExplain this equation gegeben, wobei $\sum \frac{\partial \varphi_\nu}{\partial p_\nu} = 0$, so ist die Entropie des Systems durch den Ausdruck gegeben:$$S = \frac{\bar{E}}{T} + 2 \varkappa \lg \int e^{-\frac{E}{2 \varkappa T}} d p_1 \ldots d p_l.$$$S$Entropy$\bar{E}$System energy$T$Absolute temperature$\varkappa$Boltzmann constant$E$Microstate energy$p_1$State variable$p_l$State variableExplain this equation Show English translationHierbei bedeutet $T$ die absolute Temperatur, $\bar{E}$ die Energie des Systems, $E$ die Energie als Funktion der $p_\nu$. Show English translationDas Integral ist über alle mit den Bedingungen des Problems vereinbaren Wertekombinationen der $p_\nu$ zu erstrecken. Show English translation$\varkappa$ ist mit der oben erwähnten Konstanten $N$ durch die Relation $2 \varkappa N = R$ verbunden. Show English translationFür die freie Energie $F$ erhalten wir daher:$$F = -\frac{R}{N} T \lg \int e^{-\frac{E N}{R T}} d p_1 \ldots d p_l = -\frac{R T}{N} \lg B.$$$F$Free energy$R$Gas constant$N$Avogadro's number$T$Absolute temperature$E$Microstate energy$p_1$State variable$p_l$State variable$B$Configuration integralExplain this equation Show English translation

[p. 552]Align sentencesWir denken uns nun eine in dem Volumen $V$ eingeschlossene Flüssigkeit; in dem Teilvolumen $V^*$ von $V$ mögen sich $n$ gelöste Moleküle bez. suspendierte Körper befinden, welche im Volumen $V^*$ durch eine semipermeabele Wand festgehalten seien; es werden hierdurch die Integrationsgrenzen des in den Ausdrücken für $S$ und $F$ auftretenden Integrales $B$ beeinflußt. Show English translationDas Gesamtvolumen der gelösten Moleküle bez. suspendierten Körper sei klein gegen $V^*$. Show English translationDies System werde im Sinne der erwähnten Theorie durch die Zustandsvariabeln $p_1 \ldots p_l$ vollständig dargestellt. Show English translation

[p. 552]Align sentencesWäre nun auch das molekulare Bild bis in alle Einzelheiten festgelegt, so böte doch die Ausrechnung des Integrales $B$ solche Schwierigkeiten, daß an eine exakte Berechnung von $F$ kaum gedacht werden könnte. Show English translationWir brauchen jedoch hier nur zu wissen, wie $F$ von der Größe des Volumens $V^*$ abhängt, in welchem alle gelösten Moleküle bez. suspendierten Körper (im folgenden kurz „Teilchen“ genannt) enthalten sind. Show English translation

[pp. 552–553]Align sentencesWir nennen $x_1, y_1, z_1$ die rechtwinkligen Koordinaten des Schwerpunktes des ersten Teilchens, $x_2, y_2, z_2$ die des zweiten etc., $x_n, y_n, z_n$ die des letzten Teilchens und geben für die Schwerpunkte der Teilchen die unendlich kleinen parallelepipedförmigen Gebiete $d x_1 d y_1 d z_1, d x_2 d y_2 d z_2 \ldots d x_n d y_n d z_n$, welche alle in $V^*$ gelegen seien. Show English translationGesucht sei der Wert des im Ausdruck für $F$ auftretenden Integrales mit der Beschränkung, daß die Teilchenschwerpunkte in den ihnen soeben zugewiesenen Gebieten liegen. Show English translationDies Integral läßt sich jedenfalls auf die Form$$d B = d x_1 d y_1 \ldots d z_n \cdot J$$$B$Configuration integral$x_1$Latent position (one dimension)$y_1$Latent position (one dimension)$z_n$Latent position (one dimension)$J$Configuration integral factorExplain this equation bringen, wobei $J$ von $d x_1 d y_1$ etc., sowie von $V^*$, d. h. von der Lage der semipermeabeln Wand, unabhängig ist. Show English translation$J$ ist aber auch unabhängig von der speziellen Wahl der Lagen der Schwerpunktsgebiete und von dem Werte von $V^*$, wie sogleich gezeigt werden soll. Show English translationSei nämlich ein zweites System von unendlich kleinen Gebieten für die Teilchenschwerpunkte gegeben und bezeichnet durch $d x'_1 d y'_1 d z'_2, d x'_2 d y'_2 d z'_2 \ldots d x'_n d y'_n d z'_n$, welche Gebiete sich von den ursprünglich gegebenen nur durch ihre Lage, nicht aber durch ihre Größe unterscheiden mögen und ebenfalls alle in $V^*$ enthalten seien, so gilt analog:$$d B' = d x'_1 d y'_1 \ldots d z'_n \cdot J',$$$B^{\prime }$Configuration integral$x_1^{\prime }$Latent position (one dimension)$y_1^{\prime }$Latent position (one dimension)$z_n^{\prime }$Latent position (one dimension)$J^{\prime }$Configuration integral factorExplain this equation wobei$$d x_1 d y_1 \ldots d z_n = d x'_1 d y'_1 \ldots d z'_n.$$$x_1$Latent position (one dimension)$y_1$Latent position (one dimension)$z_n$Latent position (one dimension)$x_1^{\prime }$Latent position (one dimension)$y_1^{\prime }$Latent position (one dimension)$z_n^{\prime }$Latent position (one dimension)Explain this equation Show English translationEs ist also:$$\frac{d B}{d B'} = \frac{J}{J'}.$$$B$Configuration integral$B^{\prime }$Configuration integral$J$Configuration integral factor$J^{\prime }$Configuration integral factorExplain this equation Show English translation

[p. 553]Align sentencesAus der in den zitierten Arbeiten gegebenen molekularen Theorie der Wärme läßt sich aber leicht folgern^[1)], daß $d B/B$ bez. $d B'/B$ gleich ist der Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich in einem beliebig herausgegriffenen Zeitpunkte die Teilchenschwerpunkte in den Gebieten $(d x_1 \ldots d z_n)$ bez. in den Gebieten $(d x'_1 \ldots d z'_n)$ befinden. Show English translationSind nun die Bewegungen der einzelnen Teilchen (mit genügender Annäherung) voneinander unabhängig, ist die Flüssigkeit homogen und wirken auf die Teilchen keine Kräfte, so müssen bei gleicher Größe der Gebiete die den beiden Gebietssystemen zukommenden Wahrscheinlichkeiten einander gleich sein, so daß gilt:$$\frac{d B}{B} = \frac{d B'}{B}.$$$B$Configuration integral$B^{\prime }$Configuration integralExplain this equation Show English translationAus dieser und aus der zuletzt gefundenen Gleichung folgt aber$$J = J'.$$$J$Configuration integral factor$J^{\prime }$Configuration integral factorExplain this equation Show English translation

[p. 553]Align sentencesEs ist somit erwiesen, daß $J$ weder von $V^*$ noch von $x_1, y_1 \ldots z_n$ abhängig ist. Show English translationDurch Integration erhält man$$B = \int J d x_1 \ldots d z_n = J V^{*n}$$$B$Configuration integral$J$Configuration integral factor$x_1$Latent position (one dimension)$z_n$Latent position (one dimension)$V$Volume$n$Particle countExplain this equation und daraus$$F = -\frac{R T}{N} \{ \lg J + n \lg V^* \}$$$F$Free energy$R$Gas constant$T$Absolute temperature$N$Avogadro's number$J$Configuration integral factor$n$Particle count$V^{\ast }$VolumeExplain this equation und$$p = -\frac{\partial F}{\partial V^*} = \frac{R T}{V^*} \frac{n}{N} = \frac{R T}{N} \nu.$$$p$Osmotic pressure$F$Free energy$V^{\ast }$Volume$R$Gas constant$T$Absolute temperature$n$Particle count$N$Avogadro's number$\nu$Number densityExplain this equation Show English translation

[p. 553]Align sentencesDurch diese Betrachtung ist gezeigt, daß die Existenz des osmotischen Druckes eine Konsequenz der molekularkinetischen Theorie der Wärme ist, und daß nach dieser Theorie gelöste Moleküle und suspendierte Körper von gleicher Anzahl sich in bezug auf osmotischen Druck bei großer Verdünnung vollkommen gleich verhalten. Show English translation

[p. 554]§ 3. Theorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln.

[p. 554]Align sentencesIn einer Flüssigkeit seien suspendierte Teilchen regellos verteilt. Show English translationWir wollen den dynamischen Gleichgewichtszustand derselben untersuchen unter der Voraussetzung, daß auf die einzelnen Teilchen eine Kraft $K$ wirkt, welche vom Orte, nicht aber von der Zeit abhängt. Show English translationDer Einfachheit halber werde angenommen, daß die Kraft überall die Richtung der $X$-Achse habe. Show English translation

[p. 554]Align sentencesEs sei $\nu$ die Anzahl der suspendierten Teilchen pro Volumeneinheit, so ist im Falle des thermodynamischen Gleichgewichtes $\nu$ eine solche Funktion von $x$, daß für eine beliebige virtuelle Verrückung $\delta x$ der suspendierten Substanz die Variation der freien Energie verschwindet. Show English translationMan hat also:$$\delta F = \delta E - T \delta S = 0.$$$F$Free energy$E$System energy$T$Absolute temperature$S$EntropyExplain this equation Show English translationEs werde angenommen, daß die Flüssigkeit senkrecht zur $X$-Achse den Querschnitt 1 habe und durch die Ebenen $x = 0$ und $x = l$ begrenzt sei. Show English translationMan hat dann:$$\delta E = -\int_0^l K \nu \delta x d x$$$E$System energy$l$Column length$K$External force per particle$\nu$Number densityExplain this equation und$$\delta S = \int_0^l R \frac{\nu}{N} \frac{\partial \delta x}{\partial x} d x = -\frac{R}{N} \int_0^l \frac{\partial \nu}{\partial x} \delta x d x.$$$S$Entropy$l$Column length$R$Gas constant$\nu$Number density$N$Avogadro's numberExplain this equation Show English translationDie gesuchte Gleichgewichtsbedingung ist also:$$-K \nu + \frac{R T}{N} \frac{\partial \nu}{\partial x} = 0$$$K$External force per particle$\nu$Number density$R$Gas constant$T$Absolute temperature$N$Avogadro's numberExplain this equation oder$$K \nu - \frac{\partial p}{\partial x} = 0.$$$K$External force per particle$\nu$Number density$p$Osmotic pressureExplain this equation Show English translationDie letzte Gleichung sagt aus, daß der Kraft $K$ durch osmotische Druckkräfte das Gleichgewicht geleistet wird. Show English translation

[pp. 554–555]Align sentencesDie Gleichung (1) benutzen wir, um den Diffusionskoeffizienten der suspendierten Substanz zu ermitteln. Show English translationWir können den eben betrachteten dynamischen Gleichgewichtszustand als die Superposition zweier in umgekehrtem Sinne verlaufender Prozesse auffassen, nämlich
1. einer Bewegung der suspendierten Substanz unter der Wirkung der auf jedes einzelne suspendierte Teilchen wirkenden Kraft $K$,
2. eines Diffusionsvorganges, welcher als Folge der ungeordneten Bewegungen der Teilchen infolge der Molekularbewegung der Wärme aufzufassen ist. Show English translation

[p. 555]Align sentencesHaben die suspendierten Teilchen Kugelform (Kugelradius $P$) und besitzt die Flüssigkeit den Reibungskoeffizienten $k$, so erteilt die Kraft $K$ dem einzelnen Teilchen die Geschwindigkeit^[1)]$$\frac{K}{6 \pi k P},$$$K$External force per particle$k$Dynamic viscosity$P$Particle radiusExplain this equation und es treten durch die Querschnittseinheit pro Zeiteinheit$$\frac{\nu K}{6 \pi k P}$$$\nu$Number density$K$External force per particle$k$Dynamic viscosity$P$Particle radiusExplain this equation Teilchen hindurch. Show English translation

[p. 555]Align sentencesBezeichnet ferner $D$ den Diffusionskoeffizienten der suspendierten Substanz und $\mu$ die Masse eines Teilchens, so treten pro Zeiteinheit infolge der Diffusion$$-D \frac{\partial (\mu \nu)}{\partial x} \quad \text{Gramm}$$$D$Diffusion coefficient$\mu$Particle mass$\nu$Number densityExplain this equation oder$$-D \frac{\partial \nu}{\partial x}$$$D$Diffusion coefficient$\nu$Number densityExplain this equation Teilchen durch die Querschnittseinheit. Show English translationDa dynamisches Gleichgewicht herrschen soll, so muß sein:$$\frac{\nu K}{6 \pi k P} - D \frac{\partial \nu}{\partial x} = 0.$$$\nu$Number density$K$External force per particle$k$Dynamic viscosity$P$Particle radius$D$Diffusion coefficientExplain this equation Show English translation

[pp. 555–556]Align sentencesAus den beiden für das dynamische Gleichgewicht gefundenen Bedingungen (1) und (2) kann man den Diffusionskoeffizienten berechnen. Show English translationMan erhält:$$D = \frac{R T}{N} \frac{1}{6 \pi k P}.$$$D$Diffusion coefficient$R$Gas constant$T$Absolute temperature$N$Avogadro's number$k$Dynamic viscosity$P$Particle radiusExplain this equation Show English translationDer Diffusionskoeffizient der suspendierten Substanz hängt also außer von universellen Konstanten und der absoluten Temperatur nur vom Reibungskoeffizienten der Flüssigkeit und von der Größe der suspendierten Teilchen ab. Show English translation

[p. 556]§ 4. Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

[p. 556]Align sentencesWir gehen nun dazu über, die ungeordneten Bewegungen genauer zu untersuchen, welche, von der Molekularbewegung der Wärme hervorgerufen, Anlaß zu der im letzten Paragraphen untersuchten Diffusion geben. Show English translation

[p. 556]Align sentencesEs muß offenbar angenommen werden, daß jedes einzelne Teilchen eine Bewegung ausführe, welche unabhängig ist von der Bewegung aller anderen Teilchen; es werden auch die Bewegungen eines und desselben Teilchens in verschiedenen Zeitintervallen als voneinander unabhängige Vorgänge aufzufassen sein, solange wir diese Zeitintervalle nicht zu klein gewählt denken. Show English translation

[p. 556]Align sentencesWir führen ein Zeitintervall $\tau$ in die Betrachtung ein, welches sehr klein sei gegen die beobachtbaren Zeitintervalle, aber doch so groß, daß die in zwei aufeinanderfolgenden Zeitintervallen $\tau$ von einem Teilchen ausgeführten Bewegungen als voneinander unabhängige Ereignisse aufzufassen sind. Show English translation

[p. 556]Align sentencesSeien nun in einer Flüssigkeit im ganzen $n$ suspendierte Teilchen vorhanden. Show English translationIn einem Zeitintervall $\tau$ werden sich die $X$-Koordinaten der einzelnen Teilchen um $\Delta$ vergrößern, wobei $\Delta$ für jedes Teilchen einen anderen (positiven oder negativen) Wert hat. Show English translationEs wird für $\Delta$ ein gewisses Häufigkeitsgesetz gelten; die Anzahl $d n$ der Teilchen, welche in dem Zeitintervall $\tau$ eine Verschiebung erfahren, welche zwischen $\Delta$ und $\Delta + d \Delta$ liegt, wird durch eine Gleichung von der Form$$d n = n \varphi(\Delta) d \Delta$$$n$Particle count$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation ausdrückbar sein, wobei$$\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1$$$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation und $\varphi$ nur für sehr kleine Werte von $\Delta$ von Null verschieden ist und die Bedingung$$\varphi(\Delta) = \varphi(-\Delta)$$$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation erfüllt. Show English translation

[p. 557]Align sentencesWir untersuchen nun, wie der Diffusionskoeffizient von $\varphi$ abhängt, wobei wir uns wieder auf den Fall beschränken, daß die Anzahl $\nu$ der Teilchen pro Volumeneinheit nur von $x$ und $t$ abhängt. Show English translation

[pp. 557–558]Align sentencesEs sei $\nu = f(x, t)$ die Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit, wir berechnen die Verteilung der Teilchen zur Zeit $t + \tau$ aus deren Verteilung zur Zeit $t$. Show English translationAus der Definition der Funktion $\varphi(\Delta)$ ergibt sich leicht die Anzahl der Teilchen, welche sich zur Zeit $t + \tau$ zwischen zwei zur $X$-Achse senkrechten Ebenen mit den Abszissen $x$ und $x + d x$ befinden. Show English translationMan erhält:$$f(x, t + \tau) d x = d x \cdot \int_{\Delta = -\infty}^{\Delta = +\infty} f(x + \Delta) \varphi(\Delta) d \Delta.$$$f$Number density$t$Time$\tau$Step interval$\Delta$Displacement in one interval$\phi$Jump densityExplain this equation Show English translationNun können wir aber, da $\tau$ sehr klein ist, setzen:$$f(x, t + \tau) = f(x, t) + \tau \frac{\partial f}{\partial t}.$$$f$Number density$t$Time$\tau$Step intervalExplain this equation Show English translationFerner entwickeln wir $f(x + \Delta, t)$ nach Potenzen von $\Delta$:$$f(x + \Delta, t) = f(x, t) + \Delta \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} + \frac{\Delta^2}{2!} \frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} \ldots \text{ in inf.}$$$f$Number density$\Delta$Displacement in one interval$t$TimeExplain this equation Show English translationDiese Entwicklung können wir unter dem Integral vornehmen, da zu letzterem nur sehr kleine Werte von $\Delta$ etwas beitragen. Show English translationWir erhalten:$$\begin{aligned} f + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \tau = f \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta &+ \frac{\partial f}{\partial x} \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \varphi(\Delta) d \Delta \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta \ldots \end{aligned}$$$f$Number density$t$Time$\tau$Step interval$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation Show English translationAuf der rechten Seite verschwindet wegen $\varphi(x) = \varphi(-x)$ das zweite, vierte etc. Glied, während von dem ersten, dritten, fünften etc. Gliede jedes folgende gegen das vorhergehende sehr klein ist. Show English translationWir erhalten aus dieser Gleichung, indem wir berücksichtigen, daß$$\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1,$$$\phi$Jump density$\Delta$Displacement in one intervalExplain this equation und indem wir$$\frac{1}{\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta = D$$$\tau$Step interval$\Delta$Displacement in one interval$\phi$Jump density$D$Diffusion coefficientExplain this equation setzen und nur das erste und dritte Glied der rechten Seite berücksichtigen:$$\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.$$$f$Number density$t$Time$D$Diffusion coefficientExplain this equation Show English translation

[p. 558]Align sentencesDies ist die bekannte Differentialgleichung der Diffusion, und man erkennt, daß $D$ der Diffusionskoeffizient ist. Show English translation

[p. 558]Align sentencesAn diese Entwicklung läßt sich noch eine wichtige Überlegung anknüpfen. Show English translationWir haben angenommen, daß die einzelnen Teilchen alle auf dasselbe Koordinatensystem bezogen seien. Show English translationDies ist jedoch nicht nötig, da die Bewegungen der einzelnen Teilchen voneinander unabhängig sind. Show English translationWir wollen nun die Bewegung jedes Teilchens auf ein Koordinatensystem beziehen, dessen Ursprung mit der Lage des Schwerpunktes des betreffenden Teilchens zur Zeit $t = 0$ zusammenfällt, mit dem Unterschiede, daß jetzt $f(x, t) d x$ die Anzahl der Teilchen bedeutet, deren $X$-Koordinaten von der Zeit $t = 0$ bis zur Zeit $t = t$ um eine Größe gewachsen ist, welche zwischen $x$ und $x + d x$ liegt. Show English translationAuch in diesem Falle ändert sich also die Funktion $f$ gemäß Gleichung (1). Show English translationFerner muß offenbar für $x \gtrless 0$ und $t = 0$$$f(x, t) = 0 \quad \text{und} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t) d x = n$$$f$Number density$t$Time$n$Particle countExplain this equation sein. Show English translationDas Problem, welches mit dem Problem der Diffusion von einem Punkte aus (unter Vernachlässigung der Wechselwirkung der diffundierenden Teilchen) übereinstimmt, ist nun mathematisch vollkommen bestimmt; seine Lösung ist:$$f(x, t) = \frac{n}{\sqrt{4 \pi D}} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 D t}}}{\sqrt{t}}.$$$f$Number density$t$Time$n$Particle count$D$Diffusion coefficientExplain this equation Show English translation