Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?

[p. 639]Align sentencesDie Resultate einer jüngst in diesen Annalen von mir publizierten elektrodynamischen Untersuchung^[1)] führen zu einer sehr interessanten Folgerung, die hier abgeleitet werden soll. Show English translation

[p. 639]Align sentencesIch legte dort die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum nebst dem Maxwellschen Ausdruck für die elektromagnetische Energie des Raumes zugrunde und außerdem das Prinzip: Show English translation

[p. 639]Align sentencesDie Gesetze, nach denen sich die Zustände der physikalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Parallel-Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden (Relativitätsprinzip). Show English translation

[p. 639]Align sentencesGestützt auf diese Grundlagen^[2)] leitete ich unter anderem das nachfolgende Resultat ab (l. c. § 8): Show English translation

[p. 639]Align sentencesEin System von ebenen Lichtwellen besitze, auf das Koordinatensystem $(x, y, z)$ bezogen, die Energie $l$; die Strahlrichtung (Wellennormale) bilde den Winkel $\varphi$ mit der $x$-Achse des Systems. Show English translationFührt man ein neues, gegen das System $(x, y, z)$ in gleichförmiger Paralleltranslation begriffenes Koordinatensystem $(\xi, \eta, \zeta)$ ein, dessen Ursprung sich mit der Geschwindigkeit $v$ längs der $x$-Achse bewegt, so besitzt die genannte Lichtmenge — im System $(\xi, \eta, \zeta)$ gemessen — die Energie:$$l^* = l \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}}$$$l^{\ast }$Energy of one light pulse, moving frame$l$Energy of one light pulse, rest frame$v$Signed observer speed$V$Speed of light$\phi$Propagation angle (stationary system)Explain this equation wobei $V$ die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Show English translationVon diesem Resultat machen wir im folgenden Gebrauch. Show English translation

[p. 640]Align sentencesEs befinde sich nun im System $(x, y, z)$ ein ruhender Körper, dessen Energie — auf das System $(x, y, z)$ bezogen — $E_0$ sei. Show English translationRelativ zu dem wie oben mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten System $(\xi, \eta, \zeta)$ sei die Energie des Körpers $H_0$. Show English translation

[pp. 640–641]Align sentencesDieser Körper sende in einer mit der $x$-Achse den Winkel $\varphi$ bildenden Richtung ebene Lichtwellen von der Energie $L/2$ (relativ zu $(x, y, z)$ gemessen) und gleichzeitig eine gleich große Lichtmenge nach der entgegengesetzten Richtung. Show English translationHierbei bleibt der Körper in Ruhe in bezug auf das System $(x, y, z)$. Show English translationFür diesen Vorgang muß das Energieprinzip gelten und zwar (nach dem Prinzip der Relativität) in bezug auf beide Koordinatensysteme. Show English translationNennen wir $E_1$ bez. $H_1$ die Energie des Körpers nach der Lichtaussendung relativ zum System $(x, y, z)$ bez. $(\xi, \eta, \zeta)$ gemessen, so erhalten wir mit Benutzung der oben angegebenen Relation:$$E_0 = E_1 + \left[ \frac{L}{2} + \frac{L}{2} \right],$$$E_0$Body energy before emission, rest description$E_1$Body energy after emission, rest description$L$Emitted energy in the body's rest frameExplain this equation$$\begin{aligned} H_0 &= H_1 + \left[ \frac{L}{2} \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} + \frac{L}{2} \frac{1 + \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} \right] \\ &= H_1 + \frac{L}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}}. \end{aligned}$$$H_0$Body energy before emission, moving description$H_1$Body energy after emission, moving description$L$Emitted energy in the body's rest frame$v$Signed observer speed$V$Speed of light$\phi$Emission angleExplain this equation Show English translationDurch Subtraktion erhält man aus diesen Gleichungen:$$(H_0 - E_0) - (H_1 - E_1) = L \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} - 1 \right\}.$$$H_0$Body energy before emission, moving description$E_0$Body energy before emission, rest description$H_1$Body energy after emission, moving description$E_1$Body energy after emission, rest description$L$Emitted energy in the body's rest frame$v$Signed observer speed$V$Speed of lightExplain this equation Show English translationDie beiden in diesem Ausdruck auftretenden Differenzen von der Form $H - E$ haben einfache physikalische Bedeutungen. Show English translation$H$ und $E$ sind Energiewerte desselben Körpers, bezogen auf zwei relativ zueinander bewegte Koordinatensysteme, wobei der Körper in dem einen System (System $(x, y, z)$) ruht. Show English translationEs ist also klar, daß die Differenz $H - E$ sich von der kinetischen Energie $K$ des Körpers in bezug auf das andere System (System $(\xi, \eta, \zeta)$) nur durch eine additive Konstante $C$ unterscheiden kann, welche von der Wahl der willkürlichen additiven Konstanten der Energien $H$ und $E$ abhängt. Show English translationWir können also setzen:$$\begin{aligned} H_0 - E_0 &= K_0 + C, \\ H_1 - E_1 &= K_1 + C, \end{aligned}$$$H_0$Body energy before emission, moving description$E_0$Body energy before emission, rest description$K_0$Energy of motion before emission$C$Unchanged additive energy offset$H_1$Body energy after emission, moving description$E_1$Body energy after emission, rest description$K_1$Energy of motion after emissionExplain this equation da $C$ sich während der Lichtaussendung nicht ändert. Show English translationWir erhalten also:$$K_0 - K_1 = L \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} - 1 \right\}.$$$K_0$Energy of motion before emission$K_1$Energy of motion after emission$L$Emitted energy in the body's rest frame$v$Signed observer speed$V$Speed of lightExplain this equation Show English translationDie kinetische Energie des Körpers in bezug auf $(\xi, \eta, \zeta)$ nimmt infolge der Lichtaussendung ab, und zwar um einen von den Qualitäten des Körpers unabhängigen Betrag. Show English translationDie Differenz $K_0 - K_1$ hängt ferner von der Geschwindigkeit ebenso ab wie die kinetische Energie des Elektrons (l. c. § 10). Show English translation

[p. 641]Align sentencesUnter Vernachlässigung von Größen vierter und höherer Ordnung können wir setzen:$$K_0 - K_1 = \frac{L}{V^2} \frac{v^2}{2}.$$$K_0$Energy of motion before emission$K_1$Energy of motion after emission$L$Emitted energy in the body's rest frame$V$Speed of light$v$Signed observer speedExplain this equation Show English translationAus dieser Gleichung folgt unmittelbar: Show English translation

[p. 641]Align sentencesGibt ein Körper die Energie $L$ in Form von Strahlung ab, so verkleinert sich seine Masse um $L/V^2$. Show English translationHierbei ist es offenbar unwesentlich, daß die dem Körper entzogene Energie gerade in Energie der Strahlung übergeht, so daß wir zu der allgemeineren Folgerung geführt werden: Show English translation

[p. 641]Align sentencesDie Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um $L$, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um $L/9 \cdot 10^{20}$, wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird. Show English translation

[p. 641]Align sentencesEs ist nicht ausgeschlossen, daß bei Körpern, deren Energieinhalt in hohem Maße veränderlich ist (z. B. bei den Radiumsalzen), eine Prüfung der Theorie gelingen wird. Show English translation

[p. 641]Align sentencesWenn die Theorie den Tatsachen entspricht, so überträgt die Strahlung Trägheit zwischen den emittierenden und absorbierenden Körpern. Show English translation