Annus MirabilisEinstein in 1905
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Zur Elektrodynamik bewegter Körper

Special relativity: from clock operations to electrodynamics

[p. 897]§ 3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichförmiger Translationsbewegung befindliches System.

§ 3.§ 3Theorietheoryderof theKoordinaten-coordinateundandZeittransformationtime transformationvonfromdemtheruhendenstationaryauftoeinarelativrelativezutodiesemthisiningleichförmigeruniformTranslationsbewegungtranslational motionbefindlichesbeingSystem.system
[p. 897]
Seienlet there be given[supposition]imin the„ruhenden“stationaryRaumespacezweitwoKoordinatensysteme,coordinate systemsd. h.that iszweitwoSystemesystemsvonofjeeachdreithreevonfromeinemonePunktepointausgehenden,issuingaufeinanderto one anothersenkrechtenperpendicularstarrenrigidmateriellenmaterialLinien,linesgegeben.↳[supposition]
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. Seien gegeben (let there be given) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: Seien ... gegeben, ‘let ... be given’, the set-up supposed for the argument
DietheXX-Achsenaxesbeiderof bothSystemesystemsmögenlet[supposition]zusammenfallen,coincideihretheirYY-undandZZ-Achsenaxesbezüglichrespectivelyparallelparallelsein.be
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. mögen (let) · [konjunktiv-i]: mögen, Konjunktiv I in form: ‘let (them) coincide’, a supposition
Jedemto eachSystemesystemseilet ... be provided[supposition]einastarrerrigidMaßstabmeasuring rodundandeineaAnzahlnumberUhrenof clocksbeigegeben,↳[supposition]undandeslet ... be[supposition]seien↳[supposition]beidebothMaßstäbemeasuring rodssowieas well asalleallUhrenclocksbeiderof bothSystemesystemseinanderto one anothergenauexactlygleich.alike
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. sei beigegeben (let ... be provided) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: sei ... beigegeben, ‘let (each system) be provided with’
  2. es seien (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: es seien ... gleich, ‘let (the rods and clocks) be alike’, still the supposed set-up
[p. 897]
Eslet ... be imparted[supposition]werde↳[supposition]nunnowdemto theAnfangspunkteorigindesofeinenonederof thebeidentwoSystemesystems(kk)einea(konstante)constantGeschwindigkeitvelocityvvininRichtungdirectionderof thewachsendenincreasingxxdesof theanderen,otherruhendenstationarySystemssystem(KK)erteilt,↳[supposition]welchewhichsichis to be communicated[supposition]auchalsodento theKoordinatenachsen,coordinate axesdemthebetreffendenin questionMaßstabemeasuring rodsowieas well asdentheUhrenclocksmitteilen↳[supposition]möge.↳[supposition]
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. Es werde erteilt (let ... be imparted) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: es werde ... erteilt, ‘let (a velocity) be imparted’
  2. sich mitteilen möge (is to be communicated) · [konjunktiv-i]: sich mitteilen möge, Konjunktiv I of mögen: ‘which is to communicate itself’ to the axes, rod and clocks, a supposition
Jederto eachZeittimettdesof theruhendenstationarySystemssystemKKentsprichtcorrespondsdanntheneineabestimmtedefiniteLagepositionderof theAchsenaxesdesof thebewegtenmovingSystemssystemundandwirwesindareausforSymmetriegründenreasons of symmetrybefugtentitledanzunehmen,to assumedaßthatdietheBewegungmotionvonofkksobe so constitutedbeschaffen↳sein↳kann,candaßthatdietheAchsenaxesdesof thebewegtenmovingSystemssystemzurat theZeittimett(esis meantist↳mitby„tt“immeralwayseineaZeittimedesof theruhendenstationarySystemssystembezeichnet)↳dento theAchsenaxesdesof theruhendenstationarySystemssystemparallelparallelseien.are[supposition]
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. seien (are) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: seien, the content of the assumption, ‘(that the axes) are parallel’
[pp. 897–898]
Wirwe imaginedenken↳uns↳nunnowdentheRaumspacesowohlboth ... andvomfromruhendenstationarySystemsystemKKaus↳mittelsby means ofdesof theruhendenstationaryMaßstabesmeasuring rodals↳auch↳vomfrom thebewegtenmovingSystemsystemkkmittelsby means ofdesof themitwithihmitbewegtenmovingMaßstabesmeasuring rodausgemessenmeasured outundandsothusdietheKoordinatencoordinatesxx,yy,zzbez.respectivelyξ\xi,η\eta,ζ\zetaermittelt.obtained
Eslet ... be determined[supposition]werde↳[supposition]fernerfurthermittelsby means ofdertheimin theruhendenstationarySystemsystembefindlichenlocatedruhendenat restUhrenclocksdurchbyLichtsignalelight signalsinindertheinin§ 1§ 1angegebenengivenWeisemannerdietheZeittimettdesof theruhendenstationarySystemssystemfürforalleallPunktepointsdesof theletzterenlatterbestimmt,↳[supposition]inatdenenwhichsichare locatedUhrenclocksbefinden;↳ebensolikewisewerdelet ... be determined[supposition]dietheZeittimeτ\taudesof thebewegtenmovingSystemssystemfürforalleallPunktepointsdesof thebewegtenmovingSystems,systeminatwelchenwhichsichare locatedrelativrelativezutoletzteremthe latterruhendeat restUhrenclocksbefinden,↳bestimmt↳[supposition]durchbyAnwendungapplicationderof theinin§ 1§ 1genanntennamedMethodemethodderofLichtsignalelight signalszwischenbetweendenthePunkten,pointsinatdenenwhichsichare locateddietheletzterenlatterUhrenclocksbefinden.↳
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. Es werde bestimmt (let ... be determined) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: Es werde ... bestimmt, ‘let (the time t) be determined’
  2. werde bestimmt (let ... be determined) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I again: werde ... bestimmt, for the time τ of the moving system
[p. 898]
ZutojedemeveryWertsystemsystem of valuesxx,yy,zz,tt,welcheswhichOrtplaceundandZeittimeeinesof anEreignisseseventimin theruhendenstationarySystemsystemvollkommencompletelybestimmt,determinesgehörtbelongseinajenesthatEreigniseventrelativrelativezumto theSystemsystemkkfestlegendesfixingWertsystemsystem of valuesξ\xi,η\eta,ζ\zeta,τ\tau,undandesthe task is to be solvedist↳nunnowdietheAufgabetaskzu↳lösen,↳dasthediesetheseGrößenquantitiesverknüpfendeconnectingGleichungssystemsystem of equationszutofinden.find
[p. 898]
Zunächstin the first placeistit is clearklar,↳daßthatdietheGleichungenequationslinearlinearseinbemüssenmustwegenon account ofdertheHomogenitätseigenschaften,properties of homogeneitywelchewhichwirweRaumspaceundandZeittimebeilegen.attribute
[p. 898]
Setzenif ... putwirwex′=x−vtx' = x - v t,sothenistit is clearklar,↳daßthateinemto aimin theSystemsystemkkruhendenat restPunktepointeinabestimmtes,definitevonofdertheZeittimeunabhängigesindependentWertsystemsystem of valuesx′x',yy,zzzukommt.belongs
Wirwebestimmendeterminezuerstfirstτ\taualsasFunktionfunctionvonofx′x',yy,zzundandtt.
ZutodiesemthisZweckeendhabenhave to expresswirweininGleichungenequationsauszudrücken,↳daßthatτ\taunichtsnothinganderesotheristisalsthandertheInbegrifftotalityderof theAngabenreadingsvonofimin theSystemsystemkkruhendenat restUhren,clockswelchewhichnachaccording todertheimin§ 1§ 1gegebenengivenRegelrulesynchronsynchronousgemachtmadewordenbeensind.have
[pp. 898–899]
VomfromAnfangspunktorigindesof theSystemssystemkkaus↳werdelet ... be sent[supposition]einaLichtstrahlray of lightzurat theZeittimeτ0\tau_0längsalongdertheXX-Achseaxisnachtox′x'gesandt↳[supposition]undandvonfromdorttherezurat theZeittimeτ1\tau_1nachtodemtheKoordinatenursprungorigin of coordinatesreflektiert,reflectedwowhereeritzurat theZeittimeτ2\tau_2anlange;arrives[supposition]sothenmußmustdannthensein:beoder,orindemby addingmanonedietheArgumenteargumentsderof theFunktionfunctionτ\taubeifügt↳undanddasthePrinzipprinciplederof theKonstanzconstancyderof theLichtgeschwindigkeitvelocity of lightimin theruhendenstationarySystemesystemanwendet:applies
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. werde gesandt (let ... be sent) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: werde ... gesandt, ‘let (a ray of light) be sent’, the supposed procedure; reflektiert shares werde
  2. anlange (arrives) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: anlange, ‘(where it) arrives’, still inside the supposed procedure
[p. 898]
12[τ(0,0,0,t)+τ(0,0,0,{t+x′V−v+x′V+v})]=τ(x′,0,0,t+x′V−v).\begin{aligned} &\frac{1}{2}\left[ \tau(0,0,0,t) + \tau\left( 0,0,0,\left\{ t + \frac{x'}{V-v} + \frac{x'}{V+v} \right\} \right) \right] \\ &= \tau\left( x',0,0,t + \frac{x'}{V-v} \right). \end{aligned}
Explain this equation
Hierausfrom thisfolgt,followswennifmanonex′x'unendlichinfinitelykleinsmallwählt:choosesoderor
[p. 899]
12(1V−v+1V+v)∂τ∂t=∂τ∂x′+1V−v∂τ∂t,\frac{1}{2}\left( \frac{1}{V-v} + \frac{1}{V+v} \right) \frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{1}{V-v} \frac{\partial \tau}{\partial t} ,
Explain this equation
[p. 899]
∂τ∂x′+vV2−v2∂τ∂t=0.\frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{v}{V^2 - v^2} \frac{\partial \tau}{\partial t} = 0 .
Explain this equation
[p. 899]
Esit is to be notedist↳zu↳bemerken,↳daßthatwirwestattinstead ofdestheKoordinatenursprungesorigin of coordinatesjedenanyanderenotherPunktpointalsasAusgangspunktstarting pointdesof theLichtstrahlesray of lighthättencould have chosen[hypothetical]wählen↳[hypothetical]können↳[hypothetical]undandesholdsgilt↳deshalbthereforedietheebenjusterhalteneobtainedGleichungequationfürforalleallWertevaluesvonofx′x',yy,zz.
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. hätten wählen können (could have chosen) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II pluperfect: hätten wählen können, ‘could have chosen’, a possibility not taken
[p. 899]
EineananalogeanalogousÜberlegungconsideration—auftodietheHH-undandZZ-Achseaxisangewandtapplied—liefert,giveswennifmanonebeachtet,bears in minddaßthatsichpropagatesdastheLichtlightlängsalongdiesertheseAchsenaxesvomfrom theruhendenstationarySystemsystemaus↳betrachtetviewedstetsalwaysmitwithdertheGeschwindigkeitvelocityV2−v2\sqrt{V^2 - v^2}fortpflanzt:↳
[p. 899]
∂τ∂y=0∂τ∂z=0.\begin{aligned} \frac{\partial \tau}{\partial y} &= 0 \\ \frac{\partial \tau}{\partial z} &= 0 . \end{aligned}
Explain this equation
AusfromdiesentheseGleichungenequationsfolgt,followsdasinceτ\taueinealinearelinearFunktionfunctionist:iswobeiwhereaaeineavorläufigprovisionallyunbekannteunknownFunktionfunctionφ(v)\varphi(v)istisundandderfor the sake of brevityKürze↳halber↳angenommenassumedist,isdaßthatimat theAnfangspunkteoriginvonofkkfürforτ=0\tau = 0t=0t = 0sei.is[supposition]
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. sei (is) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: sei, the content of the assumption, ‘(that t) is 0’
[pp. 899–900]
Mitwith the helpHilfe↳diesesof thisResultatesresultistit is easyes↳leicht,↳dietheGrößenquantitiesξ\xi,η\eta,ζ\zetazutoermitteln,determineindembymanonedurchinGleichungenequationsausdrückt,expressesdaßthatsichpropagatesdastheLichtlight(wieasdasthePrinzipprinciplederof theKonstanzconstancyderof theLichtgeschwindigkeitvelocity of lightinin conjunction withVerbindung↳mit↳demtheRelativitätsprinzipprinciple of relativityverlangt)requiresauchalsoimin thebewegtenmovingSystemsystemgemessenmeasuredmitwithdertheGeschwindigkeitvelocityVVfortpflanzt.↳
Fürforeinenazurat theZeittimeτ=0\tau = 0ininRichtungdirectionderof thewachsendenincreasingξ\xiausgesandtenemittedLichtstrahlray of lightgilt:holdsoderor
Nunnowbewegtmovessich↳aberbutdertheLichtstrahlray of lightrelativrelativezumto theAnfangspunktoriginvonofkkimin theruhendenstationarySystemsystemgemessenmeasuredmitwithdertheGeschwindigkeitvelocityV−vV-v,soso thatdaß↳gilt:holds
Setzenif ... substitutewirwediesenthisWertvaluevonofttinintodietheGleichungequationfürforξ\xiein,↳sothenerhaltenobtainwir:we
Aufin a ... wayanalogeanalogousWeise↳findenfindwirwedurchbyBetrachtungconsiderationvonoflängsalongdenthebeidentwoanderenotherAchsenaxesbewegtemovingLichtstrahlen:rays of lightwobeiwherealsothereforeundand
[p. 900]
Setzenif ... substitutewirwefürforx′x'seinenitsWertvalueein,↳sothenerhaltenobtainwir:wewobeiwhereundandφ\varphieineavorläufigprovisionallyunbekannteunknownFunktionfunctionvonofvvist.is
[p. 900]
τ=φ(v)β(t−vV2x),ξ=φ(v)β(x−vt),η=φ(v)y,ζ=φ(v)z,\begin{aligned} \tau &= \varphi(v) \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \varphi(v) \beta (x - v t), \\ \eta &= \varphi(v) y, \\ \zeta &= \varphi(v) z, \end{aligned}
Explain this equation
[p. 900]
β=11−(vV)2\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}
Explain this equation
Machtif ... makes ... presuppositionmanoneüberaboutdietheAnfangslageinitial positiondesof thebewegtenmovingSystemssystemundandüberaboutdentheNullpunktzero pointvonofτ\taukeinerleino ... whateverVoraussetzung,↳sothenistis to be addedauftodentherechtenright-handSeitensidesdieserof theseGleichungenequationsjeeacheineanadditiveadditiveKonstanteconstantzuzufügen.↳
[pp. 900–901]
Wirwehabenhave to provenunnowzu↳beweisen,↳daßthatjedereveryLichtstrahlray of lightsich,propagatesimin thebewegtenmovingSystemsystemgemessen,measuredmitwithdertheGeschwindigkeitvelocityVVfortpflanzt,↳fallsifdies,thiswieaswirweangenommenhave assumedhaben,↳imin theruhendenstationarySystemsystemderis the caseFall↳ist;↳dennforwirwehabenhave not yet furnisheddentheBeweisproofdafürof itnoch↳nicht↳geliefert,↳daßthatdasthePrinzipprinciplederof theKonstanzconstancyderof theLichtgeschwindigkeitvelocity of lightmitwithdemtheRelativitätsprinzipprinciple of relativityvereinbarcompatiblesei.is[supposition]
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. sei (is) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: sei, the claim still to be proved, ‘(that it) is compatible’, not yet asserted
[p. 901]
Zurat theZeittimet=τ=0t = \tau = 0werdelet ... be emitted[supposition]vonfromdemthezuatdieserthisZeittimegemeinsamencommonKoordinatenursprungorigin of coordinatesbeiderof bothSystemesystemsaus↳eineaKugelwellespherical waveausgesandt,↳[supposition]welchewhichsichspreadsimin theSystemsystemKKmitwithdertheGeschwindigkeitvelocityVVausbreitet.↳
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. werde ausgesandt (let ... be emitted) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: werde ... ausgesandt, ‘let (a spherical wave) be emitted’, the supposed test case
Istif ... is(x,y,z)(x, y, z)einaebenjustvonbydieserthisWellewaveergriffenerreachedPunkt,pointsothenistisalsotherefore
[p. 901]
DiesethisGleichungequationtransformierentransformwirwemitwith the helpHilfe↳unsererof ourTransformationsgleichungentransformation equationsundanderhaltenobtainnachaftereinfachersimpleRechnung:calculation
[p. 901]
DiethebetrachteteconsideredWellewaveistisalsothereforeauchalsoimin thebewegtenmovingSystemsystembetrachtetviewedeineaKugelwellespherical wavevonwithdertheAusbreitungsgeschwindigkeitvelocity of propagationVV.
Hiermitherebyistisgezeigt,showndaßthatunsereourbeidentwoGrundprinzipienfundamental principlesmiteinanderwith each othervereinbarcompatiblesind.are
[p. 901]
InindentheentwickeltendevelopedTransformationsgleichungentransformation equationstrittoccursnochstilleineanunbekannteunknownFunktionfunctionφ\varphivonofvvauf,↳welchewhichwirwenunnowbestimmendeterminewollen.wish to
[p. 901]
WirweführenintroducezutodiesemthisZweckeendnochfurthereinadrittesthirdKoordinatensystemcoordinate systemK′K'ein,↳welcheswhichrelativrelativezumto theSystemsystemkkderartin such a wayininParalleltranslationsbewegungmotion of parallel translationparallelparallelzurto theΞ\Xi-Achseaxisbegriffenlet it be engaged[supposition]sei,↳[supposition]daßthatsichmoves[supposition]dessenitsKoordinatenursprungorigin of coordinatesmitwithdertheGeschwindigkeitvelocity−v-vaufondertheΞ\Xi-Achseaxisbewege.↳[supposition]
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. begriffen sei (let it be engaged) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: begriffen sei, ‘let (it) be engaged’ in motion, a supposition; in Bewegung begriffen sein, ‘to be in motion’
  2. sich bewege (moves) · [konjunktiv-i]: sich bewegen in Konjunktiv I: bewege, ‘(that its origin) moves’, part of the supposition
Zurat theZeittimet=0t = 0mögenlet[supposition]allealldreithreeKoordinatenanfangspunkteorigins of coordinateszusammenfallencoincideundandeslet ... be[supposition]sei↳[supposition]fürfort=x=y=z=0t = x = y = z = 0dietheZeittimet′t'desof theSystemssystemK′K'gleichequal toNull.zero
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. mögen (let) · [konjunktiv-i]: mögen, Konjunktiv I in form: ‘let (all three origins) coincide’
  2. es sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: es sei ... gleich Null, ‘let (the time t′) be zero’, a stipulated starting point
Wirwenennencallx′x',y′y',z′z'dietheKoordinaten,coordinatesimin theSystemsystemK′K'gemessen,measuredundanderhaltenobtaindurchbyzweimaligetwofoldAnwendungapplicationunsererof ourTransformationsgleichungen:transformation equations
[p. 901]
t′=φ(−v)β(−v){τ+vV2ξ}=φ(v)φ(−v)t,x′=φ(−v)β(−v){ξ+vτ}=φ(v)φ(−v)x,y′=φ(−v)η=φ(v)φ(−v)y,z′=φ(−v)ζ=φ(v)φ(−v)z.\begin{aligned} t' &= \varphi(-v) \beta(-v) \left\{ \tau + \frac{v}{V^2} \xi \right\} &&= \varphi(v) \varphi(-v) t , \\ x' &= \varphi(-v) \beta(-v) \{ \xi + v \tau \} &&= \varphi(v) \varphi(-v) x , \\ y' &= \varphi(-v) \eta &&= \varphi(v) \varphi(-v) y , \\ z' &= \varphi(-v) \zeta &&= \varphi(v) \varphi(-v) z . \end{aligned}
Explain this equation
[pp. 901–902]
DasincedietheBeziehungenrelationszwischenbetweenx′x',y′y',z′z'undandxx,yy,zzdietheZeittimettnichtnotenthalten,containsothenruhenare at restdietheSystemesystemsKKundandK′K'gegeneinander,relative to each otherundandesit is clearist↳klar,↳daßthatdietheTransformationtransformationvonfromKKauftoK′K'dietheidentischeidentityTransformationtransformationseinbemuß.must
Eswe haveist↳also:therefore
[p. 902]
φ(v)φ(−v)=1.\varphi(v) \varphi(-v) = 1 .
Explain this equation
WirwefragenasknunnownachaboutdertheBedeutungmeaningvonofφ(v)\varphi(v).
WirwefassenconsiderdastheStückportionderof theHH-Achseaxisdesof theSystemssystemkkins↳Auge,↳daswhichzwischenbetweenξ=0\xi = 0,η=0\eta = 0,ζ=0\zeta = 0undandξ=0\xi = 0,η=l\eta = l,ζ=0\zeta = 0gelegensituatedist.is
DiesesthisStückportionderof theHH-Achseaxisistiseinarelativrelativezumto theSystemsystemKKmitwithdertheGeschwindigkeitvelocityvvsenkrechtperpendicularzutoseineritsAchseaxisbewegtermovingStab,roddessenwhoseEndenendsininKKdietheKoordinatencoordinatesbesitzen:possessundand
DietheLängelengthdesof theStabes,rodininKKgemessen,measuredistisalsothereforel/φ(v)l/\varphi(v);damitwith thisistisdietheBedeutungmeaningderof theFunktionfunctionφ\varphigegeben.given
AusforSymmetriegründenreasons of symmetryistit is evidentnunnoweinleuchtend,↳daßthatdietheimin theruhendenstationarySystemsystemgemessenemeasuredLängelengtheinesof abestimmtengivenStabes,rodwelcherwhichsenkrechtperpendicularzutoseineritsAchseaxisbewegtmovedist,isnuronlyvonondertheGeschwindigkeit,velocitynichtnotaberbutvonondertheRichtungdirectionundanddemtheSinnesensederof theBewegungmotionabhängigdependentseinbekann.can
Eschangesändert↳sich↳alsothereforedietheimin theruhendenstationarySystemsystemgemessenemeasuredLängelengthdesof thebewegtenmovingStabesrodnicht,notwennifvvmitwith−v-vvertauschtinterchangedwird.is
Hierausfrom thisfolgt:followsoderor
[p. 902]
lφ(v)=lφ(−v),\frac{l}{\varphi(v)} = \frac{l}{\varphi(-v)} ,
Explain this equation
AusfromdieserthisundandderthevorhinpreviouslygefundenenfoundRelationrelationfolgt,followsdaßthatφ(v)=1\varphi(v) = 1seinbemuß,mustsoso thatdaß↳diethegefundenenfoundTransformationsgleichungentransformation equationsübergehenpass over intoin:↳wobeiwhere
[p. 902]
β=11−(vV)2,\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} ,
Explain this equation