[p. 891]Align sentencesDaß die Elektrodynamik Maxwells — wie dieselbe gegenwärtig aufgefaßt zu werden pflegt — in ihrer Anwendung auf bewegte Körper zu Asymmetrien führt, welche den Phänomenen nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Show English translationMan denke z. B. an die elektrodynamische Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Leiter. Show English translationDas beobachtbare Phänomen hängt hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, während nach der üblichen Auffassung die beiden Fälle, daß der eine oder der andere dieser Körper der bewegte sei, streng voneinander zu trennen sind. Show English translationBewegt sich nämlich der Magnet und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten ein elektrisches Feld von gewissem Energiewerte, welches an den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden, einen Strom erzeugt. Show English translationRuht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten kein elektrisches Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische Kraft, welcher an sich keine Energie entspricht, die aber — Gleichheit der Relativbewegung bei den beiden ins Auge gefaßten Fällen vorausgesetzt — zu elektrischen Strömen von derselben Größe und demselben Verlaufe Veranlassung gibt, wie im ersten Falle die elektrischen Kräfte. Show English translation

[pp. 891–892]Align sentencesBeispiele ähnlicher Art, sowie die mißlungenen Versuche, eine Bewegung der Erde relativ zum „Lichtmedium“ zu konstatieren, führen zu der Vermutung, daß dem Begriffe der absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen entsprechen, sondern daß vielmehr für alle Koordinatensysteme, für welche die mechanischen Gleichungen gelten, auch die gleichen elektrodynamischen und optischen Gesetze gelten, wie dies für die Größen erster Ordnung bereits erwiesen ist. Show English translationWir wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden „Prinzip der Relativität“ genannt werden wird) zur Voraussetzung erheben und außerdem die mit ihm nur scheinbar unverträgliche Voraussetzung einführen, daß sich das Licht im leeren Raume stets mit einer bestimmten, vom Bewegungszustande des emittierenden Körpers unabhängigen Geschwindigkeit $V$ fortpflanze. Show English translationDiese beiden Voraussetzungen genügen, um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrodynamik bewegter Körper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie für ruhende Körper. Show English translationDie Einführung eines „Lichtäthers“ wird sich insofern als überflüssig erweisen, als nach der zu entwickelnden Auffassung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter „absolut ruhender Raum“ eingeführt, noch einem Punkte des leeren Raumes, in welchem elektromagnetische Prozesse stattfinden, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet wird. Show English translation

[p. 892]Align sentencesDie zu entwickelnde Theorie stützt sich — wie jede andere Elektrodynamik — auf die Kinematik des starren Körpers, da die Aussagen einer jeden Theorie Beziehungen zwischen starren Körpern (Koordinatensystemen), Uhren und elektromagnetischen Prozessen betreffen. Show English translationDie nicht genügende Berücksichtigung dieses Umstandes ist die Wurzel der Schwierigkeiten, mit denen die Elektrodynamik bewegter Körper gegenwärtig zu kämpfen hat. Show English translation

[p. 892]I. Kinematischer Teil.

[p. 892]§ 1. Definition der Gleichzeitigkeit.

[p. 892]Align sentencesEs liege ein Koordinatensystem vor, in welchem die Newtonschen mechanischen Gleichungen gelten. Show English translationWir nennen dies Koordinatensystem zur sprachlichen Unterscheidung von später einzuführenden Koordinatensystemen und zur Präzisierung der Vorstellung das „ruhende System“. Show English translation

[p. 892]Align sentencesRuht ein materieller Punkt relativ zu diesem Koordinatensystem, so kann seine Lage relativ zu letzterem durch starre Maßstäbe unter Benutzung der Methoden der euklidischen Geometrie bestimmt und in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden. Show English translation

[pp. 892–893]Align sentencesWollen wir die Bewegung eines materiellen Punktes beschreiben, so geben wir die Werte seiner Koordinaten in Funktion der Zeit. Show English translationEs ist nun wohl im Auge zu behalten, daß eine derartige mathematische Beschreibung erst dann einen physikalischen Sinn hat, wenn man sich vorher darüber klar geworden ist, was hier unter „Zeit“ verstanden wird. Show English translationWir haben zu berücksichtigen, daß alle unsere Urteile, in welchen die Zeit eine Rolle spielt, immer Urteile über gleichzeitige Ereignisse sind. Show English translationWenn ich z. B. sage: „Jener Zug kommt hier um 7 Uhr an,“ so heißt dies etwa: „Das Zeigen des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 7 und das Ankommen des Zuges sind gleichzeitige Ereignisse.“^[1)] Show English translation

[p. 893]Align sentencesEs könnte scheinen, daß alle die Definition der „Zeit“ betreffenden Schwierigkeiten dadurch überwunden werden könnten, daß ich an Stelle der „Zeit“ die „Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr“ setze. Show English translationEine solche Definition genügt in der Tat, wenn es sich darum handelt, eine Zeit zu definieren ausschließlich für den Ort, an welchem sich die Uhr eben befindet; die Definition genügt aber nicht mehr, sobald es sich darum handelt, an verschiedenen Orten stattfindende Ereignisreihen miteinander zeitlich zu verknüpfen, oder — was auf dasselbe hinausläuft — Ereignisse zeitlich zu werten, welche in von der Uhr entfernten Orten stattfinden. Show English translation

[p. 893]Align sentencesWir könnten uns allerdings damit begnügen, die Ereignisse dadurch zeitlich zu werten, daß ein samt der Uhr im Koordinatenursprung befindlicher Beobachter jedem von einem zu wertenden Ereignis Zeugnis gebenden, durch den leeren Raum zu ihm gelangenden Lichtzeichen die entsprechende Uhrzeigerstellung zuordnet. Show English translationEine solche Zuordnung bringt aber den Übelstand mit sich, daß sie vom Standpunkte des mit der Uhr versehenen Beobachters nicht unabhängig ist, wie wir durch die Erfahrung wissen. Show English translationZu einer weit praktischeren Festsetzung gelangen wir durch folgende Betrachtung. Show English translation

[pp. 893–894]Align sentencesBefindet sich im Punkte $A$ des Raumes eine Uhr, so kann ein in $A$ befindlicher Beobachter die Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $A$ zeitlich werten durch Aufsuchen der mit diesen Ereignissen gleichzeitigen Uhrzeigerstellungen. Show English translationBefindet sich auch im Punkte $B$ des Raumes eine Uhr — wir wollen hinzufügen, „eine Uhr von genau derselben Beschaffenheit wie die in $A$ befindliche“ — so ist auch eine zeitliche Wertung der Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $B$ durch einen in $B$ befindlichen Beobachter möglich. Show English translationEs ist aber ohne weitere Festsetzung nicht möglich, ein Ereignis in $A$ mit einem Ereignis in $B$ zeitlich zu vergleichen; wir haben bisher nur eine „$A$-Zeit“ und eine „$B$-Zeit“, aber keine für $A$ und $B$ gemeinsame „Zeit“ definiert. Show English translationDie letztere Zeit kann nun definiert werden, indem man durch Definition festsetzt, daß die „Zeit“, welche das Licht braucht, um von $A$ nach $B$ zu gelangen, gleich ist der „Zeit“, welche es braucht, um von $B$ nach $A$ zu gelangen. Show English translationEs gehe nämlich ein Lichtstrahl zur „$A$-Zeit“ $t_A$ von $A$ nach $B$ ab, werde zur „$B$-Zeit“ $t_B$ in $B$ gegen $A$ zu reflektiert und gelange zur „$A$-Zeit“ $t'_A$ nach $A$ zurück. Show English translationDie beiden Uhren laufen definitionsgemäß synchron, wenn$$t_B - t_A = t'_A - t_B .$$$t_B$Time in the stationary system$t_A$Time in the stationary system$t_A^{\prime }$Time in the stationary systemExplain this equation Show English translation

[p. 894]Align sentencesWir nehmen an, daß diese Definition des Synchronismus in widerspruchsfreier Weise möglich sei, und zwar für beliebig viele Punkte, daß also allgemein die Beziehungen gelten:Show English translation
1. Wenn die Uhr in $B$ synchron mit der Uhr in $A$ läuft, so läuft die Uhr in $A$ synchron mit der Uhr in $B$.Show English translation
2. Wenn die Uhr in $A$ sowohl mit der Uhr in $B$ als auch mit der Uhr in $C$ synchron läuft, so laufen auch die Uhren in $B$ und $C$ synchron relativ zueinander. Show English translation

[p. 894]Align sentencesWir haben so unter Zuhilfenahme gewisser (gedachter) physikalischer Erfahrungen festgelegt, was unter synchron laufenden, an verschiedenen Orten befindlichen, ruhenden Uhren zu verstehen ist und damit offenbar eine Definition von „gleichzeitig“ und „Zeit“ gewonnen. Show English translationDie „Zeit“ eines Ereignisses ist die mit dem Ereignis gleichzeitige Angabe einer am Orte des Ereignisses befindlichen, ruhenden Uhr, welche mit einer bestimmten, ruhenden Uhr, und zwar für alle Zeitbestimmungen mit der nämlichen Uhr, synchron läuft. Show English translation

[p. 894]Align sentencesWir setzen noch der Erfahrung gemäß fest, daß die Größe$$\frac{2 \overline{AB}}{t'_A - t_A} = V$$$\overline{AB}$Distance between two events$t_A^{\prime }$Time in the stationary system$t_A$Time in the stationary system$V$Speed of lightExplain this equation eine universelle Konstante (die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raume) sei. Show English translation

[pp. 894–895]Align sentencesWesentlich ist, daß wir die Zeit mittels im ruhenden System ruhender Uhren definiert haben; wir nennen die eben definierte Zeit wegen dieser Zugehörigkeit zum ruhenden System „die Zeit des ruhenden Systems“. Show English translation

[p. 895]§ 2. Über die Relativität von Längen und Zeiten.

[p. 895]Align sentencesDie folgenden Überlegungen stützen sich auf das Relativitätsprinzip und auf das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, welche beiden Prinzipien wir folgendermaßen definieren.Show English translation
1. Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physikalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden.Show English translation
2. Jeder Lichtstrahl bewegt sich im „ruhenden“ Koordinatensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit $V$, unabhängig davon, ob dieser Lichtstrahl von einem ruhenden oder bewegten Körper emittiert ist. Show English translationHierbei ist$$\text{Geschwindigkeit} = \frac{\text{Lichtweg}}{\text{Zeitdauer}} ,$$Explain this equation wobei „Zeitdauer“ im Sinne der Definition des § 1 aufzufassen ist. Show English translation

[pp. 895–896]Align sentencesEs sei ein ruhender starrer Stab gegeben; derselbe besitze, mit einem ebenfalls ruhenden Maßstabe gemessen, die Länge $l$. Show English translationWir denken uns nun die Stabachse in die $X$-Achse des ruhenden Koordinatensystems gelegt und dem Stabe hierauf eine gleichförmige Paralleltranslationsbewegung (Geschwindigkeit $v$) längs der $X$-Achse im Sinne der wachsenden $x$ erteilt. Show English translationWir fragen nun nach der Länge des bewegten Stabes, welche wir uns durch folgende zwei Operationen ermittelt denken:Show English translation
a) Der Beobachter bewegt sich samt dem vorher genannten Maßstabe mit dem auszumessenden Stabe und mißt direkt durch Anlegen des Maßstabes die Länge des Stabes, ebenso, wie wenn sich auszumessender Stab, Beobachter und Maßstab in Ruhe befänden.Show English translation
b) Der Beobachter ermittelt mittels im ruhenden Systeme aufgestellter, gemäß § 1 synchroner, ruhender Uhren, in welchen Punkten des ruhenden Systems sich Anfang und Ende des auszumessenden Stabes zu einer bestimmten Zeit $t$ befinden.Show English translation
Die Entfernung dieser beiden Punkte, gemessen mit dem schon benutzten, in diesem Falle ruhenden Maßstabe ist ebenfalls eine Länge, welche man als „Länge des Stabes“ bezeichnen kann. Show English translation

[p. 896]Align sentencesNach dem Relativitätsprinzip muß die bei der Operation a) zu findende Länge, welche wir „die Länge des Stabes im bewegten System“ nennen wollen, gleich der Länge $l$ des ruhenden Stabes sein. Show English translation

[p. 896]Align sentencesDie bei der Operation b) zu findende Länge, welche wir „die Länge des (bewegten) Stabes im ruhenden System“ nennen wollen, werden wir unter Zugrundelegung unserer beiden Prinzipien bestimmen und finden, daß sie von $l$ verschieden ist. Show English translation

[p. 896]Align sentencesDie allgemein gebrauchte Kinematik nimmt stillschweigend an, daß die durch die beiden erwähnten Operationen bestimmten Längen einander genau gleich seien, oder mit anderen Worten, daß ein bewegter starrer Körper in der Zeitepoche $t$ in geometrischer Beziehung vollständig durch denselben Körper, wenn er in bestimmter Lage ruht, ersetzbar sei. Show English translation

[p. 896]Align sentencesWir denken uns ferner an den beiden Stabenden ($A$ und $B$) Uhren angebracht, welche mit den Uhren des ruhenden Systems synchron sind, d. h. deren Angaben jeweilen der „Zeit des ruhenden Systems“ an den Orten, an welchen sie sich gerade befinden, entsprechen; diese Uhren sind also „synchron im ruhenden System“. Show English translation

[pp. 896–897]Align sentencesWir denken uns ferner, daß sich bei jeder Uhr ein mit ihr bewegter Beobachter befinde, und daß diese Beobachter auf die beiden Uhren das im § 1 aufgestellte Kriterium für den synchronen Gang zweier Uhren anwenden. Show English translationZur Zeit^[1)] $t_A$ gehe ein Lichtstrahl von $A$ aus, werde zur Zeit $t_B$ in $B$ reflektiert und gelange zur Zeit $t'_A$ nach $A$ zurück. Show English translationUnter Berücksichtigung des Prinzipes von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit finden wir:$$t_B - t_A = \frac{r_{AB}}{V - v}$$$t_B$Time in the stationary system$t_A$Time in the stationary system$r_{AB}$Length of the moving rod$V$Speed of light$v$Speed of the moving systemExplain this equation und$$t'_A - t_B = \frac{r_{AB}}{V + v} ,$$$t_A^{\prime }$Time in the stationary system$t_B$Time in the stationary system$r_{AB}$Length of the moving rod$V$Speed of light$v$Speed of the moving systemExplain this equation wobei $r_{AB}$ die Länge des bewegten Stabes — im ruhenden System gemessen — bedeutet. Show English translationMit dem bewegten Stabe bewegte Beobachter würden also die beiden Uhren nicht synchron gehend finden, während im ruhenden System befindliche Beobachter die Uhren als synchron laufend erklären würden. Show English translation

[p. 897]Align sentencesWir sehen also, daß wir dem Begriffe der Gleichzeitigkeit keine absolute Bedeutung beimessen dürfen, sondern daß zwei Ereignisse, welche, von einem Koordinatensystem aus betrachtet, gleichzeitig sind, von einem relativ zu diesem System bewegten System aus betrachtet, nicht mehr als gleichzeitige Ereignisse aufzufassen sind. Show English translation

[p. 897]§ 3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichförmiger Translationsbewegung befindliches System.

[p. 897]Align sentencesSeien im „ruhenden“ Raume zwei Koordinatensysteme, d. h. zwei Systeme von je drei von einem Punkte ausgehenden, aufeinander senkrechten starren materiellen Linien, gegeben. Show English translationDie $X$-Achsen beider Systeme mögen zusammenfallen, ihre $Y$- und $Z$-Achsen bezüglich parallel sein. Show English translationJedem Systeme sei ein starrer Maßstab und eine Anzahl Uhren beigegeben, und es seien beide Maßstäbe sowie alle Uhren beider Systeme einander genau gleich. Show English translation

[p. 897]Align sentencesEs werde nun dem Anfangspunkte des einen der beiden Systeme ($k$) eine (konstante) Geschwindigkeit $v$ in Richtung der wachsenden $x$ des anderen, ruhenden Systems ($K$) erteilt, welche sich auch den Koordinatenachsen, dem betreffenden Maßstabe sowie den Uhren mitteilen möge. Show English translationJeder Zeit $t$ des ruhenden Systems $K$ entspricht dann eine bestimmte Lage der Achsen des bewegten Systems und wir sind aus Symmetriegründen befugt anzunehmen, daß die Bewegung von $k$ so beschaffen sein kann, daß die Achsen des bewegten Systems zur Zeit $t$ (es ist mit „$t$“ immer eine Zeit des ruhenden Systems bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seien. Show English translation

[pp. 897–898]Align sentencesWir denken uns nun den Raum sowohl vom ruhenden System $K$ aus mittels des ruhenden Maßstabes als auch vom bewegten System $k$ mittels des mit ihm bewegten Maßstabes ausgemessen und so die Koordinaten $x$, $y$, $z$ bez. $\xi$, $\eta$, $\zeta$ ermittelt. Show English translationEs werde ferner mittels der im ruhenden System befindlichen ruhenden Uhren durch Lichtsignale in der in § 1 angegebenen Weise die Zeit $t$ des ruhenden Systems für alle Punkte des letzteren bestimmt, in denen sich Uhren befinden; ebenso werde die Zeit $\tau$ des bewegten Systems für alle Punkte des bewegten Systems, in welchen sich relativ zu letzterem ruhende Uhren befinden, bestimmt durch Anwendung der in § 1 genannten Methode der Lichtsignale zwischen den Punkten, in denen sich die letzteren Uhren befinden. Show English translation

[p. 898]Align sentencesZu jedem Wertsystem $x$, $y$, $z$, $t$, welches Ort und Zeit eines Ereignisses im ruhenden System vollkommen bestimmt, gehört ein jenes Ereignis relativ zum System $k$ festlegendes Wertsystem $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $\tau$, und es ist nun die Aufgabe zu lösen, das diese Größen verknüpfende Gleichungssystem zu finden. Show English translation

[p. 898]Align sentencesZunächst ist klar, daß die Gleichungen linear sein müssen wegen der Homogenitätseigenschaften, welche wir Raum und Zeit beilegen. Show English translation

[p. 898]Align sentencesSetzen wir $x' = x - v t$, so ist klar, daß einem im System $k$ ruhenden Punkte ein bestimmtes, von der Zeit unabhängiges Wertsystem $x'$, $y$, $z$ zukommt. Show English translationWir bestimmen zuerst $\tau$ als Funktion von $x'$, $y$, $z$ und $t$. Show English translationZu diesem Zwecke haben wir in Gleichungen auszudrücken, daß $\tau$ nichts anderes ist als der Inbegriff der Angaben von im System $k$ ruhenden Uhren, welche nach der im § 1 gegebenen Regel synchron gemacht worden sind. Show English translation

[pp. 898–899]Align sentencesVom Anfangspunkt des Systems $k$ aus werde ein Lichtstrahl zur Zeit $\tau_0$ längs der $X$-Achse nach $x'$ gesandt und von dort zur Zeit $\tau_1$ nach dem Koordinatenursprung reflektiert, wo er zur Zeit $\tau_2$ anlange; so muß dann sein:$$\frac{1}{2}(\tau_0 + \tau_2) = \tau_1$$${\tau }_0$Time in the moving system${\tau }_2$Time in the moving system${\tau }_1$Time in the moving systemExplain this equation oder, indem man die Argumente der Funktion $\tau$ beifügt und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im ruhenden Systeme anwendet:$$\begin{aligned} &\frac{1}{2}\left[ \tau(0,0,0,t) + \tau\left( 0,0,0,\left\{ t + \frac{x'}{V-v} + \frac{x'}{V+v} \right\} \right) \right] \\ &= \tau\left( x',0,0,t + \frac{x'}{V-v} \right). \end{aligned}$$$\tau$Time in the moving system$t$Time in the stationary system$x^{\prime }$Auxiliary Galilean coordinate: x'$V$Speed of light$v$Speed of the moving systemExplain this equation Show English translationHieraus folgt, wenn man $x'$ unendlich klein wählt:$$\frac{1}{2}\left( \frac{1}{V-v} + \frac{1}{V+v} \right) \frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{1}{V-v} \frac{\partial \tau}{\partial t} ,$$$V$Speed of light$v$Speed of the moving system$\tau$Time in the moving system$t$Time in the stationary system$x^{\prime }$Auxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation oder$$\frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{v}{V^2 - v^2} \frac{\partial \tau}{\partial t} = 0 .$$$\tau$Time in the moving system$x^{\prime }$Auxiliary Galilean coordinate: x'$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$t$Time in the stationary systemExplain this equation Show English translation

[p. 899]Align sentencesEs ist zu bemerken, daß wir statt des Koordinatenursprunges jeden anderen Punkt als Ausgangspunkt des Lichtstrahles hätten wählen können und es gilt deshalb die eben erhaltene Gleichung für alle Werte von $x'$, $y$, $z$. Show English translation

[p. 899]Align sentencesEine analoge Überlegung — auf die $H$- und $Z$-Achse angewandt — liefert, wenn man beachtet, daß sich das Licht längs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet stets mit der Geschwindigkeit $\sqrt{V^2 - v^2}$ fortpflanzt:$$\begin{aligned} \frac{\partial \tau}{\partial y} &= 0 \\ \frac{\partial \tau}{\partial z} &= 0 . \end{aligned}$$$\tau$Time in the moving system$y$Position in the stationary system$z$Position in the stationary systemExplain this equation Show English translationAus diesen Gleichungen folgt, da $\tau$ eine lineare Funktion ist:$$\tau = a\left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) ,$$$\tau$Time in the moving system$a$Undetermined scale$t$Time in the stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$x^{\prime }$Auxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation wobei $a$ eine vorläufig unbekannte Funktion $\varphi(v)$ ist und der Kürze halber angenommen ist, daß im Anfangspunkte von $k$ für $\tau = 0$ $t = 0$ sei. Show English translation

[pp. 899–900]Align sentencesMit Hilfe dieses Resultates ist es leicht, die Größen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zu ermitteln, indem man durch Gleichungen ausdrückt, daß sich das Licht (wie das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip verlangt) auch im bewegten System gemessen mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt. Show English translationFür einen zur Zeit $\tau = 0$ in Richtung der wachsenden $\xi$ ausgesandten Lichtstrahl gilt:$$\xi = V \tau ,$$$\xi$Position in the moving system$V$Speed of light$\tau$Time in the moving systemExplain this equation oder$$\xi = a V \left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) .$$$\xi$Position in the moving system$a$Undetermined scale$V$Speed of light$t$Time in the stationary system$v$Speed of the moving system$x^{\prime }$Auxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation Show English translationNun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangspunkt von $k$ im ruhenden System gemessen mit der Geschwindigkeit $V-v$, so daß gilt:$$\frac{x'}{V-v} = t .$$$x^{\prime }$Auxiliary Galilean coordinate: x'$V$Speed of light$v$Speed of the moving system$t$Time in the stationary systemExplain this equation Show English translationSetzen wir diesen Wert von $t$ in die Gleichung für $\xi$ ein, so erhalten wir:$$\xi = a \frac{V^2}{V^2 - v^2} x' .$$$\xi$Position in the moving system$a$Undetermined scale$V$Speed of light$v$Speed of the moving system$x^{\prime }$Auxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation Show English translationAuf analoge Weise finden wir durch Betrachtung von längs den beiden anderen Achsen bewegte Lichtstrahlen:$$\eta = V \tau = a V \left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) ,$$$\eta$Position in the moving system$V$Speed of light$\tau$Time in the moving system$a$Undetermined scale$t$Time in the stationary system$v$Speed of the moving system$x^{\prime }$Auxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation wobei$$\frac{y}{\sqrt{V^2 - v^2}} = t ; \quad x' = 0 ;$$$y$Position in the stationary system$V$Speed of light$v$Speed of the moving system$t$Time in the stationary system$x^{\prime }$Auxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation also$$\eta = a \frac{V}{\sqrt{V^2 - v^2}} y$$$\eta$Position in the moving system$a$Undetermined scale$V$Speed of light$v$Speed of the moving system$y$Position in the stationary systemExplain this equation und$$\zeta = a \frac{V}{\sqrt{V^2 - v^2}} z .$$$\zeta$Position in the moving system$a$Undetermined scale$V$Speed of light$v$Speed of the moving system$z$Position in the stationary systemExplain this equation Show English translation

[p. 900]Align sentencesSetzen wir für $x'$ seinen Wert ein, so erhalten wir:$$\begin{aligned} \tau &= \varphi(v) \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \varphi(v) \beta (x - v t), \\ \eta &= \varphi(v) y, \\ \zeta &= \varphi(v) z, \end{aligned}$$$\tau$Time in the moving system$\phi$Unknown scale factor: phi(v)$v$Speed of the moving system$\beta$Lorentz factor$t$Time in the stationary system$V$Speed of light$x$Position in the stationary system$\xi$Position in the moving system$\eta$Position in the moving system$y$Position in the stationary system$\zeta$Position in the moving system$z$Position in the stationary systemExplain this equation wobei$$\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}$$$\beta$Lorentz factor$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation und $\varphi$ eine vorläufig unbekannte Funktion von $v$ ist. Show English translationMacht man über die Anfangslage des bewegten Systems und über den Nullpunkt von $\tau$ keinerlei Voraussetzung, so ist auf den rechten Seiten dieser Gleichungen je eine additive Konstante zuzufügen. Show English translation

[pp. 900–901]Align sentencesWir haben nun zu beweisen, daß jeder Lichtstrahl sich, im bewegten System gemessen, mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt, falls dies, wie wir angenommen haben, im ruhenden System der Fall ist; denn wir haben den Beweis dafür noch nicht geliefert, daß das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip vereinbar sei. Show English translation

[p. 901]Align sentencesZur Zeit $t = \tau = 0$ werde von dem zu dieser Zeit gemeinsamen Koordinatenursprung beider Systeme aus eine Kugelwelle ausgesandt, welche sich im System $K$ mit der Geschwindigkeit $V$ ausbreitet. Show English translationIst $(x, y, z)$ ein eben von dieser Welle ergriffener Punkt, so ist also$$x^2 + y^2 + z^2 = V^2 t^2 .$$$x$Position in the stationary system$y$Position in the stationary system$z$Position in the stationary system$V$Speed of light$t$Time in the stationary systemExplain this equation Show English translation

[p. 901]Align sentencesDiese Gleichung transformieren wir mit Hilfe unserer Transformationsgleichungen und erhalten nach einfacher Rechnung:$$\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = V^2 \tau^2 .$$$\xi$Position in the moving system$\eta$Position in the moving system$\zeta$Position in the moving system$V$Speed of light$\tau$Time in the moving systemExplain this equation Show English translation

[p. 901]Align sentencesDie betrachtete Welle ist also auch im bewegten System betrachtet eine Kugelwelle von der Ausbreitungsgeschwindigkeit $V$. Show English translationHiermit ist gezeigt, daß unsere beiden Grundprinzipien miteinander vereinbar sind. Show English translation

[p. 901]Align sentencesIn den entwickelten Transformationsgleichungen tritt noch eine unbekannte Funktion $\varphi$ von $v$ auf, welche wir nun bestimmen wollen. Show English translation

[p. 901]Align sentencesWir führen zu diesem Zwecke noch ein drittes Koordinatensystem $K'$ ein, welches relativ zum System $k$ derart in Paralleltranslationsbewegung parallel zur $\Xi$-Achse begriffen sei, daß sich dessen Koordinatenursprung mit der Geschwindigkeit $-v$ auf der $\Xi$-Achse bewege. Show English translationZur Zeit $t = 0$ mögen alle drei Koordinatenanfangspunkte zusammenfallen und es sei für $t = x = y = z = 0$ die Zeit $t'$ des Systems $K'$ gleich Null. Show English translationWir nennen $x'$, $y'$, $z'$ die Koordinaten, im System $K'$ gemessen, und erhalten durch zweimalige Anwendung unserer Transformationsgleichungen:$$\begin{aligned} t' &= \varphi(-v) \beta(-v) \left\{ \tau + \frac{v}{V^2} \xi \right\} &&= \varphi(v) \varphi(-v) t , \\ x' &= \varphi(-v) \beta(-v) \{ \xi + v \tau \} &&= \varphi(v) \varphi(-v) x , \\ y' &= \varphi(-v) \eta &&= \varphi(v) \varphi(-v) y , \\ z' &= \varphi(-v) \zeta &&= \varphi(v) \varphi(-v) z . \end{aligned}$$$t^{\prime }$Time in the stationary system$\phi$Unknown scale factor: phi(v)$v$Speed of the moving system$\beta$Lorentz factor$\tau$Time in the moving system$V$Speed of light$\xi$Position in the moving system$t$Time in the stationary system$x^{\prime }$Position in the stationary system$x$Position in the stationary system$y^{\prime }$Position in the stationary system$\eta$Position in the moving system$y$Position in the stationary system$z^{\prime }$Position in the stationary system$\zeta$Position in the moving system$z$Position in the stationary systemExplain this equation Show English translation

[pp. 901–902]Align sentencesDa die Beziehungen zwischen $x'$, $y'$, $z'$ und $x$, $y$, $z$ die Zeit $t$ nicht enthalten, so ruhen die Systeme $K$ und $K'$ gegeneinander, und es ist klar, daß die Transformation von $K$ auf $K'$ die identische Transformation sein muß. Show English translationEs ist also:$$\varphi(v) \varphi(-v) = 1 .$$$\phi$Unknown scale factor: phi(v)$v$Speed of the moving systemExplain this equation Show English translationWir fragen nun nach der Bedeutung von $\varphi(v)$. Show English translationWir fassen das Stück der $H$-Achse des Systems $k$ ins Auge, das zwischen $\xi = 0$, $\eta = 0$, $\zeta = 0$ und $\xi = 0$, $\eta = l$, $\zeta = 0$ gelegen ist. Show English translationDieses Stück der $H$-Achse ist ein relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu seiner Achse bewegter Stab, dessen Enden in $K$ die Koordinaten besitzen:$$x_1 = v t, \quad y_1 = \frac{l}{\varphi(v)}, \quad z_1 = 0$$$x_1$Position in the stationary system$v$Speed of the moving system$t$Time in the stationary system$y_1$Position in the stationary system$l$Rest length$\phi$Unknown scale factor: phi(v)$z_1$Position in the stationary systemExplain this equation und$$x_2 = v t, \quad y_2 = 0, \quad z_2 = 0 .$$$x_2$Position in the stationary system$v$Speed of the moving system$t$Time in the stationary system$y_2$Position in the stationary system$z_2$Position in the stationary systemExplain this equation Show English translationDie Länge des Stabes, in $K$ gemessen, ist also $l/\varphi(v)$; damit ist die Bedeutung der Funktion $\varphi$ gegeben. Show English translationAus Symmetriegründen ist nun einleuchtend, daß die im ruhenden System gemessene Länge eines bestimmten Stabes, welcher senkrecht zu seiner Achse bewegt ist, nur von der Geschwindigkeit, nicht aber von der Richtung und dem Sinne der Bewegung abhängig sein kann. Show English translationEs ändert sich also die im ruhenden System gemessene Länge des bewegten Stabes nicht, wenn $v$ mit $-v$ vertauscht wird. Show English translationHieraus folgt:$$\frac{l}{\varphi(v)} = \frac{l}{\varphi(-v)} ,$$$l$Rest length$\phi$Unknown scale factor: phi(v)$v$Speed of the moving systemExplain this equation oder$$\varphi(v) = \varphi(-v) .$$$\phi$Unknown scale factor: phi(v)$v$Speed of the moving systemExplain this equation Show English translationAus dieser und der vorhin gefundenen Relation folgt, daß $\varphi(v) = 1$ sein muß, so daß die gefundenen Transformationsgleichungen übergehen in:$$\begin{aligned} \tau &= \beta\left( t - \frac{v}{V^2} x \right), \\ \xi &= \beta(x - v t), \\ \eta &= y, \\ \zeta &= z, \end{aligned}$$$\tau$Time in the moving system$\beta$Lorentz factor$t$Time in the stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$x$Position in the stationary system$\xi$Position in the moving system$\eta$Position in the moving system$y$Position in the stationary system$\zeta$Position in the moving system$z$Position in the stationary systemExplain this equation wobei$$\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} ,$$$\beta$Lorentz factor$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translation

[p. 903]§ 4. Physikalische Bedeutung der erhaltenen Gleichungen, bewegte starre Körper und bewegte Uhren betreffend.

[p. 903]Align sentencesWir betrachten eine starre Kugel^[1)] vom Radius $R$, welche relativ zum bewegten System $k$ ruht, und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung von $k$ liegt. Show English translationDie Gleichung der Oberfläche dieser relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten Kugel ist:$$\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = R^2 .$$$\xi$Position in the moving system$\eta$Position in the moving system$\zeta$Position in the moving system$R$Sphere radiusExplain this equation Show English translationDie Gleichung dieser Oberfläche ist in $x$, $y$, $z$ ausgedrückt zur Zeit $t = 0$:$$\frac{x^2}{\left( \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right)^2} + y^2 + z^2 = R^2 .$$$x$Position in the stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$y$Position in the stationary system$z$Position in the stationary system$R$Sphere radiusExplain this equation Show English translationEin starrer Körper, welcher in ruhendem Zustande ausgemessen die Gestalt einer Kugel hat, hat also in bewegtem Zustande — vom ruhenden System aus betrachtet — die Gestalt eines Rotationsellipsoides mit den Achsen$$R \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} , \quad R , \quad R .$$$R$Sphere radius$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translation

[p. 903]Align sentencesWährend also die $Y$- und $Z$-Dimension der Kugel (also auch jedes starren Körpers von beliebiger Gestalt) durch die Bewegung nicht modifiziert erscheinen, erscheint die $X$-Dimension im Verhältnis $1 : \sqrt{1 - (v/V)^2}$ verkürzt, also um so stärker, je größer $v$ ist. Show English translationFür $v = V$ schrumpfen alle bewegten Objekte — vom „ruhenden“ System aus betrachtet — in flächenhafte Gebilde zusammen. Show English translationFür Überlichtgeschwindigkeiten werden unsere Überlegungen sinnlos; wir werden übrigens in den folgenden Betrachtungen finden, daß die Lichtgeschwindigkeit in unserer Theorie physikalisch die Rolle der unendlich großen Geschwindigkeiten spielt. Show English translation

[p. 903]Align sentencesEs ist klar, daß die gleichen Resultate von im „ruhenden“ System ruhenden Körpern gelten, welche von einem gleichförmig bewegten System aus betrachtet werden. — Show English translation

[pp. 903–904]Align sentencesWir denken uns ferner eine der Uhren, welche relativ zum ruhenden System ruhend die Zeit $t$, relativ zum bewegten System ruhend die Zeit $\tau$ anzugeben befähigt sind, im Koordinatenursprung von $k$ gelegen und so gerichtet, daß sie die Zeit $\tau$ angibt. Show English translationWie schnell geht diese Uhr, vom ruhenden System aus betrachtet? Show English translation

[p. 904]Align sentencesZwischen die Größen $x$, $t$ und $\tau$, welche sich auf den Ort dieser Uhr beziehen, gelten offenbar die Gleichungen:$$\tau = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} \left( t - \frac{v}{V^2} x \right)$$$\tau$Time in the moving system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$t$Time in the stationary system$x$Position in the stationary systemExplain this equation und$$x = v t .$$$x$Position in the stationary system$v$Speed of the moving system$t$Time in the stationary systemExplain this equation Show English translationEs ist also$$\tau = t \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} = t - \left( 1 - \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right) t ,$$$\tau$Time in the moving system$t$Time in the stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation woraus folgt, daß die Angabe der Uhr (im ruhenden System betrachtet) pro Sekunde um $(1 - \sqrt{1 - (v/V)^2})$ Sek. oder — bis auf Größen vierter und höherer Ordnung um $\frac{1}{2} (v/V)^2$ Sek. zurückbleibt. Show English translation

[p. 904]Align sentencesHieraus ergibt sich folgende eigentümliche Konsequenz. Show English translationSind in den Punkten $A$ und $B$ von $K$ ruhende, im ruhenden System betrachtet, synchron gehende Uhren vorhanden, und bewegt man die Uhr in $A$ mit der Geschwindigkeit $v$ auf der Verbindungslinie nach $B$, so gehen nach Ankunft dieser Uhr in $B$ die beiden Uhren nicht mehr synchron, sondern die von $A$ nach $B$ bewegte Uhr geht gegenüber der von Anfang an in $B$ befindlichen um $\frac{1}{2} t v^2 / V^2$ Sek. (bis auf Größen vierter und höherer Ordnung) nach, wenn $t$ die Zeit ist, welche die Uhr von $A$ nach $B$ braucht. Show English translation

[p. 904]Align sentencesMan sieht sofort, daß dies Resultat auch dann noch gilt, wenn die Uhr in einer beliebigen polygonalen Linie sich von $A$ nach $B$ bewegt, und zwar auch dann, wenn die Punkte $A$ und $B$ zusammenfallen. Show English translation

[pp. 904–905]Align sentencesNimmt man an, daß das für eine polygonale Linie bewiesene Resultat auch für eine stetig gekrümmte Kurve gelte, so erhält man den Satz: Befinden sich in $A$ zwei synchron gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer geschlossenen Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie wieder nach $A$ zurückkommt, was $t$ Sek. dauern möge, so geht die letztere Uhr bei ihrer Ankunft in $A$ gegenüber der unbewegt gebliebenen um $\frac{1}{2} t (v/V)^2$ Sek. nach. Show English translationMan schließt daraus, daß eine am Erdäquator befindliche Unruhuhr um einen sehr kleinen Betrag langsamer laufen muß als eine genau gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene, an einem Erdpole befindliche Uhr. Show English translation

[p. 905]§ 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten.

[p. 905]Align sentencesIn dem längs der $X$-Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten System $k$ bewege sich ein Punkt gemäß den Gleichungen:$$\begin{aligned} \xi &= w_\xi \tau , \\ \eta &= w_\eta \tau , \\ \zeta &= 0 , \end{aligned}$$$\xi$Position in the moving system$w_{\xi }$Velocity along x, moving system$\tau$Time in the moving system$\eta$Position in the moving system$w_{\eta }$Velocity along y, moving system$\zeta$Position in the moving systemExplain this equation wobei $w_\xi$ und $w_\eta$ Konstanten bedeuten. Show English translation

[pp. 905–906]Align sentencesGesucht ist die Bewegung des Punktes relativ zum System $K$. Show English translationFührt man in die Bewegungsgleichungen des Punktes mit Hilfe der in § 3 entwickelten Transformationsgleichungen die Größen $x$, $y$, $z$, $t$ ein, so erhält man:$$\begin{aligned} x &= \frac{w_\xi + v}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} t , \\ y &= \frac{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} w_\eta t , \\ z &= 0 . \end{aligned}$$$x$Position in the stationary system$w_{\xi }$Velocity along x, moving system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$t$Time in the stationary system$y$Position in the stationary system$w_{\eta }$Velocity along y, moving system$z$Position in the stationary systemExplain this equation Show English translationDas Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt also nach unserer Theorie nur in erster Annäherung. Show English translationWir setzen:$$\begin{aligned} U^2 &= \left( \frac{d x}{d t} \right)^2 + \left( \frac{d y}{d t} \right)^2 , \\ w^2 &= w_\xi^2 + w_\eta^2 \end{aligned}$$$U$Composed velocity (stationary system)$x$Position in the stationary system$t$Time in the stationary system$y$Position in the stationary system$w$Velocity in the moving frame$w_{\xi }$Velocity along x, moving system$w_{\eta }$Velocity along y, moving systemExplain this equation und$$\alpha = \operatorname{arctg} \frac{w_y}{w_x} ;$$$\alpha$Velocity direction angle: alpha$w_y$Velocity along y, moving system$w_x$Velocity along x, moving systemExplain this equationSo printed. Read: α = arctg (w_η / w_ξ). The display just above defines the point's velocity components in the system k as w_ξ and w_η (ξ = w_ξ τ, η = w_η τ), and the next sentence names α the angle between the velocities v and w. The record in the correction log $\alpha$ ist dann als der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten $v$ und $w$ anzusehen. Show English translationNach einfacher Rechnung ergibt sich:$$U = \frac{\sqrt{(v^2 + w^2 + 2 v w \cos \alpha) - \left( \frac{v w \sin \alpha}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w \cos \alpha}{V^2}} .$$$U$Composed velocity (stationary system)$v$Speed of the moving system$w$Velocity in the moving frame$\alpha$Velocity direction angle: alpha$V$Speed of lightExplain this equation Show English translationEs ist bemerkenswert, daß $v$ und $w$ in symmetrischer Weise in den Ausdruck für die resultierende Geschwindigkeit eingehen. Show English translationHat auch $w$ die Richtung der $X$-Achse ($\Xi$-Achse), so erhalten wir:$$U = \frac{v + w}{1 + \frac{v w}{V^2}} .$$$U$Composed velocity (stationary system)$v$Speed of the moving system$w$Velocity in the moving frame$V$Speed of lightExplain this equation Show English translationAus dieser Gleichung folgt, daß aus der Zusammensetzung zweier Geschwindigkeiten, welche kleiner sind als $V$, stets eine Geschwindigkeit kleiner als $V$ resultiert. Show English translationSetzt man nämlich $v = V - \varkappa$, $w = V - \lambda$, wobei $\varkappa$ und $\lambda$ positiv und kleiner als $V$ seien, so ist:$$U = V \frac{2 V - \varkappa - \lambda}{2 V - \varkappa - \lambda + \frac{\varkappa \lambda}{V}} < V .$$$U$Composed velocity (stationary system)$V$Speed of light$\varkappa$Speed deficit from light speed: kappa, lambda$\lambda$Speed deficit from light speed: kappa, lambdaExplain this equation Show English translation

[pp. 906–907]Align sentencesEs folgt ferner, daß die Lichtgeschwindigkeit $V$ durch Zusammensetzung mit einer „Unterlichtgeschwindigkeit“ nicht geändert werden kann. Show English translationMan erhält für diesen Fall:$$U = \frac{V + w}{1 + \frac{w}{V}} = V .$$$U$Composed velocity (stationary system)$V$Speed of light$w$Velocity in the moving frameExplain this equation Show English translationWir hätten die Formel für $U$ für den Fall, daß $v$ und $w$ gleiche Richtung besitzen, auch durch Zusammensetzen zweier Transformationen gemäß § 3 erhalten können. Show English translationFühren wir neben den in § 3 figurierenden Systemen $K$ und $k$ noch ein drittes, zu $k$ in Parallelbewegung begriffenes Koordinatensystem $k'$ ein, dessen Anfangspunkt sich auf der $\Xi$-Achse mit der Geschwindigkeit $w$ bewegt, so erhalten wir zwischen den Größen $x$, $y$, $z$, $t$ und den entsprechenden Größen von $k'$ Gleichungen, welche sich von den in § 3 gefundenen nur dadurch unterscheiden, daß an Stelle von „$v$“ die Größe$$\frac{v + w}{1 + \frac{v w}{V^2}}$$$v$Speed of the moving system$w$Velocity in the moving frame$V$Speed of lightExplain this equation tritt; man sieht daraus, daß solche Paralleltransformationen — wie dies sein muß — eine Gruppe bilden. Show English translation

[p. 907]Align sentencesWir haben nun die für uns notwendigen Sätze der unseren zwei Prinzipien entsprechenden Kinematik hergeleitet und gehen dazu über, deren Anwendung in der Elektrodynamik zu zeigen. Show English translation

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

[p. 907]§ 6. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum. Über die Natur der bei Bewegung in einem Magnetfeld auftretenden elektromotorischen Kräfte.

[p. 907]Align sentencesDie Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum mögen gültig sein für das ruhende System $K$, so daß gelten möge:$$\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X}{\partial t} &= \frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial t} &= \frac{\partial Y}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial y} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Y}{\partial t} &= \frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial N}{\partial x} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M}{\partial t} &= \frac{\partial Z}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial z} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Z}{\partial t} &= \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N}{\partial t} &= \frac{\partial X}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial x} , \end{aligned}$$$V$Speed of light$X$Electric field, stationary system$t$Time in the stationary system$N$Magnetic field, stationary system$y$Position in the stationary system$M$Magnetic field, stationary system$z$Position in the stationary system$L$Magnetic field, stationary system$Y$Electric field, stationary system$Z$Electric field, stationary system$x$Position in the stationary systemExplain this equation wobei $(X, Y, Z)$ den Vektor der elektrischen, $(L, M, N)$ den der magnetischen Kraft bedeutet. Show English translation

[pp. 907–908]Align sentencesWenden wir auf diese Gleichungen die in § 3 entwickelte Transformation an, indem wir die elektromagnetischen Vorgänge auf das dort eingeführte, mit der Geschwindigkeit $v$ bewegte Koordinatensystem beziehen, so erhalten wir die Gleichungen:$$\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \eta} - \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial L}{\partial \zeta} - \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \xi} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \xi} - \frac{\partial L}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \zeta} - \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \xi} - \frac{\partial X}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial X}{\partial \eta} - \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \xi} , \end{aligned}$$$V$Speed of light$X$Electric field, stationary system$\tau$Time in the moving system$\beta$Lorentz factor$N$Magnetic field, stationary system$v$Speed of the moving system$Y$Electric field, stationary system$\eta$Position in the moving system$M$Magnetic field, stationary system$Z$Electric field, stationary system$\zeta$Position in the moving system$L$Magnetic field, stationary system$\xi$Position in the moving systemExplain this equation wobei$$\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} .$$$\beta$Lorentz factor$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translation

[p. 908]Align sentencesDas Relativitätsprinzip fordert nun, daß die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum auch im System $k$ gelten, wenn sie im System $K$ gelten, d. h. daß für die im bewegten System $k$ durch ihre ponderomotorischen Wirkungen auf elektrische bez. magnetische Massen definierten Vektoren der elektrischen und magnetischen Kraft ($(X', Y' Z')$ und $(L', M', N')$) des bewegten Systems $k$ die Gleichungen gelten:$$\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X'}{\partial \tau} &= \frac{\partial N'}{\partial \eta} - \frac{\partial M'}{\partial \zeta} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Y'}{\partial \zeta} - \frac{\partial Z'}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Y'}{\partial \tau} &= \frac{\partial L'}{\partial \zeta} - \frac{\partial N'}{\partial \xi} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Z'}{\partial \xi} - \frac{\partial X'}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Z'}{\partial \tau} &= \frac{\partial M'}{\partial \xi} - \frac{\partial L'}{\partial \eta} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N'}{\partial \tau} &= \frac{\partial X'}{\partial \eta} - \frac{\partial Y'}{\partial \xi} . \end{aligned}$$$V$Speed of light$X^{\prime }$Electric field, moving system$\tau$Time in the moving system$N^{\prime }$Magnetic field, moving system$\eta$Position in the moving system$M^{\prime }$Magnetic field, moving system$\zeta$Position in the moving system$L^{\prime }$Magnetic field, moving system$Y^{\prime }$Electric field, moving system$Z^{\prime }$Electric field, moving system$\xi$Position in the moving systemExplain this equation Show English translation