Parallel edition

Does the Inertia of a Body Depend on Its Energy Content?

By A. Einstein · Annalen der Physik (4) 18, 639–641 (1905).

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Does the Inertia of a Body Depend on Its Energy Content?

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by A. Einstein

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[p. 639]Die Resultate einer jüngst in diesen Annalen von mir publizierten elektrodynamischen Untersuchung^[1)] führen zu einer sehr interessanten Folgerung, die hier abgeleitet werden soll.

English

The results of an electrodynamic investigation recently published by me in these Annalen^[1)] lead to a very interesting conclusion, which is to be derived here.

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[p. 639]Ich legte dort die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum nebst dem Maxwellschen Ausdruck für die elektromagnetische Energie des Raumes zugrunde und außerdem das Prinzip:

English

There I took as a basis the Maxwell-Hertz equations for empty space, together with Maxwell’s expression for the electromagnetic energy of space, and in addition the principle:

Deutsch

[p. 639]Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physikalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Parallel-Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden (Relativitätsprinzip).

English

The laws according to which the states of physical systems change are independent of which of two coordinate systems, in uniform motion of parallel translation relative to each other, these changes of state are referred to (principle of relativity).

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[p. 639]Gestützt auf diese Grundlagen^[2)] leitete ich unter anderem das nachfolgende Resultat ab (l. c. § 8):

English

Relying on these foundations^[2)] I derived, among other things, the following result (l. c. § 8):

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[p. 639]Ein System von ebenen Lichtwellen besitze, auf das Koordinatensystem $(x, y, z)$ bezogen, die Energie $l$ ; die Strahlrichtung (Wellennormale) bilde den Winkel $\varphi$ mit der $x$ -Achse des Systems. Führt man ein neues, gegen das System $(x, y, z)$ in gleichförmiger Paralleltranslation begriffenes Koordinatensystem $(\xi, \eta, \zeta)$ ein, dessen Ursprung sich mit der Geschwindigkeit $v$ längs der $x$ -Achse bewegt, so besitzt die genannte Lichtmenge — im System $(\xi, \eta, \zeta)$ gemessen — die Energie: $l^* = l \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}}$ Energy of one light pulse, moving frameEnergy of one light pulse, rest frameSigned observer speedSpeed of lightPropagation angle (stationary system)Explain this equation wobei $V$ die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Von diesem Resultat machen wir im folgenden Gebrauch.

English

Let a system of plane light waves, referred to the coordinate system $(x, y, z)$ , possess the energy $l$ ; let the ray direction (wave normal) make the angle $\varphi$ with the $x$ -axis of the system. If one introduces a new coordinate system $(\xi, \eta, \zeta)$ , in uniform parallel translation relative to the system $(x, y, z)$ , whose origin moves with the velocity $v$ along the $x$ -axis, then the quantity of light in question — measured in the system $(\xi, \eta, \zeta)$ — possesses the energy: $l^* = l \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}},$ Energy of one light pulse, moving frameEnergy of one light pulse, rest frameSigned observer speedSpeed of lightPropagation angle (stationary system)Explain this equation where $V$ denotes the velocity of light. We shall make use of this result in what follows.

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[p. 640]Es befinde sich nun im System $(x, y, z)$ ein ruhender Körper, dessen Energie — auf das System $(x, y, z)$ bezogen — $E_0$ sei. Relativ zu dem wie oben mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten System $(\xi, \eta, \zeta)$ sei die Energie des Körpers $H_0$ .

English

Now let there be in the system $(x, y, z)$ a body at rest whose energy — referred to the system $(x, y, z)$ — is $E_0$ . Relative to the system $(\xi, \eta, \zeta)$ , moving as above with the velocity $v$ , let the energy of the body be $H_0$ .

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[pp. 640–641]Dieser Körper sende in einer mit der $x$ -Achse den Winkel $\varphi$ bildenden Richtung ebene Lichtwellen von der Energie $L/2$ (relativ zu $(x, y, z)$ gemessen) und gleichzeitig eine gleich große Lichtmenge nach der entgegengesetzten Richtung. Hierbei bleibt der Körper in Ruhe in bezug auf das System $(x, y, z)$ . Für diesen Vorgang muß das Energieprinzip gelten und zwar (nach dem Prinzip der Relativität) in bezug auf beide Koordinatensysteme. Nennen wir $E_1$ bez. $H_1$ die Energie des Körpers nach der Lichtaussendung relativ zum System $(x, y, z)$ bez. $(\xi, \eta, \zeta)$ gemessen, so erhalten wir mit Benutzung der oben angegebenen Relation: $E_0 = E_1 + \left[ \frac{L}{2} + \frac{L}{2} \right],$ Body energy before emission, rest descriptionBody energy after emission, rest descriptionEmitted energy in the body's rest frameExplain this equation $\begin{aligned} H_0 &= H_1 + \left[ \frac{L}{2} \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} + \frac{L}{2} \frac{1 + \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} \right] \\ &= H_1 + \frac{L}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}}. \end{aligned}$ Body energy before emission, moving descriptionBody energy after emission, moving descriptionEmitted energy in the body's rest frameSigned observer speedSpeed of lightEmission angleExplain this equation Durch Subtraktion erhält man aus diesen Gleichungen: $(H_0 - E_0) - (H_1 - E_1) = L \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} - 1 \right\}.$ Body energy before emission, moving descriptionBody energy before emission, rest descriptionBody energy after emission, moving descriptionBody energy after emission, rest descriptionEmitted energy in the body's rest frameSigned observer speedSpeed of lightExplain this equation Die beiden in diesem Ausdruck auftretenden Differenzen von der Form $H - E$ haben einfache physikalische Bedeutungen. $H$ und $E$ sind Energiewerte desselben Körpers, bezogen auf zwei relativ zueinander bewegte Koordinatensysteme, wobei der Körper in dem einen System (System $(x, y, z)$ ) ruht. Es ist also klar, daß die Differenz $H - E$ sich von der kinetischen Energie $K$ des Körpers in bezug auf das andere System (System $(\xi, \eta, \zeta)$ ) nur durch eine additive Konstante $C$ unterscheiden kann, welche von der Wahl der willkürlichen additiven Konstanten der Energien $H$ und $E$ abhängt. Wir können also setzen: $\begin{aligned} H_0 - E_0 &= K_0 + C, \\ H_1 - E_1 &= K_1 + C, \end{aligned}$ Body energy before emission, moving descriptionBody energy before emission, rest descriptionEnergy of motion before emissionUnchanged additive energy offsetBody energy after emission, moving descriptionBody energy after emission, rest descriptionEnergy of motion after emissionExplain this equation da $C$ sich während der Lichtaussendung nicht ändert. Wir erhalten also: $K_0 - K_1 = L \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} - 1 \right\}.$ Energy of motion before emissionEnergy of motion after emissionEmitted energy in the body's rest frameSigned observer speedSpeed of lightExplain this equation Die kinetische Energie des Körpers in bezug auf $(\xi, \eta, \zeta)$ nimmt infolge der Lichtaussendung ab, und zwar um einen von den Qualitäten des Körpers unabhängigen Betrag. Die Differenz $K_0 - K_1$ hängt ferner von der Geschwindigkeit ebenso ab wie die kinetische Energie des Elektrons (l. c. § 10).

English

Let this body emit, in a direction making the angle $\varphi$ with the $x$ -axis, plane light waves of energy $L/2$ (measured relative to $(x, y, z)$ ), and at the same time an equal quantity of light in the opposite direction. In this process the body remains at rest with respect to the system $(x, y, z)$ . The energy principle must hold for this process, and indeed (by the principle of relativity) with respect to both coordinate systems. If we call $E_1$ and $H_1$ the energy of the body after the emission of light, measured relative to the system $(x, y, z)$ and $(\xi, \eta, \zeta)$ respectively, then, using the relation given above, we obtain: $E_0 = E_1 + \left[ \frac{L}{2} + \frac{L}{2} \right],$ Body energy before emission, rest descriptionBody energy after emission, rest descriptionEmitted energy in the body's rest frameExplain this equation $\begin{aligned} H_0 &= H_1 + \left[ \frac{L}{2} \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} + \frac{L}{2} \frac{1 + \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} \right] \\ &= H_1 + \frac{L}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}}. \end{aligned}$ Body energy before emission, moving descriptionBody energy after emission, moving descriptionEmitted energy in the body's rest frameSigned observer speedSpeed of lightEmission angleExplain this equation By subtraction one obtains from these equations: $(H_0 - E_0) - (H_1 - E_1) = L \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} - 1 \right\}.$ Body energy before emission, moving descriptionBody energy before emission, rest descriptionBody energy after emission, moving descriptionBody energy after emission, rest descriptionEmitted energy in the body's rest frameSigned observer speedSpeed of lightExplain this equation The two differences of the form $H - E$ occurring in this expression have simple physical meanings. $H$ and $E$ are energy values of the same body, referred to two coordinate systems moving relative to each other, the body being at rest in one of the two systems (system $(x, y, z)$ ). It is therefore clear that the difference $H - E$ can differ from the kinetic energy $K$ of the body with respect to the other system (system $(\xi, \eta, \zeta)$ ) only by an additive constant $C$ , which depends on the choice of the arbitrary additive constants of the energies $H$ and $E$ . We can therefore set: $\begin{aligned} H_0 - E_0 &= K_0 + C, \\ H_1 - E_1 &= K_1 + C, \end{aligned}$ Body energy before emission, moving descriptionBody energy before emission, rest descriptionEnergy of motion before emissionUnchanged additive energy offsetBody energy after emission, moving descriptionBody energy after emission, rest descriptionEnergy of motion after emissionExplain this equation since $C$ does not change during the emission of light. We therefore obtain: $K_0 - K_1 = L \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{V}\right)^2}} - 1 \right\}.$ Energy of motion before emissionEnergy of motion after emissionEmitted energy in the body's rest frameSigned observer speedSpeed of lightExplain this equation The kinetic energy of the body with respect to $(\xi, \eta, \zeta)$ decreases as a result of the emission of light, and indeed by an amount that is independent of the properties of the body. The difference $K_0 - K_1$ , moreover, depends on the velocity in the same way as the kinetic energy of the electron (l. c. § 10).

Deutsch

[p. 641]Unter Vernachlässigung von Größen vierter und höherer Ordnung können wir setzen: $K_0 - K_1 = \frac{L}{V^2} \frac{v^2}{2}.$ Energy of motion before emissionEnergy of motion after emissionEmitted energy in the body's rest frameSpeed of lightSigned observer speedExplain this equation Aus dieser Gleichung folgt unmittelbar:

English

Neglecting quantities of the fourth and higher orders, we can set: $K_0 - K_1 = \frac{L}{V^2} \frac{v^2}{2}.$ Energy of motion before emissionEnergy of motion after emissionEmitted energy in the body's rest frameSpeed of lightSigned observer speedExplain this equation From this equation it follows immediately:

Deutsch

[p. 641]Gibt ein Körper die Energie $L$ in Form von Strahlung ab, so verkleinert sich seine Masse um $L/V^2$ . Hierbei ist es offenbar unwesentlich, daß die dem Körper entzogene Energie gerade in Energie der Strahlung übergeht, so daß wir zu der allgemeineren Folgerung geführt werden:

English

If a body gives off the energy $L$ in the form of radiation, its mass diminishes by $L/V^2$ . Here it is evidently immaterial that the energy withdrawn from the body turns into energy of radiation in particular, so that we are led to the more general conclusion:

Deutsch

[p. 641]Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um $L$ , so ändert sich die Masse in demselben Sinne um $L/9 \cdot 10^{20}$ , wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird.

English

The mass of a body is a measure of its energy content; if the energy changes by $L$ , the mass changes in the same sense by $L/9 \cdot 10^{20}$ , when the energy is measured in ergs and the mass in grams.

Deutsch

[p. 641]Es ist nicht ausgeschlossen, daß bei Körpern, deren Energieinhalt in hohem Maße veränderlich ist (z. B. bei den Radiumsalzen), eine Prüfung der Theorie gelingen wird.

English

It is not ruled out that with bodies whose energy content is variable to a high degree (e.g. with the radium salts) a test of the theory will succeed.

Deutsch

[p. 641]Wenn die Theorie den Tatsachen entspricht, so überträgt die Strahlung Trägheit zwischen den emittierenden und absorbierenden Körpern.

English

If the theory corresponds to the facts, radiation transfers inertia between the emitting and absorbing bodies.

Deutsch

Bern, September 1905.

English

Bern, September 1905.

Deutsch

(Eingegangen 27. September 1905.)

English

(Received 27 September 1905.)

Fußnoten

Deutsch

1) A. Einstein, Ann. d. Phys. 17. p. 891. 1905. ↩

English

Deutsch

2) Das dort benutzte Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist natürlich in den Maxwellschen Gleichungen enthalten. ↩

English