Parallel edition

On the Electrodynamics of Moving Bodies

By A. Einstein · Annalen der Physik (4) 17, 891–921 (1905).

Deutsch

English

Deutsch

English

by A. Einstein

Deutsch

[p. 892]I. Kinematischer Teil.

English

I. Kinematical Part.

Deutsch

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

English

II. Electrodynamical Part.

Deutsch

[p. 917]§ 10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons.

English

§ 10. Dynamics of the (Slowly Accelerated) Electron.

Deutsch

[p. 917]In einem elektromagnetischen Felde bewege sich ein punktförmiges, mit einer elektrischen Ladung $\varepsilon$ versehenes Teilchen (im folgenden „Elektron“ genannt), über dessen Bewegungsgesetz wir nur folgendes annehmen:

English

Let there move in an electromagnetic field a point-like particle provided with an electric charge $\varepsilon$ (in what follows called “electron”), about whose law of motion we assume only the following:

Deutsch

[p. 917]Ruht das Elektron in einer bestimmten Epoche, so erfolgt in dem nächsten Zeitteilchen die Bewegung des Elektrons nach den Gleichungen $\begin{aligned} \mu \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X \\ \mu \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon Y \\ \mu \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon Z , \end{aligned}$ Electron massPosition in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemExplain this equation wobei $x$ , $y$ , $z$ die Koordinaten des Elektrons, $\mu$ die Masse des Elektrons bedeutet, sofern dasselbe langsam bewegt ist.

English

If the electron is at rest at a given epoch, its motion in the next instant of time takes place according to the equations $\begin{aligned} \mu \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X \\ \mu \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon Y \\ \mu \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon Z , \end{aligned}$ Electron massPosition in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemExplain this equation where $x$ , $y$ , $z$ denote the coordinates of the electron, and $\mu$ the mass of the electron, as long as it moves slowly.

Deutsch

[p. 917]Es besitze nun zweitens das Elektron in einer gewissen Zeitepoche die Geschwindigkeit $v$ . Wir suchen das Gesetz, nach welchem sich das Elektron im unmittelbar darauf folgenden Zeitteilchen bewegt.

English

Now, secondly, let the electron have the velocity $v$ at a certain epoch of time. We seek the law according to which the electron moves in the instant of time immediately following.

Deutsch

[pp. 917–918]Ohne die Allgemeinheit der Betrachtung zu beeinflussen, können und wollen wir annehmen, daß das Elektron in dem Momente, wo wir es ins Auge fassen, sich im Koordinatensprung befinde und sich längs der $X$ -Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewege. Es ist dann einleuchtend, daß das Elektron im genannten Momente ( $t = 0$ ) relativ zu einem längs der $X$ -Achse mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ parallelbewegten Koordinatensystem $k$ ruht.

English

Without affecting the generality of the consideration, we may and will assume that the electron, at the moment we fix our attention on it, is at the origin of coordinates and is moving along the $X$ -axis of the system $K$ with the velocity $v$ . It is then evident that at the moment in question ( $t = 0$ ) the electron is at rest relative to a coordinate system $k$ moving parallel to itself along the $X$ -axis with the constant velocity $v$ .

Deutsch

[p. 918]Aus der oben gemachten Voraussetzung in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip ist klar, daß sich das Elektron in der unmittelbar folgenden Zeit (für kleine Werte von $t$ ) vom System $k$ aus betrachtet nach den Gleichungen bewegt: $\begin{aligned} \mu \frac{d^2 \xi}{d \tau^2} &= \varepsilon X' , \\ \mu \frac{d^2 \eta}{d \tau^2} &= \varepsilon Y' , \\ \mu \frac{d^2 \zeta}{d \tau^2} &= \varepsilon Z' , \end{aligned}$ Electron massPosition in the moving systemTime in the moving systemElectron chargeElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemExplain this equation wobei die Zeichen $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ , $\tau$ , $X'$ , $Y'$ , $Z'$ sich auf das System $k$ beziehen. Setzen wir noch fest, daß für $t = x = y = z = 0$ $\tau = \xi = \eta = \zeta = 0$ sein soll, so gelten die Transformationsgleichungen der §§ 3 und 6, so daß gilt: $\begin{aligned} \tau &= \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \beta (x - v t) , &\qquad X' &= X , \\ \eta &= y , &\qquad Y' &= \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \zeta &= z , &\qquad Z' &= \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned}$ Time in the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

English

From the assumption made above, in combination with the principle of relativity, it is clear that in the time immediately following (for small values of $t$ ) the electron, regarded from the system $k$ , moves according to the equations: $\begin{aligned} \mu \frac{d^2 \xi}{d \tau^2} &= \varepsilon X' , \\ \mu \frac{d^2 \eta}{d \tau^2} &= \varepsilon Y' , \\ \mu \frac{d^2 \zeta}{d \tau^2} &= \varepsilon Z' , \end{aligned}$ Electron massPosition in the moving systemTime in the moving systemElectron chargeElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemExplain this equation where the symbols $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ , $\tau$ , $X'$ , $Y'$ , $Z'$ refer to the system $k$ . If we further stipulate that for $t = x = y = z = 0$ we are to have $\tau = \xi = \eta = \zeta = 0$ , then the transformation equations of §§ 3 and 6 hold, so that: $\begin{aligned} \tau &= \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \beta (x - v t) , &\qquad X' &= X , \\ \eta &= y , &\qquad Y' &= \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \zeta &= z , &\qquad Z' &= \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned}$ Time in the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 918]Mit Hilfe dieser Gleichungen transformieren wir die obigen Bewegungsgleichungen vom System $k$ auf das System $K$ und erhalten: $\left\{ \begin{aligned} \frac{d^2 x}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta^3} X , \\ \frac{d^2 y}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \frac{d^2 z}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned} \right.$ Position in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectron massLorentz factorElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

English

With the help of these equations we transform the above equations of motion from the system $k$ to the system $K$ , and obtain: $\left\{ \begin{aligned} \frac{d^2 x}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta^3} X , \\ \frac{d^2 y}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \frac{d^2 z}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned} \right.$ Position in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectron massLorentz factorElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

Deutsch

[pp. 918–919]Wir fragen nun in Anlehnung an die übliche Betrachtungsweise nach der „longitudinalen“ und „transversalen“ Masse des bewegten Elektrons. Wir schreiben die Gleichungen (A) in der Form $\begin{aligned} \mu \beta^3 \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X = \varepsilon X' , \\ \mu \beta^2 \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) = \varepsilon Y' , \\ \mu \beta^3 \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) = \varepsilon Z' \end{aligned}$ Electron massLorentz factorPosition in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectric field, stationary systemElectric field, moving systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemExplain this equationSo printed. Read: μ β² d²z/dt² = ε β (Z + (v/V) M) = ε Z'. The display that rewrites equations (A) prints three rows, and the z row's coefficient carries β³ where the paper's own steps give β². The record in the correction log und bemerken zunächst, daß $\varepsilon X'$ , $\varepsilon Y'$ , $\varepsilon Z'$ die Komponenten der auf das Elektron wirkenden ponderomotorischen Kraft sind, und zwar in einem in diesem Moment mit dem Elektron mit gleicher Geschwindigkeit wie dieses bewegten System betrachtet. (Diese Kraft könnte beispielsweise mit einer im letzten System ruhenden Federwage gemessen werden.) Wenn wir nun diese Kraft schlechtweg „die auf das Elektron wirkende Kraft“ nennen und die Gleichung $\text{Massenzahl} \times \text{Beschleunigungszahl} = \text{Kraftzahl}$ Explain this equation aufrechterhalten, und wenn wir ferner festsetzen, daß die Beschleunigungen im ruhenden System $K$ gemessen werden sollen, so erhalten wir aus obigen Gleichungen: $\text{Longitudinale Masse} = \frac{\mu}{\left( \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right)^3} ,$ Electron massSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $\text{Transversale Masse} = \frac{\mu}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} .$ Electron massSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

Following the usual line of thought, we now ask for the “longitudinal” and “transverse” mass of the moving electron. We write the equations (A) in the form $\begin{aligned} \mu \beta^3 \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X = \varepsilon X' , \\ \mu \beta^2 \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) = \varepsilon Y' , \\ \mu \beta^3 \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) = \varepsilon Z' \end{aligned}$ Electron massLorentz factorPosition in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectric field, stationary systemElectric field, moving systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemExplain this equation and note first that $\varepsilon X'$ , $\varepsilon Y'$ , $\varepsilon Z'$ are the components of the ponderomotive force acting on the electron, and indeed regarded in a system moving at this moment with the electron at the same velocity as it. (This force could be measured, for example, with a spring balance at rest in the latter system.) If we now call this force simply “the force acting on the electron”, and maintain the equation [mass number × acceleration number = force number] $\text{Massenzahl} \times \text{Beschleunigungszahl} = \text{Kraftzahl}$ Explain this equation and if we further stipulate that the accelerations are to be measured in the stationary system $K$ , we obtain from the above equations: $\text{Longitudinale Masse} = \frac{\mu}{\left( \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right)^3} ,$ Electron massSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $\text{Transversale Masse} = \frac{\mu}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} .$ Electron massSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 919]Natürlich würde man bei anderer Definition der Kraft und der Beschleunigung andere Zahlen für die Massen erhalten; man ersieht daraus, daß man bei der Vergleichung verschiedener Theorien der Bewegung des Elektrons sehr vorsichtig verfahren muß.

English

Naturally, with a different definition of force and acceleration one would obtain other numbers for the masses; one sees from this that one must proceed very cautiously in comparing different theories of the motion of the electron.

Deutsch

[p. 919]Wir bemerken, daß diese Resultate über die Masse auch für die ponderabeln materiellen Punkte gilt; denn ein ponderabler materieller Punkt kann durch Zufügen einer beliebig kleinen elektrischen Ladung zu einem Elektron (in unserem Sinne) gemacht werden.

English

We remark that these results about the mass also hold for ponderable material points; for a ponderable material point can be made into an electron (in our sense) by adding an arbitrarily small electric charge.

Deutsch

[pp. 919–920]Wir bestimmen die kinetische Energie des Elektrons. Bewegt sich ein Elektron vom Koordinatenursprung des Systems $K$ aus mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 beständig auf der $X$ -Achse unter der Wirkung einer elektrostatischen Kraft $X$ , so ist klar, daß die dem elektrostatischen Felde entzogene Energie den Wert $\int \varepsilon X d x$ hat. Da das Elektron langsam beschleunigt sein soll und infolgedessen keine Energie in Form von Strahlung abgeben möge, so muß die dem elektrostatischen Felde entzogene Energie gleich der Bewegungsenergie $W$ des Elektrons gesetzt werden. Man erhält daher, indem man beachtet, daß während des ganzen betrachteten Bewegungsvorganges die erste der Gleichungen (A) gilt: $W = \int \varepsilon X d x = \int_0^v \beta^3 v d v = \mu V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$ Kinetic energyElectron chargeElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemSpeed of the moving systemLorentz factorElectron massSpeed of lightExplain this equationSo printed. Read: W = ∫ ε X dx = μ ∫₀^v β³ v dv = μ V² { 1/√(1-(v/V)²) - 1 }. The middle member omits the mass factor μ carried by the first equation of system (A) (d²x/dt² = (ε/μ) β⁻³ X), so as printed the middle member does not equal the outer two. The record in the correction log

English

We determine the kinetic energy of the electron. If an electron moves from the origin of coordinates of the system $K$ , with initial velocity 0, steadily along the $X$ -axis under the action of an electrostatic force $X$ , it is clear that the energy withdrawn from the electrostatic field has the value $\int \varepsilon X d x$ . Since the electron is to be accelerated slowly and consequently is to give off no energy in the form of radiation, the energy withdrawn from the electrostatic field must be set equal to the energy of motion $W$ of the electron. Taking into account that during the whole process of motion considered the first of the equations (A) holds, we therefore obtain: $W = \int \varepsilon X d x = \int_0^v \beta^3 v d v = \mu V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$ Kinetic energyElectron chargeElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemSpeed of the moving systemLorentz factorElectron massSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 920] $W$ wird also für $v = V$ unendlich groß. Überlichtgeschwindigkeiten haben — wie bei unseren früheren Resultaten — keine Existenzmöglichkeit.

English

$W$ thus becomes infinitely great for $v = V$ . Velocities greater than that of light have — as in our earlier results — no possibility of existence.

Deutsch

[p. 920]Auch dieser Ausdruck für die kinetische Energie muß dem oben angeführten Argument zufolge ebenso für ponderable Massen gelten.

English

By the argument given above, this expression for the kinetic energy must also hold for ponderable masses.

Deutsch

[p. 920]Wir wollen nun die aus dem Gleichungssystem (A) resultierenden, dem Experimente zugänglichen Eigenschaften der Bewegung des Elektrons aufzählen.

English

We shall now enumerate the properties of the electron’s motion that result from the system of equations (A) and are accessible to experiment.

Deutsch

[p. 920]1. Aus der zweiten Gleichung des Systems (A) folgt, daß eine elektrische Kraft $Y$ und eine magnetische Kraft $N$ dann gleich stark ablenkend wirken auf ein mit der Geschwindigkeit $v$ bewegtes Elektron, wenn $Y = N \cdot v/V$ . Man ersieht also, daß die Ermittelung der Geschwindigkeit des Elektrons aus dem Verhältnis der magnetischen Ablenkbarkeit $A_m$ und der elektrischen Ablenkbarkeit $A_e$ nach unserer Theorie für beliebige Geschwindigkeiten möglich ist durch Anwendung des Gesetzes: $\frac{A_m}{A_e} = \frac{v}{V} .$ Magnetic deflectabilityElectric deflectabilitySpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

1. From the second equation of the system (A) it follows that an electric force $Y$ and a magnetic force $N$ have an equally strong deflecting action on an electron moving with the velocity $v$ when $Y = N \cdot v/V$ . One sees, therefore, that according to our theory the velocity of the electron can be determined, for arbitrary velocities, from the ratio of the magnetic deflectability $A_m$ to the electric deflectability $A_e$ , by applying the law: $\frac{A_m}{A_e} = \frac{v}{V} .$ Magnetic deflectabilityElectric deflectabilitySpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 920]Diese Beziehung ist der Prüfung durch das Experiment zugänglich, da die Geschwindigkeit des Elektrons auch direkt, z. B. mittels rasch oszillierender elektrischer und magnetischer Felder, gemessen werden kann.

English

This relation is accessible to experimental test, since the velocity of the electron can also be measured directly, for example by means of rapidly oscillating electric and magnetic fields.

Deutsch

[pp. 920–921]2. Aus der Ableitung für die kinetische Energie des Elektrons folgt, daß zwischen der durchlaufenen Potentialdifferenz und der erlangten Geschwindigkeit $v$ des Elektrons die Beziehung gelten muß: $P = \int X d x = \frac{\mu}{\varepsilon} V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$ Accelerating voltageElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectron massElectron chargeSpeed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation

English

2. From the derivation of the kinetic energy of the electron it follows that between the potential difference traversed and the velocity $v$ acquired by the electron the relation must hold: $P = \int X d x = \frac{\mu}{\varepsilon} V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$ Accelerating voltageElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectron massElectron chargeSpeed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation

Deutsch

[p. 921]3. Wir berechnen den Krümmungsradius $R$ der Bahn, wenn eine senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons wirkende magnetische Kraft $N$ (als einzige ablenkende Kraft) vorhanden ist. Aus der zweiten der Gleichungen (A) erhalten wir: $- \frac{d^2 y}{d t^2} = \frac{v^2}{R} = \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{v}{V} N \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}$ Position in the stationary systemTime in the stationary systemSpeed of the moving systemRadius of the circular pathElectron chargeElectron massSpeed of lightMagnetic field, stationary systemExplain this equation oder $R = V^2 \frac{\mu}{\varepsilon} \cdot \frac{\frac{v}{V}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} \cdot \frac{1}{N} .$ Radius of the circular pathSpeed of lightElectron massElectron chargeSpeed of the moving systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

English

3. We calculate the radius of curvature $R$ of the path when a magnetic force $N$ acting perpendicular to the velocity of the electron is present (as the only deflecting force). From the second of the equations (A) we obtain: $- \frac{d^2 y}{d t^2} = \frac{v^2}{R} = \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{v}{V} N \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}$ Position in the stationary systemTime in the stationary systemSpeed of the moving systemRadius of the circular pathElectron chargeElectron massSpeed of lightMagnetic field, stationary systemExplain this equation or $R = V^2 \frac{\mu}{\varepsilon} \cdot \frac{\frac{v}{V}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} \cdot \frac{1}{N} .$ Radius of the circular pathSpeed of lightElectron massElectron chargeSpeed of the moving systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 921]Diese drei Beziehungen sind ein vollständiger Ausdruck für die Gesetze, nach denen sich gemäß vorliegender Theorie das Elektron bewegen muß.

English

These three relations are a complete expression of the laws according to which, by the present theory, the electron must move.

Deutsch

[p. 921]

Zum Schlusse bemerke ich, daß mir beim Arbeiten an dem hier behandelten Probleme mein Freund und Kollege M. Besso treu zur Seite stand und daß ich demselben manche wertvolle Anregung verdanke.

English

In conclusion I remark that in working on the problem treated here my friend and colleague M. Besso stood loyally by my side, and that I owe him several valuable suggestions.

Deutsch

[p. 921]

Bern, Juni 1905.

English

Bern, June 1905.

Deutsch

[p. 921]

(Eingegangen 30. Juni 1905.)

English

(Received 30 June 1905.)

[p. 892]I. Kinematischer Teil.

I. Kinematical Part.Show the German source

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

II. Electrodynamical Part.Show the German source

[p. 917]§ 10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons.

§ 10. Dynamics of the (Slowly Accelerated) Electron.Show the German source

I. Kinematical Part.

II. Electrodynamical Part.

§ 10. Dynamics of the (Slowly Accelerated) Electron.