[p. 892]I. Kinematischer Teil.

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

[p. 910]§ 7. Theorie des Doppelerschen Prinzips und der Aberration.

[p. 910]Align sentencesIm Systeme $K$ befinde sich sehr ferne vom Koordinatenursprung eine Quelle elektrodynamischer Wellen, welche in einem den Koordinatenursprung enthaltenden Raumteil mit genügender Annäherung durch die Gleichungen dargestellt sei:$$\begin{aligned} X &= X_0 \sin \Phi , &\quad L &= L_0 \sin \Phi , \\ Y &= Y_0 \sin \Phi , &\quad M &= M_0 \sin \Phi , &\quad \Phi &= \omega \left( t - \frac{a x + b y + c z}{V} \right) . \\ Z &= Z_0 \sin \Phi , &\quad N &= N_0 \sin \Phi , \end{aligned}$$$X$Electric field, stationary system$X_0$Electric field amplitude (stationary system)$\Phi$Wave phase$L$Magnetic field, stationary system$L_0$Magnetic field amplitude (stationary system)$Y$Electric field, stationary system$Y_0$Electric field amplitude (stationary system)$M$Magnetic field, stationary system$M_0$Magnetic field amplitude (stationary system)$\omega$Wave angular frequency (stationary system)$t$Time in the stationary system$a$Direction cosine (stationary system)$x$Position in the stationary system$b$Direction cosine (stationary system)$y$Position in the stationary system$c$Direction cosine (stationary system)$z$Position in the stationary system$V$Speed of light$Z$Electric field, stationary system$Z_0$Electric field amplitude (stationary system)$N$Magnetic field, stationary system$N_0$Magnetic field amplitude (stationary system)Explain this equation Show English translationHierbei sind $(X_0, Y_0, Z_0)$ und $(L_0, M_0, N_0)$ die Vektoren, welche die Amplitude des Wellenzuges bestimmen, $a$, $b$, $c$ die Richtungskosinus der Wellennormalen. Show English translation

[pp. 910–911]Align sentencesWir fragen nach der Beschaffenheit dieser Wellen, wenn dieselben von einem in dem bewegten System $k$ ruhenden Beobachter untersucht werden. Show English translation— Durch Anwendung der in § 6 gefundenen Transformationsgleichungen für die elektrischen und magnetischen Kräfte und der in § 3 gefundenen Transformationsgleichungen für die Koordinaten und die Zeit erhalten wir unmittelbar:$$\begin{aligned} X' &= X_0 \sin \Phi' , &\qquad L' &= L_0 \sin \Phi' , \\ Y' &= \beta \left( Y_0 - \frac{v}{V} N_0 \right) \sin \Phi' , &\qquad M' &= \beta \left( M_0 + \frac{v}{V} Z_0 \right) \sin \Phi' , \\ Z' &= \beta \left( Z_0 + \frac{v}{V} M_0 \right) \sin \Phi' , &\qquad N' &= \beta \left( N_0 - \frac{v}{V} Y_0 \right) \sin \Phi' , \\ \Phi' &= \omega' \left( \tau - \frac{a' \xi + b' \eta + c' \zeta}{V} \right) , \end{aligned}$$$X^{\prime }$Electric field, moving system$X_0$Electric field amplitude (stationary system)${\Phi }^{\prime }$Wave phase$L^{\prime }$Magnetic field, moving system$L_0$Magnetic field amplitude (stationary system)$Y^{\prime }$Electric field, moving system$\beta$Lorentz factor$Y_0$Electric field amplitude (stationary system)$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$N_0$Magnetic field amplitude (stationary system)$M^{\prime }$Magnetic field, moving system$M_0$Magnetic field amplitude (stationary system)$Z_0$Electric field amplitude (stationary system)$Z^{\prime }$Electric field, moving system$N^{\prime }$Magnetic field, moving system${\omega }^{\prime }$Wave angular frequency (moving system)$\tau$Time in the moving system$a^{\prime }$Direction cosine (moving system)$\xi$Position in the moving system$b^{\prime }$Direction cosine (moving system)$\eta$Position in the moving system$c^{\prime }$Direction cosine (moving system)$\zeta$Position in the moving systemExplain this equation wobei$$\omega' = \omega \beta \left( 1 - a \frac{v}{V} \right) ,$$${\omega }^{\prime }$Wave angular frequency (moving system)$\omega$Wave angular frequency (stationary system)$\beta$Lorentz factor$a$Direction cosine (stationary system)$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation$$a' = \frac{a - \frac{v}{V}}{1 - a \frac{v}{V}} ,$$$a^{\prime }$Direction cosine (moving system)$a$Direction cosine (stationary system)$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation$$b' = \frac{b}{\beta \left( 1 - a \frac{v}{V} \right)} ,$$$b^{\prime }$Direction cosine (moving system)$b$Direction cosine (stationary system)$\beta$Lorentz factor$a$Direction cosine (stationary system)$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation$$c' = \frac{c}{\beta \left( 1 - a \frac{v}{V} \right)}$$$c^{\prime }$Direction cosine (moving system)$c$Direction cosine (stationary system)$\beta$Lorentz factor$a$Direction cosine (stationary system)$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation gesetzt ist. Show English translation

[pp. 911–912]Align sentencesAus der Gleichung für $\omega'$ folgt: Ist ein Beobachter relativ zu einer unendlich fernen Lichtquelle von der Frequenz $\nu$ mit der Geschwindigkeit $v$ derart bewegt, daß die Verbindungslinie „Lichtquelle–Beobachter“ mit der auf ein relativ zur Lichtquelle ruhendes Koordinatensystem bezogenen Geschwindigkeit des Beobachters den Winkel $\varphi$ bildet, so ist die von dem Beobachter wahrgenommene Frequenz $\nu'$ des Lichtes durch die Gleichung gegeben:$$\nu' = \nu \frac{1 - \cos \varphi \frac{v}{V}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} .$$${\nu }^{\prime }$Frequency, moving system$\nu$Frequency, stationary system$\phi$Angle to the motion, stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translationDies ist das Doppelersche Prinzip für beliebige Geschwindigkeiten. Show English translationFür $\varphi = 0$ nimmt die Gleichung die übersichtliche Form an:$$\nu' = \nu \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{V}}{1 + \frac{v}{V}}} .$$${\nu }^{\prime }$Frequency, moving system$\nu$Frequency, stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translationMan sieht, daß — im Gegensatz zu der üblichen Auffassung — für $v = -\infty$, $\nu = \infty$ ist. Show English translation

[p. 912]Align sentencesNennt man $\varphi'$ den Winkel zwischen Wellennormale (Strahlrichtung) im bewegten System und der Verbindungslinie „Lichtquelle–Beobachter“, so nimmt die Gleichung für $a'$ die Form an:$$\cos \varphi' = \frac{\cos \varphi - \frac{v}{V}}{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi} .$$${\phi }^{\prime }$Angle to the motion, moving system$\phi$Angle to the motion, stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translationDiese Gleichung drückt das Aberrationsgesetz in seiner allgemeinsten Form aus. Show English translationIst $\varphi = \pi/2$, so nimmt die Gleichung die einfache Gestalt an:$$\cos \varphi' = - \frac{v}{V} .$$${\phi }^{\prime }$Angle to the motion, moving system$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translation

[p. 912]Align sentencesWir haben nun noch die Amplitude der Wellen, wie dieselbe im bewegten System erscheint, zu suchen. Show English translationNennt man $A$ bez. $A'$ die Amplitude der elektrischen oder magnetischen Kraft im ruhenden bez. im bewegten System gemessen, so erhält man:$$A'^2 = A^2 \frac{\left( 1 - \frac{v}{V} \cos \varphi \right)^2}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} ,$$$A^{\prime }$Light amplitude (moving system)$A$Light amplitude (stationary system)$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$\phi$Angle to the motion, stationary systemExplain this equation welche Gleichung für $\varphi = 0$ in die einfachere übergeht:$$A'^2 = A^2 \frac{1 - \frac{v}{V}}{1 + \frac{v}{V}} .$$$A^{\prime }$Light amplitude (moving system)$A$Light amplitude (stationary system)$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translation

[p. 912]Align sentencesEs folgt aus den entwickelten Gleichungen, daß für einen Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit $V$ einer Lichtquelle näherte, diese Lichtquelle unendlich intensiv erscheinen müßte. Show English translation