[p. 892]I. Kinematischer Teil.

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

[p. 917]§ 10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons.

[p. 917]Align sentencesIn einem elektromagnetischen Felde bewege sich ein punktförmiges, mit einer elektrischen Ladung $\varepsilon$ versehenes Teilchen (im folgenden „Elektron“ genannt), über dessen Bewegungsgesetz wir nur folgendes annehmen: Show English translation

[p. 917]Align sentencesRuht das Elektron in einer bestimmten Epoche, so erfolgt in dem nächsten Zeitteilchen die Bewegung des Elektrons nach den Gleichungen$$\begin{aligned} \mu \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X \\ \mu \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon Y \\ \mu \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon Z , \end{aligned}$$$\mu$Electron mass$x$Position in the stationary system$t$Time in the stationary system$\epsilon$Electron charge$X$Electric field, stationary system$y$Position in the stationary system$Y$Electric field, stationary system$z$Position in the stationary system$Z$Electric field, stationary systemExplain this equation wobei $x$, $y$, $z$ die Koordinaten des Elektrons, $\mu$ die Masse des Elektrons bedeutet, sofern dasselbe langsam bewegt ist. Show English translation

[p. 917]Align sentencesEs besitze nun zweitens das Elektron in einer gewissen Zeitepoche die Geschwindigkeit $v$. Show English translationWir suchen das Gesetz, nach welchem sich das Elektron im unmittelbar darauf folgenden Zeitteilchen bewegt. Show English translation

[pp. 917–918]Align sentencesOhne die Allgemeinheit der Betrachtung zu beeinflussen, können und wollen wir annehmen, daß das Elektron in dem Momente, wo wir es ins Auge fassen, sich im Koordinatensprung befinde und sich längs der $X$-Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewege. Show English translationEs ist dann einleuchtend, daß das Elektron im genannten Momente ($t = 0$) relativ zu einem längs der $X$-Achse mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ parallelbewegten Koordinatensystem $k$ ruht. Show English translation

[p. 918]Align sentencesAus der oben gemachten Voraussetzung in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip ist klar, daß sich das Elektron in der unmittelbar folgenden Zeit (für kleine Werte von $t$) vom System $k$ aus betrachtet nach den Gleichungen bewegt:$$\begin{aligned} \mu \frac{d^2 \xi}{d \tau^2} &= \varepsilon X' , \\ \mu \frac{d^2 \eta}{d \tau^2} &= \varepsilon Y' , \\ \mu \frac{d^2 \zeta}{d \tau^2} &= \varepsilon Z' , \end{aligned}$$$\mu$Electron mass$\xi$Position in the moving system$\tau$Time in the moving system$\epsilon$Electron charge$X^{\prime }$Electric field, moving system$\eta$Position in the moving system$Y^{\prime }$Electric field, moving system$\zeta$Position in the moving system$Z^{\prime }$Electric field, moving systemExplain this equation wobei die Zeichen $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $\tau$, $X'$, $Y'$, $Z'$ sich auf das System $k$ beziehen. Show English translationSetzen wir noch fest, daß für $t = x = y = z = 0$ $\tau = \xi = \eta = \zeta = 0$ sein soll, so gelten die Transformationsgleichungen der §§ 3 und 6, so daß gilt:$$\begin{aligned} \tau &= \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \beta (x - v t) , &\qquad X' &= X , \\ \eta &= y , &\qquad Y' &= \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \zeta &= z , &\qquad Z' &= \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned}$$$\tau$Time in the moving system$\beta$Lorentz factor$t$Time in the stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$x$Position in the stationary system$\xi$Position in the moving system$X^{\prime }$Electric field, moving system$X$Electric field, stationary system$\eta$Position in the moving system$y$Position in the stationary system$Y^{\prime }$Electric field, moving system$Y$Electric field, stationary system$N$Magnetic field, stationary system$\zeta$Position in the moving system$z$Position in the stationary system$Z^{\prime }$Electric field, moving system$Z$Electric field, stationary system$M$Magnetic field, stationary systemExplain this equation Show English translation

[p. 918]Align sentencesMit Hilfe dieser Gleichungen transformieren wir die obigen Bewegungsgleichungen vom System $k$ auf das System $K$ und erhalten:$$\left\{ \begin{aligned} \frac{d^2 x}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta^3} X , \\ \frac{d^2 y}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \frac{d^2 z}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned} \right.$$$x$Position in the stationary system$t$Time in the stationary system$\epsilon$Electron charge$\mu$Electron mass$\beta$Lorentz factor$X$Electric field, stationary system$y$Position in the stationary system$Y$Electric field, stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$N$Magnetic field, stationary system$z$Position in the stationary system$Z$Electric field, stationary system$M$Magnetic field, stationary systemExplain this equation Show English translation

[pp. 918–919]Align sentencesWir fragen nun in Anlehnung an die übliche Betrachtungsweise nach der „longitudinalen“ und „transversalen“ Masse des bewegten Elektrons. Show English translationWir schreiben die Gleichungen (A) in der Form$$\begin{aligned} \mu \beta^3 \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X = \varepsilon X' , \\ \mu \beta^2 \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) = \varepsilon Y' , \\ \mu \beta^3 \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) = \varepsilon Z' \end{aligned}$$$\mu$Electron mass$\beta$Lorentz factor$x$Position in the stationary system$t$Time in the stationary system$\epsilon$Electron charge$X$Electric field, stationary system$X^{\prime }$Electric field, moving system$y$Position in the stationary system$Y$Electric field, stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$N$Magnetic field, stationary system$Y^{\prime }$Electric field, moving system$z$Position in the stationary system$Z$Electric field, stationary system$M$Magnetic field, stationary system$Z^{\prime }$Electric field, moving systemExplain this equationSo printed. Read: μ β² d²z/dt² = ε β (Z + (v/V) M) = ε Z'. The display that rewrites equations (A) prints three rows, and the z row's coefficient carries β³ where the paper's own steps give β². The record in the correction log und bemerken zunächst, daß $\varepsilon X'$, $\varepsilon Y'$, $\varepsilon Z'$ die Komponenten der auf das Elektron wirkenden ponderomotorischen Kraft sind, und zwar in einem in diesem Moment mit dem Elektron mit gleicher Geschwindigkeit wie dieses bewegten System betrachtet. Show English translation(Diese Kraft könnte beispielsweise mit einer im letzten System ruhenden Federwage gemessen werden.) Show English translationWenn wir nun diese Kraft schlechtweg „die auf das Elektron wirkende Kraft“ nennen und die Gleichung$$\text{Massenzahl} \times \text{Beschleunigungszahl} = \text{Kraftzahl}$$Explain this equation aufrechterhalten, und wenn wir ferner festsetzen, daß die Beschleunigungen im ruhenden System $K$ gemessen werden sollen, so erhalten wir aus obigen Gleichungen:$$\text{Longitudinale Masse} = \frac{\mu}{\left( \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right)^3} ,$$$\mu$Electron mass$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation$$\text{Transversale Masse} = \frac{\mu}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} .$$$\mu$Electron mass$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translation

[p. 919]Align sentencesNatürlich würde man bei anderer Definition der Kraft und der Beschleunigung andere Zahlen für die Massen erhalten; man ersieht daraus, daß man bei der Vergleichung verschiedener Theorien der Bewegung des Elektrons sehr vorsichtig verfahren muß. Show English translation

[p. 919]Align sentencesWir bemerken, daß diese Resultate über die Masse auch für die ponderabeln materiellen Punkte gilt; denn ein ponderabler materieller Punkt kann durch Zufügen einer beliebig kleinen elektrischen Ladung zu einem Elektron (in unserem Sinne) gemacht werden. Show English translation

[pp. 919–920]Align sentencesWir bestimmen die kinetische Energie des Elektrons. Show English translationBewegt sich ein Elektron vom Koordinatenursprung des Systems $K$ aus mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 beständig auf der $X$-Achse unter der Wirkung einer elektrostatischen Kraft $X$, so ist klar, daß die dem elektrostatischen Felde entzogene Energie den Wert $\int \varepsilon X d x$ hat. Show English translationDa das Elektron langsam beschleunigt sein soll und infolgedessen keine Energie in Form von Strahlung abgeben möge, so muß die dem elektrostatischen Felde entzogene Energie gleich der Bewegungsenergie $W$ des Elektrons gesetzt werden. Show English translationMan erhält daher, indem man beachtet, daß während des ganzen betrachteten Bewegungsvorganges die erste der Gleichungen (A) gilt:$$W = \int \varepsilon X d x = \int_0^v \beta^3 v d v = \mu V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$$$W$Kinetic energy$\epsilon$Electron charge$X$Electric field, stationary system$x$Position in the stationary system$v$Speed of the moving system$\beta$Lorentz factor$\mu$Electron mass$V$Speed of lightExplain this equationSo printed. Read: W = ∫ ε X dx = μ ∫₀^v β³ v dv = μ V² { 1/√(1-(v/V)²) - 1 }. The middle member omits the mass factor μ carried by the first equation of system (A) (d²x/dt² = (ε/μ) β⁻³ X), so as printed the middle member does not equal the outer two. The record in the correction log Show English translation

[p. 920]Align sentences$W$ wird also für $v = V$ unendlich groß. Show English translationÜberlichtgeschwindigkeiten haben — wie bei unseren früheren Resultaten — keine Existenzmöglichkeit. Show English translation

[p. 920]Align sentencesAuch dieser Ausdruck für die kinetische Energie muß dem oben angeführten Argument zufolge ebenso für ponderable Massen gelten. Show English translation

[p. 920]Align sentencesWir wollen nun die aus dem Gleichungssystem (A) resultierenden, dem Experimente zugänglichen Eigenschaften der Bewegung des Elektrons aufzählen. Show English translation

[p. 920]Align sentences1. Aus der zweiten Gleichung des Systems (A) folgt, daß eine elektrische Kraft $Y$ und eine magnetische Kraft $N$ dann gleich stark ablenkend wirken auf ein mit der Geschwindigkeit $v$ bewegtes Elektron, wenn $Y = N \cdot v/V$. Show English translationMan ersieht also, daß die Ermittelung der Geschwindigkeit des Elektrons aus dem Verhältnis der magnetischen Ablenkbarkeit $A_m$ und der elektrischen Ablenkbarkeit $A_e$ nach unserer Theorie für beliebige Geschwindigkeiten möglich ist durch Anwendung des Gesetzes:$$\frac{A_m}{A_e} = \frac{v}{V} .$$$A_m$Magnetic deflectability$A_e$Electric deflectability$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translation

[p. 920]Align sentencesDiese Beziehung ist der Prüfung durch das Experiment zugänglich, da die Geschwindigkeit des Elektrons auch direkt, z. B. mittels rasch oszillierender elektrischer und magnetischer Felder, gemessen werden kann. Show English translation

[pp. 920–921]Align sentences2. Aus der Ableitung für die kinetische Energie des Elektrons folgt, daß zwischen der durchlaufenen Potentialdifferenz und der erlangten Geschwindigkeit $v$ des Elektrons die Beziehung gelten muß:$$P = \int X d x = \frac{\mu}{\varepsilon} V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$$$P$Accelerating voltage$X$Electric field, stationary system$x$Position in the stationary system$\mu$Electron mass$\epsilon$Electron charge$V$Speed of light$v$Speed of the moving systemExplain this equation Show English translation

[p. 921]Align sentences3. Wir berechnen den Krümmungsradius $R$ der Bahn, wenn eine senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons wirkende magnetische Kraft $N$ (als einzige ablenkende Kraft) vorhanden ist. Show English translationAus der zweiten der Gleichungen (A) erhalten wir:$$- \frac{d^2 y}{d t^2} = \frac{v^2}{R} = \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{v}{V} N \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}$$$y$Position in the stationary system$t$Time in the stationary system$v$Speed of the moving system$R$Radius of the circular path$\epsilon$Electron charge$\mu$Electron mass$V$Speed of light$N$Magnetic field, stationary systemExplain this equation oder$$R = V^2 \frac{\mu}{\varepsilon} \cdot \frac{\frac{v}{V}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} \cdot \frac{1}{N} .$$$R$Radius of the circular path$V$Speed of light$\mu$Electron mass$\epsilon$Electron charge$v$Speed of the moving system$N$Magnetic field, stationary systemExplain this equation Show English translation

[p. 921]Align sentencesDiese drei Beziehungen sind ein vollständiger Ausdruck für die Gesetze, nach denen sich gemäß vorliegender Theorie das Elektron bewegen muß. Show English translation