Parallel edition

On the Electrodynamics of Moving Bodies

By A. Einstein · Annalen der Physik (4) 17, 891–921 (1905).

Deutsch

English

Deutsch

English

by A. Einstein

Deutsch

[p. 892]I. Kinematischer Teil.

English

I. Kinematical Part.

Deutsch

[p. 897]§ 3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichförmiger Translationsbewegung befindliches System.

English

§ 3. Theory of the Transformation of Coordinates and Times from the Stationary System to a System in Uniform Translational Motion Relative to It.

Deutsch

[p. 897]Seien im „ruhenden“ Raume zwei Koordinatensysteme, d. h. zwei Systeme von je drei von einem Punkte ausgehenden, aufeinander senkrechten starren materiellen Linien, gegeben. Die $X$ -Achsen beider Systeme mögen zusammenfallen, ihre $Y$ - und $Z$ -Achsen bezüglich parallel sein. Jedem Systeme sei ein starrer Maßstab und eine Anzahl Uhren beigegeben, und es seien beide Maßstäbe sowie alle Uhren beider Systeme einander genau gleich.

English

Let there be given in the “stationary” space two coordinate systems, that is, two systems each of three rigid material lines, perpendicular to one another and issuing from one point. Let the $X$ -axes of the two systems coincide, and their $Y$ - and $Z$ -axes be respectively parallel. Let each system be provided with a rigid measuring rod and a number of clocks, and let the two measuring rods, and all the clocks of the two systems, be exactly alike.

Deutsch

[p. 897]Es werde nun dem Anfangspunkte des einen der beiden Systeme ( $k$ ) eine (konstante) Geschwindigkeit $v$ in Richtung der wachsenden $x$ des anderen, ruhenden Systems ( $K$ ) erteilt, welche sich auch den Koordinatenachsen, dem betreffenden Maßstabe sowie den Uhren mitteilen möge. Jeder Zeit $t$ des ruhenden Systems $K$ entspricht dann eine bestimmte Lage der Achsen des bewegten Systems und wir sind aus Symmetriegründen befugt anzunehmen, daß die Bewegung von $k$ so beschaffen sein kann, daß die Achsen des bewegten Systems zur Zeit $t$ (es ist mit „ $t$ “ immer eine Zeit des ruhenden Systems bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seien.

English

Now to the origin of one of the two systems ( $k$ ) let a (constant) velocity $v$ be imparted in the direction of increasing $x$ of the other, stationary system ( $K$ ), a velocity which is to be communicated also to the coordinate axes, the measuring rod in question and the clocks. To each time $t$ of the stationary system $K$ there then corresponds a definite position of the axes of the moving system, and for reasons of symmetry we are entitled to assume that the motion of $k$ can be such that the axes of the moving system are parallel to the axes of the stationary system at the time $t$ (by “ $t$ ” a time of the stationary system is always meant).

Deutsch

[pp. 897–898]Wir denken uns nun den Raum sowohl vom ruhenden System $K$ aus mittels des ruhenden Maßstabes als auch vom bewegten System $k$ mittels des mit ihm bewegten Maßstabes ausgemessen und so die Koordinaten $x$ , $y$ , $z$ bez. $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ ermittelt. Es werde ferner mittels der im ruhenden System befindlichen ruhenden Uhren durch Lichtsignale in der in § 1 angegebenen Weise die Zeit $t$ des ruhenden Systems für alle Punkte des letzteren bestimmt, in denen sich Uhren befinden; ebenso werde die Zeit $\tau$ des bewegten Systems für alle Punkte des bewegten Systems, in welchen sich relativ zu letzterem ruhende Uhren befinden, bestimmt durch Anwendung der in § 1 genannten Methode der Lichtsignale zwischen den Punkten, in denen sich die letzteren Uhren befinden.

English

We now imagine space to be measured out both from the stationary system $K$ by means of the stationary measuring rod and from the moving system $k$ by means of the measuring rod moving with it, and the coordinates $x$ , $y$ , $z$ and $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ respectively to be thus obtained. Further, let the time $t$ of the stationary system be determined, by means of the clocks at rest in the stationary system and by light signals in the manner given in § 1, for all points of the latter at which there are clocks; likewise let the time $\tau$ of the moving system be determined for all points of the moving system at which there are clocks at rest relative to it, by applying the method of light signals given in § 1 between the points at which these clocks are located.

Deutsch

[p. 898]Zu jedem Wertsystem $x$ , $y$ , $z$ , $t$ , welches Ort und Zeit eines Ereignisses im ruhenden System vollkommen bestimmt, gehört ein jenes Ereignis relativ zum System $k$ festlegendes Wertsystem $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ , $\tau$ , und es ist nun die Aufgabe zu lösen, das diese Größen verknüpfende Gleichungssystem zu finden.

English

To every system of values $x$ , $y$ , $z$ , $t$ which completely determines the place and time of an event in the stationary system there belongs a system of values fixing that event relative to the system $k$ , namely $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ , $\tau$ , and the task now is to find the system of equations connecting these quantities.

Deutsch

[p. 898]Zunächst ist klar, daß die Gleichungen linear sein müssen wegen der Homogenitätseigenschaften, welche wir Raum und Zeit beilegen.

English

In the first place it is clear that the equations must be linear on account of the properties of homogeneity which we attribute to space and time.

Deutsch

[p. 898]Setzen wir $x' = x - v t$ , so ist klar, daß einem im System $k$ ruhenden Punkte ein bestimmtes, von der Zeit unabhängiges Wertsystem $x'$ , $y$ , $z$ zukommt. Wir bestimmen zuerst $\tau$ als Funktion von $x'$ , $y$ , $z$ und $t$ . Zu diesem Zwecke haben wir in Gleichungen auszudrücken, daß $\tau$ nichts anderes ist als der Inbegriff der Angaben von im System $k$ ruhenden Uhren, welche nach der im § 1 gegebenen Regel synchron gemacht worden sind.

English

If we put $x' = x - v t$ , it is clear that to a point at rest in the system $k$ there belongs a definite system of values $x'$ , $y$ , $z$ , independent of time. We first determine $\tau$ as a function of $x'$ , $y$ , $z$ and $t$ . To this end we have to express in equations that $\tau$ is nothing other than the totality of the readings of clocks at rest in the system $k$ which have been made synchronous according to the rule given in § 1.

Deutsch

[pp. 898–899]Vom Anfangspunkt des Systems $k$ aus werde ein Lichtstrahl zur Zeit $\tau_0$ längs der $X$ -Achse nach $x'$ gesandt und von dort zur Zeit $\tau_1$ nach dem Koordinatenursprung reflektiert, wo er zur Zeit $\tau_2$ anlange; so muß dann sein: $\frac{1}{2}(\tau_0 + \tau_2) = \tau_1$ Time in the moving systemTime in the moving systemTime in the moving systemExplain this equation oder, indem man die Argumente der Funktion $\tau$ beifügt und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im ruhenden Systeme anwendet: $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\left[ \tau(0,0,0,t) + \tau\left( 0,0,0,\left\{ t + \frac{x'}{V-v} + \frac{x'}{V+v} \right\} \right) \right] \\ &= \tau\left( x',0,0,t + \frac{x'}{V-v} \right). \end{aligned}$ Time in the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Speed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation Hieraus folgt, wenn man $x'$ unendlich klein wählt: $\frac{1}{2}\left( \frac{1}{V-v} + \frac{1}{V+v} \right) \frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{1}{V-v} \frac{\partial \tau}{\partial t} ,$ Speed of lightSpeed of the moving systemTime in the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation oder $\frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{v}{V^2 - v^2} \frac{\partial \tau}{\partial t} = 0 .$ Time in the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Speed of the moving systemSpeed of lightTime in the stationary systemExplain this equation

English

From the origin of the system $k$ let a ray of light be sent at the time $\tau_0$ along the $X$ -axis to $x'$ , and from there be reflected at the time $\tau_1$ towards the origin of coordinates, where it arrives at the time $\tau_2$ ; we must then have: $\frac{1}{2}(\tau_0 + \tau_2) = \tau_1$ Time in the moving systemTime in the moving systemTime in the moving systemExplain this equation or, if we add the arguments of the function $\tau$ and apply the principle of the constancy of the velocity of light in the stationary system: $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\left[ \tau(0,0,0,t) + \tau\left( 0,0,0,\left\{ t + \frac{x'}{V-v} + \frac{x'}{V+v} \right\} \right) \right] \\ &= \tau\left( x',0,0,t + \frac{x'}{V-v} \right). \end{aligned}$ Time in the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Speed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation Hence, if $x'$ is chosen infinitely small, it follows that: $\frac{1}{2}\left( \frac{1}{V-v} + \frac{1}{V+v} \right) \frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{1}{V-v} \frac{\partial \tau}{\partial t} ,$ Speed of lightSpeed of the moving systemTime in the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation or $\frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{v}{V^2 - v^2} \frac{\partial \tau}{\partial t} = 0 .$ Time in the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Speed of the moving systemSpeed of lightTime in the stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 899]Es ist zu bemerken, daß wir statt des Koordinatenursprunges jeden anderen Punkt als Ausgangspunkt des Lichtstrahles hätten wählen können und es gilt deshalb die eben erhaltene Gleichung für alle Werte von $x'$ , $y$ , $z$ .

English

It is to be noted that instead of the origin of coordinates we could have chosen any other point as the starting point of the ray of light, and the equation just obtained therefore holds for all values of $x'$ , $y$ , $z$ .

Deutsch

[p. 899]Eine analoge Überlegung — auf die $H$ - und $Z$ -Achse angewandt — liefert, wenn man beachtet, daß sich das Licht längs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet stets mit der Geschwindigkeit $\sqrt{V^2 - v^2}$ fortpflanzt: $\begin{aligned} \frac{\partial \tau}{\partial y} &= 0 \\ \frac{\partial \tau}{\partial z} &= 0 . \end{aligned}$ Time in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation Aus diesen Gleichungen folgt, da $\tau$ eine lineare Funktion ist: $\tau = a\left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) ,$ Time in the moving systemUndetermined scaleTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation wobei $a$ eine vorläufig unbekannte Funktion $\varphi(v)$ ist und der Kürze halber angenommen ist, daß im Anfangspunkte von $k$ für $\tau = 0$ $t = 0$ sei.

English

An analogous consideration — applied to the $H$ - and $Z$ -axes — gives, if it is borne in mind that light always propagates along these axes, viewed from the stationary system, with the velocity $\sqrt{V^2 - v^2}$ : $\begin{aligned} \frac{\partial \tau}{\partial y} &= 0 \\ \frac{\partial \tau}{\partial z} &= 0 . \end{aligned}$ Time in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation From these equations it follows, since $\tau$ is a linear function, that: $\tau = a\left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) ,$ Time in the moving systemUndetermined scaleTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation where $a$ is a function $\varphi(v)$ as yet unknown, and where for brevity it is assumed that at the origin of $k$ , for $\tau = 0$ , $t = 0$ .

Deutsch

[pp. 899–900]Mit Hilfe dieses Resultates ist es leicht, die Größen $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ zu ermitteln, indem man durch Gleichungen ausdrückt, daß sich das Licht (wie das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip verlangt) auch im bewegten System gemessen mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt. Für einen zur Zeit $\tau = 0$ in Richtung der wachsenden $\xi$ ausgesandten Lichtstrahl gilt: $\xi = V \tau ,$ Position in the moving systemSpeed of lightTime in the moving systemExplain this equation oder $\xi = a V \left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) .$ Position in the moving systemUndetermined scaleSpeed of lightTime in the stationary systemSpeed of the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation Nun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangspunkt von $k$ im ruhenden System gemessen mit der Geschwindigkeit $V-v$ , so daß gilt: $\frac{x'}{V-v} = t .$ Auxiliary Galilean coordinate: x'Speed of lightSpeed of the moving systemTime in the stationary systemExplain this equation Setzen wir diesen Wert von $t$ in die Gleichung für $\xi$ ein, so erhalten wir: $\xi = a \frac{V^2}{V^2 - v^2} x' .$ Position in the moving systemUndetermined scaleSpeed of lightSpeed of the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation Auf analoge Weise finden wir durch Betrachtung von längs den beiden anderen Achsen bewegte Lichtstrahlen: $\eta = V \tau = a V \left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) ,$ Position in the moving systemSpeed of lightTime in the moving systemUndetermined scaleTime in the stationary systemSpeed of the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation wobei $\frac{y}{\sqrt{V^2 - v^2}} = t ; \quad x' = 0 ;$ Position in the stationary systemSpeed of lightSpeed of the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation also $\eta = a \frac{V}{\sqrt{V^2 - v^2}} y$ Position in the moving systemUndetermined scaleSpeed of lightSpeed of the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation und $\zeta = a \frac{V}{\sqrt{V^2 - v^2}} z .$ Position in the moving systemUndetermined scaleSpeed of lightSpeed of the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation

English

Deutsch

[p. 900]Setzen wir für $x'$ seinen Wert ein, so erhalten wir: $\begin{aligned} \tau &= \varphi(v) \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \varphi(v) \beta (x - v t), \\ \eta &= \varphi(v) y, \\ \zeta &= \varphi(v) z, \end{aligned}$ Time in the moving systemUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation wobei $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation und $\varphi$ eine vorläufig unbekannte Funktion von $v$ ist. Macht man über die Anfangslage des bewegten Systems und über den Nullpunkt von $\tau$ keinerlei Voraussetzung, so ist auf den rechten Seiten dieser Gleichungen je eine additive Konstante zuzufügen.

English

If we substitute for $x'$ its value, we obtain: $\begin{aligned} \tau &= \varphi(v) \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \varphi(v) \beta (x - v t), \\ \eta &= \varphi(v) y, \\ \zeta &= \varphi(v) z, \end{aligned}$ Time in the moving systemUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation where $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation and $\varphi$ is a function of $v$ as yet unknown. If no presupposition whatever is made about the initial position of the moving system and about the zero point of $\tau$ , an additive constant is to be added to the right-hand side of each of these equations.

Deutsch

[pp. 900–901]Wir haben nun zu beweisen, daß jeder Lichtstrahl sich, im bewegten System gemessen, mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt, falls dies, wie wir angenommen haben, im ruhenden System der Fall ist; denn wir haben den Beweis dafür noch nicht geliefert, daß das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip vereinbar sei.

English

We now have to prove that every ray of light, measured in the moving system, propagates with the velocity $V$ if, as we have assumed, this is the case in the stationary system; for we have not yet furnished the proof that the principle of the constancy of the velocity of light is compatible with the principle of relativity.

Deutsch

[p. 901]Zur Zeit $t = \tau = 0$ werde von dem zu dieser Zeit gemeinsamen Koordinatenursprung beider Systeme aus eine Kugelwelle ausgesandt, welche sich im System $K$ mit der Geschwindigkeit $V$ ausbreitet. Ist $(x, y, z)$ ein eben von dieser Welle ergriffener Punkt, so ist also $x^2 + y^2 + z^2 = V^2 t^2 .$ Position in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemSpeed of lightTime in the stationary systemExplain this equation

English

At the time $t = \tau = 0$ let a spherical wave be emitted from the origin of coordinates, common at that time to both systems, a wave which propagates in the system $K$ with the velocity $V$ . If $(x, y, z)$ is a point just reached by this wave, we therefore have $x^2 + y^2 + z^2 = V^2 t^2 .$ Position in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemSpeed of lightTime in the stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 901]Diese Gleichung transformieren wir mit Hilfe unserer Transformationsgleichungen und erhalten nach einfacher Rechnung: $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = V^2 \tau^2 .$ Position in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemSpeed of lightTime in the moving systemExplain this equation

English

We transform this equation with the help of our transformation equations and obtain, after a simple calculation: $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = V^2 \tau^2 .$ Position in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemSpeed of lightTime in the moving systemExplain this equation

Deutsch

[p. 901]Die betrachtete Welle ist also auch im bewegten System betrachtet eine Kugelwelle von der Ausbreitungsgeschwindigkeit $V$ . Hiermit ist gezeigt, daß unsere beiden Grundprinzipien miteinander vereinbar sind.

English

The wave under consideration is therefore, viewed in the moving system too, a spherical wave with the velocity of propagation $V$ . It is thereby shown that our two fundamental principles are compatible with each other.

Deutsch

[p. 901]In den entwickelten Transformationsgleichungen tritt noch eine unbekannte Funktion $\varphi$ von $v$ auf, welche wir nun bestimmen wollen.

English

In the transformation equations developed there still occurs an unknown function $\varphi$ of $v$ , which we now wish to determine.

Deutsch

[p. 901]Wir führen zu diesem Zwecke noch ein drittes Koordinatensystem $K'$ ein, welches relativ zum System $k$ derart in Paralleltranslationsbewegung parallel zur $\Xi$ -Achse begriffen sei, daß sich dessen Koordinatenursprung mit der Geschwindigkeit $-v$ auf der $\Xi$ -Achse bewege. Zur Zeit $t = 0$ mögen alle drei Koordinatenanfangspunkte zusammenfallen und es sei für $t = x = y = z = 0$ die Zeit $t'$ des Systems $K'$ gleich Null. Wir nennen $x'$ , $y'$ , $z'$ die Koordinaten, im System $K'$ gemessen, und erhalten durch zweimalige Anwendung unserer Transformationsgleichungen: $\begin{aligned} t' &= \varphi(-v) \beta(-v) \left\{ \tau + \frac{v}{V^2} \xi \right\} &&= \varphi(v) \varphi(-v) t , \\ x' &= \varphi(-v) \beta(-v) \{ \xi + v \tau \} &&= \varphi(v) \varphi(-v) x , \\ y' &= \varphi(-v) \eta &&= \varphi(v) \varphi(-v) y , \\ z' &= \varphi(-v) \zeta &&= \varphi(v) \varphi(-v) z . \end{aligned}$ Time in the stationary systemUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemLorentz factorTime in the moving systemSpeed of lightPosition in the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation

English

For this purpose we introduce a third coordinate system $K'$ , which relative to the system $k$ is in such a motion of parallel translation, parallel to the $\Xi$ -axis, that its origin moves with the velocity $-v$ on the $\Xi$ -axis. At the time $t = 0$ let all three origins of coordinates coincide, and for $t = x = y = z = 0$ let the time $t'$ of the system $K'$ be zero. We call $x'$ , $y'$ , $z'$ the coordinates measured in the system $K'$ , and by twofold application of our transformation equations we obtain: $\begin{aligned} t' &= \varphi(-v) \beta(-v) \left\{ \tau + \frac{v}{V^2} \xi \right\} &&= \varphi(v) \varphi(-v) t , \\ x' &= \varphi(-v) \beta(-v) \{ \xi + v \tau \} &&= \varphi(v) \varphi(-v) x , \\ y' &= \varphi(-v) \eta &&= \varphi(v) \varphi(-v) y , \\ z' &= \varphi(-v) \zeta &&= \varphi(v) \varphi(-v) z . \end{aligned}$ Time in the stationary systemUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemLorentz factorTime in the moving systemSpeed of lightPosition in the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation

Deutsch

[pp. 901–902]Da die Beziehungen zwischen $x'$ , $y'$ , $z'$ und $x$ , $y$ , $z$ die Zeit $t$ nicht enthalten, so ruhen die Systeme $K$ und $K'$ gegeneinander, und es ist klar, daß die Transformation von $K$ auf $K'$ die identische Transformation sein muß. Es ist also: $\varphi(v) \varphi(-v) = 1 .$ Unknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation Wir fragen nun nach der Bedeutung von $\varphi(v)$ . Wir fassen das Stück der $H$ -Achse des Systems $k$ ins Auge, das zwischen $\xi = 0$ , $\eta = 0$ , $\zeta = 0$ und $\xi = 0$ , $\eta = l$ , $\zeta = 0$ gelegen ist. Dieses Stück der $H$ -Achse ist ein relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu seiner Achse bewegter Stab, dessen Enden in $K$ die Koordinaten besitzen: $x_1 = v t, \quad y_1 = \frac{l}{\varphi(v)}, \quad z_1 = 0$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemRest lengthUnknown scale factor: phi(v)Position in the stationary systemExplain this equation und $x_2 = v t, \quad y_2 = 0, \quad z_2 = 0 .$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation Die Länge des Stabes, in $K$ gemessen, ist also $l/\varphi(v)$ ; damit ist die Bedeutung der Funktion $\varphi$ gegeben. Aus Symmetriegründen ist nun einleuchtend, daß die im ruhenden System gemessene Länge eines bestimmten Stabes, welcher senkrecht zu seiner Achse bewegt ist, nur von der Geschwindigkeit, nicht aber von der Richtung und dem Sinne der Bewegung abhängig sein kann. Es ändert sich also die im ruhenden System gemessene Länge des bewegten Stabes nicht, wenn $v$ mit $-v$ vertauscht wird. Hieraus folgt: $\frac{l}{\varphi(v)} = \frac{l}{\varphi(-v)} ,$ Rest lengthUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation oder $\varphi(v) = \varphi(-v) .$ Unknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation Aus dieser und der vorhin gefundenen Relation folgt, daß $\varphi(v) = 1$ sein muß, so daß die gefundenen Transformationsgleichungen übergehen in: $\begin{aligned} \tau &= \beta\left( t - \frac{v}{V^2} x \right), \\ \xi &= \beta(x - v t), \\ \eta &= y, \\ \zeta &= z, \end{aligned}$ Time in the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation wobei $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} ,$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

Since the relations between $x'$ , $y'$ , $z'$ and $x$ , $y$ , $z$ do not contain the time $t$ , the systems $K$ and $K'$ are at rest relative to each other, and it is clear that the transformation from $K$ to $K'$ must be the identity transformation. We therefore have: $\varphi(v) \varphi(-v) = 1 .$ Unknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation We now inquire into the meaning of $\varphi(v)$ . We consider the portion of the $H$ -axis of the system $k$ which lies between $\xi = 0$ , $\eta = 0$ , $\zeta = 0$ and $\xi = 0$ , $\eta = l$ , $\zeta = 0$ . This portion of the $H$ -axis is a rod moving relative to the system $K$ with the velocity $v$ perpendicular to its axis, whose ends have in $K$ the coordinates: $x_1 = v t, \quad y_1 = \frac{l}{\varphi(v)}, \quad z_1 = 0$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemRest lengthUnknown scale factor: phi(v)Position in the stationary systemExplain this equation and $x_2 = v t, \quad y_2 = 0, \quad z_2 = 0 .$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation The length of the rod, measured in $K$ , is therefore $l/\varphi(v)$ ; this gives the meaning of the function $\varphi$ . For reasons of symmetry it is now evident that the length of a given rod moving perpendicular to its axis, measured in the stationary system, can depend only on the velocity, and not on the direction and sense of the motion. Thus the length of the moving rod measured in the stationary system does not change if $v$ is interchanged with $-v$ . From this it follows that: $\frac{l}{\varphi(v)} = \frac{l}{\varphi(-v)} ,$ Rest lengthUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation or $\varphi(v) = \varphi(-v) .$ Unknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation From this and the relation found earlier it follows that $\varphi(v) = 1$ must hold, so that the transformation equations found become: $\begin{aligned} \tau &= \beta\left( t - \frac{v}{V^2} x \right), \\ \xi &= \beta(x - v t), \\ \eta &= y, \\ \zeta &= z, \end{aligned}$ Time in the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation where $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} ,$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

English

II. Electrodynamical Part.

Deutsch

[p. 921]

Zum Schlusse bemerke ich, daß mir beim Arbeiten an dem hier behandelten Probleme mein Freund und Kollege M. Besso treu zur Seite stand und daß ich demselben manche wertvolle Anregung verdanke.

English

In conclusion I remark that in working on the problem treated here my friend and colleague M. Besso stood loyally by my side, and that I owe him several valuable suggestions.

Deutsch

[p. 921]

Bern, Juni 1905.

English

Bern, June 1905.

Deutsch

[p. 921]

(Eingegangen 30. Juni 1905.)

English

(Received 30 June 1905.)

[p. 892]I. Kinematischer Teil.

I. Kinematical Part.Show the German source

[p. 897]§ 3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichförmiger Translationsbewegung befindliches System.

§ 3. Theory of the Transformation of Coordinates and Times from the Stationary System to a System in Uniform Translational Motion Relative to It.Show the German source

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

II. Electrodynamical Part.Show the German source

I. Kinematical Part.

§ 3. Theory of the Transformation of Coordinates and Times from the Stationary System to a System in Uniform Translational Motion Relative to It.

II. Electrodynamical Part.