Parallel edition

On the Electrodynamics of Moving Bodies

By A. Einstein · Annalen der Physik (4) 17, 891–921 (1905).

Deutsch

English

Deutsch

English

by A. Einstein

Deutsch

[p. 891]Daß die Elektrodynamik Maxwells — wie dieselbe gegenwärtig aufgefaßt zu werden pflegt — in ihrer Anwendung auf bewegte Körper zu Asymmetrien führt, welche den Phänomenen nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z. B. an die elektrodynamische Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Leiter. Das beobachtbare Phänomen hängt hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, während nach der üblichen Auffassung die beiden Fälle, daß der eine oder der andere dieser Körper der bewegte sei, streng voneinander zu trennen sind. Bewegt sich nämlich der Magnet und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten ein elektrisches Feld von gewissem Energiewerte, welches an den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden, einen Strom erzeugt. Ruht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten kein elektrisches Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische Kraft, welcher an sich keine Energie entspricht, die aber — Gleichheit der Relativbewegung bei den beiden ins Auge gefaßten Fällen vorausgesetzt — zu elektrischen Strömen von derselben Größe und demselben Verlaufe Veranlassung gibt, wie im ersten Falle die elektrischen Kräfte.

English

It is known that Maxwell’s electrodynamics — as it is customarily understood at present — leads in its application to moving bodies to asymmetries which do not seem to be inherent in the phenomena. Think, for example, of the electrodynamic interaction between a magnet and a conductor. The observable phenomenon here depends only on the relative motion of conductor and magnet, whereas according to the customary view the two cases, in which one or the other of these bodies is the one in motion, are to be strictly separated from each other. For if the magnet moves and the conductor is at rest, there arises in the surroundings of the magnet an electric field with a certain energy value, which produces a current at the places where parts of the conductor are situated. But if the magnet is at rest and the conductor moves, no electric field arises in the surroundings of the magnet, but instead there arises in the conductor an electromotive force, to which no energy corresponds in itself, but which — assuming equality of the relative motion in the two cases considered — gives rise to electric currents of the same magnitude and the same course as those produced by the electric forces in the first case.

Deutsch

[pp. 891–892]Beispiele ähnlicher Art, sowie die mißlungenen Versuche, eine Bewegung der Erde relativ zum „Lichtmedium“ zu konstatieren, führen zu der Vermutung, daß dem Begriffe der absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen entsprechen, sondern daß vielmehr für alle Koordinatensysteme, für welche die mechanischen Gleichungen gelten, auch die gleichen elektrodynamischen und optischen Gesetze gelten, wie dies für die Größen erster Ordnung bereits erwiesen ist. Wir wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden „Prinzip der Relativität“ genannt werden wird) zur Voraussetzung erheben und außerdem die mit ihm nur scheinbar unverträgliche Voraussetzung einführen, daß sich das Licht im leeren Raume stets mit einer bestimmten, vom Bewegungszustande des emittierenden Körpers unabhängigen Geschwindigkeit $V$ fortpflanze. Diese beiden Voraussetzungen genügen, um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrodynamik bewegter Körper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie für ruhende Körper. Die Einführung eines „Lichtäthers“ wird sich insofern als überflüssig erweisen, als nach der zu entwickelnden Auffassung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter „absolut ruhender Raum“ eingeführt, noch einem Punkte des leeren Raumes, in welchem elektromagnetische Prozesse stattfinden, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet wird.

English

Examples of a similar kind, together with the unsuccessful attempts to detect a motion of the earth relative to the “light medium”, lead to the conjecture that the concept of absolute rest corresponds to no properties of the phenomena, not only in mechanics but also in electrodynamics, but rather that for all coordinate systems for which the equations of mechanics hold, the same electrodynamic and optical laws also hold, as has already been shown for the quantities of the first order. We shall raise this conjecture (whose content will be called the “principle of relativity” in what follows) to the status of a presupposition, and in addition introduce the presupposition, only apparently incompatible with it, that light is always propagated in empty space with a definite velocity $V$ which is independent of the state of motion of the emitting body. These two presuppositions suffice to arrive at a simple and consistent electrodynamics of moving bodies, taking as a basis Maxwell’s theory for bodies at rest. The introduction of a “light ether” will prove to be superfluous inasmuch as, according to the view to be developed, neither will an “absolutely resting space” endowed with special properties be introduced, nor will a velocity vector be assigned to a point of empty space in which electromagnetic processes take place.

Deutsch

[p. 892]Die zu entwickelnde Theorie stützt sich — wie jede andere Elektrodynamik — auf die Kinematik des starren Körpers, da die Aussagen einer jeden Theorie Beziehungen zwischen starren Körpern (Koordinatensystemen), Uhren und elektromagnetischen Prozessen betreffen. Die nicht genügende Berücksichtigung dieses Umstandes ist die Wurzel der Schwierigkeiten, mit denen die Elektrodynamik bewegter Körper gegenwärtig zu kämpfen hat.

English

The theory to be developed is based — like every other electrodynamics — on the kinematics of the rigid body, since the assertions of any theory concern relations between rigid bodies (coordinate systems), clocks and electromagnetic processes. Insufficient consideration of this circumstance is the root of the difficulties with which the electrodynamics of moving bodies currently has to contend.

Deutsch

[p. 892]I. Kinematischer Teil.

English

I. Kinematical Part.

Deutsch

[p. 892]§ 1. Definition der Gleichzeitigkeit.

English

§ 1. Definition of Simultaneity.

Deutsch

[p. 892]Es liege ein Koordinatensystem vor, in welchem die Newtonschen mechanischen Gleichungen gelten. Wir nennen dies Koordinatensystem zur sprachlichen Unterscheidung von später einzuführenden Koordinatensystemen und zur Präzisierung der Vorstellung das „ruhende System“.

English

Let there be given a coordinate system in which Newton’s mechanical equations hold. To distinguish it in words from coordinate systems to be introduced later, and to make the idea precise, we call this coordinate system the “stationary system”.

Deutsch

[p. 892]Ruht ein materieller Punkt relativ zu diesem Koordinatensystem, so kann seine Lage relativ zu letzterem durch starre Maßstäbe unter Benutzung der Methoden der euklidischen Geometrie bestimmt und in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden.

English

If a material point is at rest relative to this coordinate system, its position relative to the latter can be determined by rigid measuring rods, using the methods of Euclidean geometry, and expressed in Cartesian coordinates.

Deutsch

[pp. 892–893]Wollen wir die Bewegung eines materiellen Punktes beschreiben, so geben wir die Werte seiner Koordinaten in Funktion der Zeit. Es ist nun wohl im Auge zu behalten, daß eine derartige mathematische Beschreibung erst dann einen physikalischen Sinn hat, wenn man sich vorher darüber klar geworden ist, was hier unter „Zeit“ verstanden wird. Wir haben zu berücksichtigen, daß alle unsere Urteile, in welchen die Zeit eine Rolle spielt, immer Urteile über gleichzeitige Ereignisse sind. Wenn ich z. B. sage: „Jener Zug kommt hier um 7 Uhr an,“ so heißt dies etwa: „Das Zeigen des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 7 und das Ankommen des Zuges sind gleichzeitige Ereignisse.“^[1)]

English

If we wish to describe the motion of a material point, we give the values of its coordinates as functions of time. Now it must be borne well in mind that a mathematical description of this kind has a physical meaning only when one has first become clear about what is to be understood here by “time”. We have to take into account that all our judgements in which time plays a part are always judgements about simultaneous events. If, for example, I say: “That train arrives here at 7 o’clock,” this means roughly: “The pointing of the small hand of my clock to 7 and the arrival of the train are simultaneous events.”^[1)]

Deutsch

[p. 893]Es könnte scheinen, daß alle die Definition der „Zeit“ betreffenden Schwierigkeiten dadurch überwunden werden könnten, daß ich an Stelle der „Zeit“ die „Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr“ setze. Eine solche Definition genügt in der Tat, wenn es sich darum handelt, eine Zeit zu definieren ausschließlich für den Ort, an welchem sich die Uhr eben befindet; die Definition genügt aber nicht mehr, sobald es sich darum handelt, an verschiedenen Orten stattfindende Ereignisreihen miteinander zeitlich zu verknüpfen, oder — was auf dasselbe hinausläuft — Ereignisse zeitlich zu werten, welche in von der Uhr entfernten Orten stattfinden.

English

It might seem that all the difficulties concerning the definition of “time” could be overcome by my putting “the position of the small hand of my clock” in place of “time”. Such a definition does indeed suffice when it is a matter of defining a time exclusively for the place at which the clock is located; but the definition no longer suffices as soon as it is a matter of connecting with one another, with respect to time, series of events that occur at different places, or — what amounts to the same thing — of evaluating, with respect to time, events that occur at places remote from the clock.

Deutsch

[p. 893]Wir könnten uns allerdings damit begnügen, die Ereignisse dadurch zeitlich zu werten, daß ein samt der Uhr im Koordinatenursprung befindlicher Beobachter jedem von einem zu wertenden Ereignis Zeugnis gebenden, durch den leeren Raum zu ihm gelangenden Lichtzeichen die entsprechende Uhrzeigerstellung zuordnet. Eine solche Zuordnung bringt aber den Übelstand mit sich, daß sie vom Standpunkte des mit der Uhr versehenen Beobachters nicht unabhängig ist, wie wir durch die Erfahrung wissen. Zu einer weit praktischeren Festsetzung gelangen wir durch folgende Betrachtung.

English

We could, it is true, content ourselves with evaluating events with respect to time by having an observer, located together with the clock at the origin of coordinates, assign the corresponding position of the clock’s hands to each light signal that gives evidence of an event to be evaluated and reaches him through empty space. But such an assignment has the drawback that it is not independent of the standpoint of the observer provided with the clock, as we know from experience. We arrive at a far more practical stipulation through the following consideration.

Deutsch

[pp. 893–894]Befindet sich im Punkte $A$ des Raumes eine Uhr, so kann ein in $A$ befindlicher Beobachter die Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $A$ zeitlich werten durch Aufsuchen der mit diesen Ereignissen gleichzeitigen Uhrzeigerstellungen. Befindet sich auch im Punkte $B$ des Raumes eine Uhr — wir wollen hinzufügen, „eine Uhr von genau derselben Beschaffenheit wie die in $A$ befindliche“ — so ist auch eine zeitliche Wertung der Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $B$ durch einen in $B$ befindlichen Beobachter möglich. Es ist aber ohne weitere Festsetzung nicht möglich, ein Ereignis in $A$ mit einem Ereignis in $B$ zeitlich zu vergleichen; wir haben bisher nur eine „ $A$ -Zeit“ und eine „ $B$ -Zeit“, aber keine für $A$ und $B$ gemeinsame „Zeit“ definiert. Die letztere Zeit kann nun definiert werden, indem man durch Definition festsetzt, daß die „Zeit“, welche das Licht braucht, um von $A$ nach $B$ zu gelangen, gleich ist der „Zeit“, welche es braucht, um von $B$ nach $A$ zu gelangen. Es gehe nämlich ein Lichtstrahl zur „ $A$ -Zeit“ $t_A$ von $A$ nach $B$ ab, werde zur „ $B$ -Zeit“ $t_B$ in $B$ gegen $A$ zu reflektiert und gelange zur „ $A$ -Zeit“ $t'_A$ nach $A$ zurück. Die beiden Uhren laufen definitionsgemäß synchron, wenn $t_B - t_A = t'_A - t_B .$ Time in the stationary systemTime in the stationary systemTime in the stationary systemExplain this equation

English

If there is a clock at the point $A$ of space, an observer located at $A$ can evaluate, with respect to time, the events in the immediate vicinity of $A$ by finding the positions of the clock’s hands that are simultaneous with these events. If there is also a clock at the point $B$ of space — we wish to add, “a clock of exactly the same constitution as the one located at $A$ ” — then an evaluation, with respect to time, of the events in the immediate vicinity of $B$ by an observer located at $B$ is also possible. But without a further stipulation it is not possible to compare, with respect to time, an event at $A$ with an event at $B$ ; so far we have defined only an “ $A$ -time” and a “ $B$ -time”, but no “time” common to $A$ and $B$ . The latter time can now be defined by stipulating by definition that the “time” which light requires to travel from $A$ to $B$ is equal to the “time” which it requires to travel from $B$ to $A$ . For let a ray of light start at the “ $A$ -time” $t_A$ from $A$ towards $B$ , let it be reflected at the “ $B$ -time” $t_B$ at $B$ towards $A$ , and let it arrive back at the “ $A$ -time” $t'_A$ at $A$ . The two clocks run synchronously by definition if $t_B - t_A = t'_A - t_B .$ Time in the stationary systemTime in the stationary systemTime in the stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 894]Wir nehmen an, daß diese Definition des Synchronismus in widerspruchsfreier Weise möglich sei, und zwar für beliebig viele Punkte, daß also allgemein die Beziehungen gelten:
1. Wenn die Uhr in $B$ synchron mit der Uhr in $A$ läuft, so läuft die Uhr in $A$ synchron mit der Uhr in $B$ .
2. Wenn die Uhr in $A$ sowohl mit der Uhr in $B$ als auch mit der Uhr in $C$ synchron läuft, so laufen auch die Uhren in $B$ und $C$ synchron relativ zueinander.

English

We assume that this definition of synchronism is possible without contradiction, and indeed for arbitrarily many points, and that therefore the following relations hold in general:
1. If the clock at $B$ runs synchronously with the clock at $A$ , then the clock at $A$ runs synchronously with the clock at $B$ .
2. If the clock at $A$ runs synchronously both with the clock at $B$ and with the clock at $C$ , then the clocks at $B$ and $C$ also run synchronously relative to each other.

Deutsch

[p. 894]Wir haben so unter Zuhilfenahme gewisser (gedachter) physikalischer Erfahrungen festgelegt, was unter synchron laufenden, an verschiedenen Orten befindlichen, ruhenden Uhren zu verstehen ist und damit offenbar eine Definition von „gleichzeitig“ und „Zeit“ gewonnen. Die „Zeit“ eines Ereignisses ist die mit dem Ereignis gleichzeitige Angabe einer am Orte des Ereignisses befindlichen, ruhenden Uhr, welche mit einer bestimmten, ruhenden Uhr, und zwar für alle Zeitbestimmungen mit der nämlichen Uhr, synchron läuft.

English

In this way, with the help of certain (imagined) physical experiences, we have established what is to be understood by synchronously running clocks at rest that are located at different places, and have thereby evidently obtained a definition of “simultaneous” and “time”. The “time” of an event is the reading, simultaneous with the event, of a clock at rest located at the place of the event, which runs synchronously with a specified clock at rest, and indeed with the same clock for all determinations of time.

Deutsch

[p. 894]Wir setzen noch der Erfahrung gemäß fest, daß die Größe $\frac{2 \overline{AB}}{t'_A - t_A} = V$ Distance between two eventsTime in the stationary systemTime in the stationary systemSpeed of lightExplain this equation eine universelle Konstante (die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raume) sei.

English

In accordance with experience we further stipulate that the quantity $\frac{2 \overline{AB}}{t'_A - t_A} = V$ Distance between two eventsTime in the stationary systemTime in the stationary systemSpeed of lightExplain this equation is a universal constant (the velocity of light in empty space).

Deutsch

[pp. 894–895]Wesentlich ist, daß wir die Zeit mittels im ruhenden System ruhender Uhren definiert haben; wir nennen die eben definierte Zeit wegen dieser Zugehörigkeit zum ruhenden System „die Zeit des ruhenden Systems“.

English

It is essential that we have defined time by means of clocks at rest in the stationary system; because of this association with the stationary system we call the time just defined “the time of the stationary system”.

Deutsch

[p. 895]§ 2. Über die Relativität von Längen und Zeiten.

English

§ 2. On the Relativity of Lengths and Times.

Deutsch

[p. 895]Die folgenden Überlegungen stützen sich auf das Relativitätsprinzip und auf das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, welche beiden Prinzipien wir folgendermaßen definieren.
1. Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physikalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden.
2. Jeder Lichtstrahl bewegt sich im „ruhenden“ Koordinatensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit $V$ , unabhängig davon, ob dieser Lichtstrahl von einem ruhenden oder bewegten Körper emittiert ist. Hierbei ist $\text{Geschwindigkeit} = \frac{\text{Lichtweg}}{\text{Zeitdauer}} ,$ Explain this equation wobei „Zeitdauer“ im Sinne der Definition des § 1 aufzufassen ist.

English

The following considerations are based on the principle of relativity and on the principle of the constancy of the velocity of light, which two principles we define as follows.
1. The laws according to which the states of physical systems change are independent of which of two coordinate systems in uniform translational motion relative to each other these changes of state are referred to.
2. Every ray of light moves in the “stationary” coordinate system with the definite velocity $V$ , independently of whether this ray of light is emitted by a stationary or by a moving body. Here [velocity = light path / time interval] $\text{Geschwindigkeit} = \frac{\text{Lichtweg}}{\text{Zeitdauer}} ,$ Explain this equation where “Zeitdauer” [time interval] is to be understood in the sense of the definition in § 1.

Deutsch

[pp. 895–896]Es sei ein ruhender starrer Stab gegeben; derselbe besitze, mit einem ebenfalls ruhenden Maßstabe gemessen, die Länge $l$ . Wir denken uns nun die Stabachse in die $X$ -Achse des ruhenden Koordinatensystems gelegt und dem Stabe hierauf eine gleichförmige Paralleltranslationsbewegung (Geschwindigkeit $v$ ) längs der $X$ -Achse im Sinne der wachsenden $x$ erteilt. Wir fragen nun nach der Länge des bewegten Stabes, welche wir uns durch folgende zwei Operationen ermittelt denken:
a) Der Beobachter bewegt sich samt dem vorher genannten Maßstabe mit dem auszumessenden Stabe und mißt direkt durch Anlegen des Maßstabes die Länge des Stabes, ebenso, wie wenn sich auszumessender Stab, Beobachter und Maßstab in Ruhe befänden.
b) Der Beobachter ermittelt mittels im ruhenden Systeme aufgestellter, gemäß § 1 synchroner, ruhender Uhren, in welchen Punkten des ruhenden Systems sich Anfang und Ende des auszumessenden Stabes zu einer bestimmten Zeit $t$ befinden.
Die Entfernung dieser beiden Punkte, gemessen mit dem schon benutzten, in diesem Falle ruhenden Maßstabe ist ebenfalls eine Länge, welche man als „Länge des Stabes“ bezeichnen kann.

English

Let a stationary rigid rod be given; let it possess, measured with a measuring rod that is likewise stationary, the length $l$ . We now imagine the axis of the rod laid along the $X$ -axis of the stationary coordinate system, and the rod then given a uniform motion of parallel translation (velocity $v$ ) along the $X$ -axis in the direction of increasing $x$ . We now inquire into the length of the moving rod, which we imagine to be ascertained by the following two operations:
a) The observer moves, together with the measuring rod just mentioned, with the rod to be measured, and measures the length of the rod directly by applying the measuring rod, just as if the rod to be measured, the observer and the measuring rod were at rest.
b) By means of clocks at rest set up in the stationary system and synchronous according to § 1, the observer ascertains at which points of the stationary system the beginning and the end of the rod to be measured are located at a definite time $t$ .
The distance between these two points, measured with the measuring rod already used, in this case at rest, is likewise a length, which may be called the “length of the rod”.

Deutsch

[p. 896]Nach dem Relativitätsprinzip muß die bei der Operation a) zu findende Länge, welche wir „die Länge des Stabes im bewegten System“ nennen wollen, gleich der Länge $l$ des ruhenden Stabes sein.

English

According to the principle of relativity, the length to be found by operation a), which we shall call “the length of the rod in the moving system”, must be equal to the length $l$ of the stationary rod.

Deutsch

[p. 896]Die bei der Operation b) zu findende Länge, welche wir „die Länge des (bewegten) Stabes im ruhenden System“ nennen wollen, werden wir unter Zugrundelegung unserer beiden Prinzipien bestimmen und finden, daß sie von $l$ verschieden ist.

English

The length to be found by operation b), which we shall call “the length of the (moving) rod in the stationary system”, we shall determine on the basis of our two principles, and we shall find that it differs from $l$ .

Deutsch

[p. 896]Die allgemein gebrauchte Kinematik nimmt stillschweigend an, daß die durch die beiden erwähnten Operationen bestimmten Längen einander genau gleich seien, oder mit anderen Worten, daß ein bewegter starrer Körper in der Zeitepoche $t$ in geometrischer Beziehung vollständig durch denselben Körper, wenn er in bestimmter Lage ruht, ersetzbar sei.

English

The kinematics in general use tacitly assumes that the lengths determined by these two operations are exactly equal to each other, or in other words, that a moving rigid body at the epoch $t$ may in geometrical respects be completely replaced by the same body when it is at rest in a definite position.

Deutsch

[p. 896]Wir denken uns ferner an den beiden Stabenden ( $A$ und $B$ ) Uhren angebracht, welche mit den Uhren des ruhenden Systems synchron sind, d. h. deren Angaben jeweilen der „Zeit des ruhenden Systems“ an den Orten, an welchen sie sich gerade befinden, entsprechen; diese Uhren sind also „synchron im ruhenden System“.

English

We imagine further that at the two ends of the rod ( $A$ and $B$ ) clocks are placed which are synchronous with the clocks of the stationary system, that is, whose readings correspond at any moment to the “time of the stationary system” at the places where they happen to be; these clocks are therefore “synchronous in the stationary system”.

Deutsch

[pp. 896–897]Wir denken uns ferner, daß sich bei jeder Uhr ein mit ihr bewegter Beobachter befinde, und daß diese Beobachter auf die beiden Uhren das im § 1 aufgestellte Kriterium für den synchronen Gang zweier Uhren anwenden. Zur Zeit^[1)] $t_A$ gehe ein Lichtstrahl von $A$ aus, werde zur Zeit $t_B$ in $B$ reflektiert und gelange zur Zeit $t'_A$ nach $A$ zurück. Unter Berücksichtigung des Prinzipes von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit finden wir: $t_B - t_A = \frac{r_{AB}}{V - v}$ Time in the stationary systemTime in the stationary systemLength of the moving rodSpeed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation und $t'_A - t_B = \frac{r_{AB}}{V + v} ,$ Time in the stationary systemTime in the stationary systemLength of the moving rodSpeed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation wobei $r_{AB}$ die Länge des bewegten Stabes — im ruhenden System gemessen — bedeutet. Mit dem bewegten Stabe bewegte Beobachter würden also die beiden Uhren nicht synchron gehend finden, während im ruhenden System befindliche Beobachter die Uhren als synchron laufend erklären würden.

English

We imagine further that with each clock there is an observer moving with it, and that these observers apply to the two clocks the criterion established in § 1 for the synchronous running of two clocks. At the time^[1)] $t_A$ let a ray of light go out from $A$ , let it be reflected at the time $t_B$ at $B$ , and let it arrive back at the time $t'_A$ at $A$ . Taking into account the principle of the constancy of the velocity of light, we find: $t_B - t_A = \frac{r_{AB}}{V - v}$ Time in the stationary systemTime in the stationary systemLength of the moving rodSpeed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation and $t'_A - t_B = \frac{r_{AB}}{V + v} ,$ Time in the stationary systemTime in the stationary systemLength of the moving rodSpeed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation where $r_{AB}$ denotes the length — measured in the stationary system — of the moving rod. Observers moving with the moving rod would thus find that the two clocks do not run synchronously, while observers located in the stationary system would declare the clocks to be running synchronously.

Deutsch

[p. 897]Wir sehen also, daß wir dem Begriffe der Gleichzeitigkeit keine absolute Bedeutung beimessen dürfen, sondern daß zwei Ereignisse, welche, von einem Koordinatensystem aus betrachtet, gleichzeitig sind, von einem relativ zu diesem System bewegten System aus betrachtet, nicht mehr als gleichzeitige Ereignisse aufzufassen sind.

English

We see, then, that we must not attach any absolute meaning to the concept of simultaneity, but that two events which are simultaneous when viewed from one coordinate system are no longer to be regarded as simultaneous events when viewed from a system moving relative to that system.

Deutsch

[p. 897]§ 3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichförmiger Translationsbewegung befindliches System.

English

§ 3. Theory of the Transformation of Coordinates and Times from the Stationary System to a System in Uniform Translational Motion Relative to It.

Deutsch

[p. 897]Seien im „ruhenden“ Raume zwei Koordinatensysteme, d. h. zwei Systeme von je drei von einem Punkte ausgehenden, aufeinander senkrechten starren materiellen Linien, gegeben. Die $X$ -Achsen beider Systeme mögen zusammenfallen, ihre $Y$ - und $Z$ -Achsen bezüglich parallel sein. Jedem Systeme sei ein starrer Maßstab und eine Anzahl Uhren beigegeben, und es seien beide Maßstäbe sowie alle Uhren beider Systeme einander genau gleich.

English

Let there be given in the “stationary” space two coordinate systems, that is, two systems each of three rigid material lines, perpendicular to one another and issuing from one point. Let the $X$ -axes of the two systems coincide, and their $Y$ - and $Z$ -axes be respectively parallel. Let each system be provided with a rigid measuring rod and a number of clocks, and let the two measuring rods, and all the clocks of the two systems, be exactly alike.

Deutsch

[p. 897]Es werde nun dem Anfangspunkte des einen der beiden Systeme ( $k$ ) eine (konstante) Geschwindigkeit $v$ in Richtung der wachsenden $x$ des anderen, ruhenden Systems ( $K$ ) erteilt, welche sich auch den Koordinatenachsen, dem betreffenden Maßstabe sowie den Uhren mitteilen möge. Jeder Zeit $t$ des ruhenden Systems $K$ entspricht dann eine bestimmte Lage der Achsen des bewegten Systems und wir sind aus Symmetriegründen befugt anzunehmen, daß die Bewegung von $k$ so beschaffen sein kann, daß die Achsen des bewegten Systems zur Zeit $t$ (es ist mit „ $t$ “ immer eine Zeit des ruhenden Systems bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seien.

English

Now to the origin of one of the two systems ( $k$ ) let a (constant) velocity $v$ be imparted in the direction of increasing $x$ of the other, stationary system ( $K$ ), a velocity which is to be communicated also to the coordinate axes, the measuring rod in question and the clocks. To each time $t$ of the stationary system $K$ there then corresponds a definite position of the axes of the moving system, and for reasons of symmetry we are entitled to assume that the motion of $k$ can be such that the axes of the moving system are parallel to the axes of the stationary system at the time $t$ (by “ $t$ ” a time of the stationary system is always meant).

Deutsch

[pp. 897–898]Wir denken uns nun den Raum sowohl vom ruhenden System $K$ aus mittels des ruhenden Maßstabes als auch vom bewegten System $k$ mittels des mit ihm bewegten Maßstabes ausgemessen und so die Koordinaten $x$ , $y$ , $z$ bez. $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ ermittelt. Es werde ferner mittels der im ruhenden System befindlichen ruhenden Uhren durch Lichtsignale in der in § 1 angegebenen Weise die Zeit $t$ des ruhenden Systems für alle Punkte des letzteren bestimmt, in denen sich Uhren befinden; ebenso werde die Zeit $\tau$ des bewegten Systems für alle Punkte des bewegten Systems, in welchen sich relativ zu letzterem ruhende Uhren befinden, bestimmt durch Anwendung der in § 1 genannten Methode der Lichtsignale zwischen den Punkten, in denen sich die letzteren Uhren befinden.

English

We now imagine space to be measured out both from the stationary system $K$ by means of the stationary measuring rod and from the moving system $k$ by means of the measuring rod moving with it, and the coordinates $x$ , $y$ , $z$ and $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ respectively to be thus obtained. Further, let the time $t$ of the stationary system be determined, by means of the clocks at rest in the stationary system and by light signals in the manner given in § 1, for all points of the latter at which there are clocks; likewise let the time $\tau$ of the moving system be determined for all points of the moving system at which there are clocks at rest relative to it, by applying the method of light signals given in § 1 between the points at which these clocks are located.

Deutsch

[p. 898]Zu jedem Wertsystem $x$ , $y$ , $z$ , $t$ , welches Ort und Zeit eines Ereignisses im ruhenden System vollkommen bestimmt, gehört ein jenes Ereignis relativ zum System $k$ festlegendes Wertsystem $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ , $\tau$ , und es ist nun die Aufgabe zu lösen, das diese Größen verknüpfende Gleichungssystem zu finden.

English

To every system of values $x$ , $y$ , $z$ , $t$ which completely determines the place and time of an event in the stationary system there belongs a system of values fixing that event relative to the system $k$ , namely $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ , $\tau$ , and the task now is to find the system of equations connecting these quantities.

Deutsch

[p. 898]Zunächst ist klar, daß die Gleichungen linear sein müssen wegen der Homogenitätseigenschaften, welche wir Raum und Zeit beilegen.

English

In the first place it is clear that the equations must be linear on account of the properties of homogeneity which we attribute to space and time.

Deutsch

[p. 898]Setzen wir $x' = x - v t$ , so ist klar, daß einem im System $k$ ruhenden Punkte ein bestimmtes, von der Zeit unabhängiges Wertsystem $x'$ , $y$ , $z$ zukommt. Wir bestimmen zuerst $\tau$ als Funktion von $x'$ , $y$ , $z$ und $t$ . Zu diesem Zwecke haben wir in Gleichungen auszudrücken, daß $\tau$ nichts anderes ist als der Inbegriff der Angaben von im System $k$ ruhenden Uhren, welche nach der im § 1 gegebenen Regel synchron gemacht worden sind.

English

If we put $x' = x - v t$ , it is clear that to a point at rest in the system $k$ there belongs a definite system of values $x'$ , $y$ , $z$ , independent of time. We first determine $\tau$ as a function of $x'$ , $y$ , $z$ and $t$ . To this end we have to express in equations that $\tau$ is nothing other than the totality of the readings of clocks at rest in the system $k$ which have been made synchronous according to the rule given in § 1.

Deutsch

[pp. 898–899]Vom Anfangspunkt des Systems $k$ aus werde ein Lichtstrahl zur Zeit $\tau_0$ längs der $X$ -Achse nach $x'$ gesandt und von dort zur Zeit $\tau_1$ nach dem Koordinatenursprung reflektiert, wo er zur Zeit $\tau_2$ anlange; so muß dann sein: $\frac{1}{2}(\tau_0 + \tau_2) = \tau_1$ Time in the moving systemTime in the moving systemTime in the moving systemExplain this equation oder, indem man die Argumente der Funktion $\tau$ beifügt und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im ruhenden Systeme anwendet: $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\left[ \tau(0,0,0,t) + \tau\left( 0,0,0,\left\{ t + \frac{x'}{V-v} + \frac{x'}{V+v} \right\} \right) \right] \\ &= \tau\left( x',0,0,t + \frac{x'}{V-v} \right). \end{aligned}$ Time in the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Speed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation Hieraus folgt, wenn man $x'$ unendlich klein wählt: $\frac{1}{2}\left( \frac{1}{V-v} + \frac{1}{V+v} \right) \frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{1}{V-v} \frac{\partial \tau}{\partial t} ,$ Speed of lightSpeed of the moving systemTime in the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation oder $\frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{v}{V^2 - v^2} \frac{\partial \tau}{\partial t} = 0 .$ Time in the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Speed of the moving systemSpeed of lightTime in the stationary systemExplain this equation

English

From the origin of the system $k$ let a ray of light be sent at the time $\tau_0$ along the $X$ -axis to $x'$ , and from there be reflected at the time $\tau_1$ towards the origin of coordinates, where it arrives at the time $\tau_2$ ; we must then have: $\frac{1}{2}(\tau_0 + \tau_2) = \tau_1$ Time in the moving systemTime in the moving systemTime in the moving systemExplain this equation or, if we add the arguments of the function $\tau$ and apply the principle of the constancy of the velocity of light in the stationary system: $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\left[ \tau(0,0,0,t) + \tau\left( 0,0,0,\left\{ t + \frac{x'}{V-v} + \frac{x'}{V+v} \right\} \right) \right] \\ &= \tau\left( x',0,0,t + \frac{x'}{V-v} \right). \end{aligned}$ Time in the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Speed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation Hence, if $x'$ is chosen infinitely small, it follows that: $\frac{1}{2}\left( \frac{1}{V-v} + \frac{1}{V+v} \right) \frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{1}{V-v} \frac{\partial \tau}{\partial t} ,$ Speed of lightSpeed of the moving systemTime in the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation or $\frac{\partial \tau}{\partial x'} + \frac{v}{V^2 - v^2} \frac{\partial \tau}{\partial t} = 0 .$ Time in the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Speed of the moving systemSpeed of lightTime in the stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 899]Es ist zu bemerken, daß wir statt des Koordinatenursprunges jeden anderen Punkt als Ausgangspunkt des Lichtstrahles hätten wählen können und es gilt deshalb die eben erhaltene Gleichung für alle Werte von $x'$ , $y$ , $z$ .

English

It is to be noted that instead of the origin of coordinates we could have chosen any other point as the starting point of the ray of light, and the equation just obtained therefore holds for all values of $x'$ , $y$ , $z$ .

Deutsch

[p. 899]Eine analoge Überlegung — auf die $H$ - und $Z$ -Achse angewandt — liefert, wenn man beachtet, daß sich das Licht längs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet stets mit der Geschwindigkeit $\sqrt{V^2 - v^2}$ fortpflanzt: $\begin{aligned} \frac{\partial \tau}{\partial y} &= 0 \\ \frac{\partial \tau}{\partial z} &= 0 . \end{aligned}$ Time in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation Aus diesen Gleichungen folgt, da $\tau$ eine lineare Funktion ist: $\tau = a\left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) ,$ Time in the moving systemUndetermined scaleTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation wobei $a$ eine vorläufig unbekannte Funktion $\varphi(v)$ ist und der Kürze halber angenommen ist, daß im Anfangspunkte von $k$ für $\tau = 0$ $t = 0$ sei.

English

An analogous consideration — applied to the $H$ - and $Z$ -axes — gives, if it is borne in mind that light always propagates along these axes, viewed from the stationary system, with the velocity $\sqrt{V^2 - v^2}$ : $\begin{aligned} \frac{\partial \tau}{\partial y} &= 0 \\ \frac{\partial \tau}{\partial z} &= 0 . \end{aligned}$ Time in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation From these equations it follows, since $\tau$ is a linear function, that: $\tau = a\left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) ,$ Time in the moving systemUndetermined scaleTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation where $a$ is a function $\varphi(v)$ as yet unknown, and where for brevity it is assumed that at the origin of $k$ , for $\tau = 0$ , $t = 0$ .

Deutsch

[pp. 899–900]Mit Hilfe dieses Resultates ist es leicht, die Größen $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ zu ermitteln, indem man durch Gleichungen ausdrückt, daß sich das Licht (wie das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip verlangt) auch im bewegten System gemessen mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt. Für einen zur Zeit $\tau = 0$ in Richtung der wachsenden $\xi$ ausgesandten Lichtstrahl gilt: $\xi = V \tau ,$ Position in the moving systemSpeed of lightTime in the moving systemExplain this equation oder $\xi = a V \left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) .$ Position in the moving systemUndetermined scaleSpeed of lightTime in the stationary systemSpeed of the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation Nun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangspunkt von $k$ im ruhenden System gemessen mit der Geschwindigkeit $V-v$ , so daß gilt: $\frac{x'}{V-v} = t .$ Auxiliary Galilean coordinate: x'Speed of lightSpeed of the moving systemTime in the stationary systemExplain this equation Setzen wir diesen Wert von $t$ in die Gleichung für $\xi$ ein, so erhalten wir: $\xi = a \frac{V^2}{V^2 - v^2} x' .$ Position in the moving systemUndetermined scaleSpeed of lightSpeed of the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation Auf analoge Weise finden wir durch Betrachtung von längs den beiden anderen Achsen bewegte Lichtstrahlen: $\eta = V \tau = a V \left( t - \frac{v}{V^2 - v^2} x' \right) ,$ Position in the moving systemSpeed of lightTime in the moving systemUndetermined scaleTime in the stationary systemSpeed of the moving systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation wobei $\frac{y}{\sqrt{V^2 - v^2}} = t ; \quad x' = 0 ;$ Position in the stationary systemSpeed of lightSpeed of the moving systemTime in the stationary systemAuxiliary Galilean coordinate: x'Explain this equation also $\eta = a \frac{V}{\sqrt{V^2 - v^2}} y$ Position in the moving systemUndetermined scaleSpeed of lightSpeed of the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation und $\zeta = a \frac{V}{\sqrt{V^2 - v^2}} z .$ Position in the moving systemUndetermined scaleSpeed of lightSpeed of the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation

English

Deutsch

[p. 900]Setzen wir für $x'$ seinen Wert ein, so erhalten wir: $\begin{aligned} \tau &= \varphi(v) \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \varphi(v) \beta (x - v t), \\ \eta &= \varphi(v) y, \\ \zeta &= \varphi(v) z, \end{aligned}$ Time in the moving systemUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation wobei $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation und $\varphi$ eine vorläufig unbekannte Funktion von $v$ ist. Macht man über die Anfangslage des bewegten Systems und über den Nullpunkt von $\tau$ keinerlei Voraussetzung, so ist auf den rechten Seiten dieser Gleichungen je eine additive Konstante zuzufügen.

English

If we substitute for $x'$ its value, we obtain: $\begin{aligned} \tau &= \varphi(v) \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \varphi(v) \beta (x - v t), \\ \eta &= \varphi(v) y, \\ \zeta &= \varphi(v) z, \end{aligned}$ Time in the moving systemUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation where $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation and $\varphi$ is a function of $v$ as yet unknown. If no presupposition whatever is made about the initial position of the moving system and about the zero point of $\tau$ , an additive constant is to be added to the right-hand side of each of these equations.

Deutsch

[pp. 900–901]Wir haben nun zu beweisen, daß jeder Lichtstrahl sich, im bewegten System gemessen, mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt, falls dies, wie wir angenommen haben, im ruhenden System der Fall ist; denn wir haben den Beweis dafür noch nicht geliefert, daß das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip vereinbar sei.

English

We now have to prove that every ray of light, measured in the moving system, propagates with the velocity $V$ if, as we have assumed, this is the case in the stationary system; for we have not yet furnished the proof that the principle of the constancy of the velocity of light is compatible with the principle of relativity.

Deutsch

[p. 901]Zur Zeit $t = \tau = 0$ werde von dem zu dieser Zeit gemeinsamen Koordinatenursprung beider Systeme aus eine Kugelwelle ausgesandt, welche sich im System $K$ mit der Geschwindigkeit $V$ ausbreitet. Ist $(x, y, z)$ ein eben von dieser Welle ergriffener Punkt, so ist also $x^2 + y^2 + z^2 = V^2 t^2 .$ Position in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemSpeed of lightTime in the stationary systemExplain this equation

English

At the time $t = \tau = 0$ let a spherical wave be emitted from the origin of coordinates, common at that time to both systems, a wave which propagates in the system $K$ with the velocity $V$ . If $(x, y, z)$ is a point just reached by this wave, we therefore have $x^2 + y^2 + z^2 = V^2 t^2 .$ Position in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemSpeed of lightTime in the stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 901]Diese Gleichung transformieren wir mit Hilfe unserer Transformationsgleichungen und erhalten nach einfacher Rechnung: $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = V^2 \tau^2 .$ Position in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemSpeed of lightTime in the moving systemExplain this equation

English

We transform this equation with the help of our transformation equations and obtain, after a simple calculation: $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = V^2 \tau^2 .$ Position in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemSpeed of lightTime in the moving systemExplain this equation

Deutsch

[p. 901]Die betrachtete Welle ist also auch im bewegten System betrachtet eine Kugelwelle von der Ausbreitungsgeschwindigkeit $V$ . Hiermit ist gezeigt, daß unsere beiden Grundprinzipien miteinander vereinbar sind.

English

The wave under consideration is therefore, viewed in the moving system too, a spherical wave with the velocity of propagation $V$ . It is thereby shown that our two fundamental principles are compatible with each other.

Deutsch

[p. 901]In den entwickelten Transformationsgleichungen tritt noch eine unbekannte Funktion $\varphi$ von $v$ auf, welche wir nun bestimmen wollen.

English

In the transformation equations developed there still occurs an unknown function $\varphi$ of $v$ , which we now wish to determine.

Deutsch

[p. 901]Wir führen zu diesem Zwecke noch ein drittes Koordinatensystem $K'$ ein, welches relativ zum System $k$ derart in Paralleltranslationsbewegung parallel zur $\Xi$ -Achse begriffen sei, daß sich dessen Koordinatenursprung mit der Geschwindigkeit $-v$ auf der $\Xi$ -Achse bewege. Zur Zeit $t = 0$ mögen alle drei Koordinatenanfangspunkte zusammenfallen und es sei für $t = x = y = z = 0$ die Zeit $t'$ des Systems $K'$ gleich Null. Wir nennen $x'$ , $y'$ , $z'$ die Koordinaten, im System $K'$ gemessen, und erhalten durch zweimalige Anwendung unserer Transformationsgleichungen: $\begin{aligned} t' &= \varphi(-v) \beta(-v) \left\{ \tau + \frac{v}{V^2} \xi \right\} &&= \varphi(v) \varphi(-v) t , \\ x' &= \varphi(-v) \beta(-v) \{ \xi + v \tau \} &&= \varphi(v) \varphi(-v) x , \\ y' &= \varphi(-v) \eta &&= \varphi(v) \varphi(-v) y , \\ z' &= \varphi(-v) \zeta &&= \varphi(v) \varphi(-v) z . \end{aligned}$ Time in the stationary systemUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemLorentz factorTime in the moving systemSpeed of lightPosition in the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation

English

For this purpose we introduce a third coordinate system $K'$ , which relative to the system $k$ is in such a motion of parallel translation, parallel to the $\Xi$ -axis, that its origin moves with the velocity $-v$ on the $\Xi$ -axis. At the time $t = 0$ let all three origins of coordinates coincide, and for $t = x = y = z = 0$ let the time $t'$ of the system $K'$ be zero. We call $x'$ , $y'$ , $z'$ the coordinates measured in the system $K'$ , and by twofold application of our transformation equations we obtain: $\begin{aligned} t' &= \varphi(-v) \beta(-v) \left\{ \tau + \frac{v}{V^2} \xi \right\} &&= \varphi(v) \varphi(-v) t , \\ x' &= \varphi(-v) \beta(-v) \{ \xi + v \tau \} &&= \varphi(v) \varphi(-v) x , \\ y' &= \varphi(-v) \eta &&= \varphi(v) \varphi(-v) y , \\ z' &= \varphi(-v) \zeta &&= \varphi(v) \varphi(-v) z . \end{aligned}$ Time in the stationary systemUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemLorentz factorTime in the moving systemSpeed of lightPosition in the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation

Deutsch

[pp. 901–902]Da die Beziehungen zwischen $x'$ , $y'$ , $z'$ und $x$ , $y$ , $z$ die Zeit $t$ nicht enthalten, so ruhen die Systeme $K$ und $K'$ gegeneinander, und es ist klar, daß die Transformation von $K$ auf $K'$ die identische Transformation sein muß. Es ist also: $\varphi(v) \varphi(-v) = 1 .$ Unknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation Wir fragen nun nach der Bedeutung von $\varphi(v)$ . Wir fassen das Stück der $H$ -Achse des Systems $k$ ins Auge, das zwischen $\xi = 0$ , $\eta = 0$ , $\zeta = 0$ und $\xi = 0$ , $\eta = l$ , $\zeta = 0$ gelegen ist. Dieses Stück der $H$ -Achse ist ein relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu seiner Achse bewegter Stab, dessen Enden in $K$ die Koordinaten besitzen: $x_1 = v t, \quad y_1 = \frac{l}{\varphi(v)}, \quad z_1 = 0$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemRest lengthUnknown scale factor: phi(v)Position in the stationary systemExplain this equation und $x_2 = v t, \quad y_2 = 0, \quad z_2 = 0 .$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation Die Länge des Stabes, in $K$ gemessen, ist also $l/\varphi(v)$ ; damit ist die Bedeutung der Funktion $\varphi$ gegeben. Aus Symmetriegründen ist nun einleuchtend, daß die im ruhenden System gemessene Länge eines bestimmten Stabes, welcher senkrecht zu seiner Achse bewegt ist, nur von der Geschwindigkeit, nicht aber von der Richtung und dem Sinne der Bewegung abhängig sein kann. Es ändert sich also die im ruhenden System gemessene Länge des bewegten Stabes nicht, wenn $v$ mit $-v$ vertauscht wird. Hieraus folgt: $\frac{l}{\varphi(v)} = \frac{l}{\varphi(-v)} ,$ Rest lengthUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation oder $\varphi(v) = \varphi(-v) .$ Unknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation Aus dieser und der vorhin gefundenen Relation folgt, daß $\varphi(v) = 1$ sein muß, so daß die gefundenen Transformationsgleichungen übergehen in: $\begin{aligned} \tau &= \beta\left( t - \frac{v}{V^2} x \right), \\ \xi &= \beta(x - v t), \\ \eta &= y, \\ \zeta &= z, \end{aligned}$ Time in the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation wobei $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} ,$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

Since the relations between $x'$ , $y'$ , $z'$ and $x$ , $y$ , $z$ do not contain the time $t$ , the systems $K$ and $K'$ are at rest relative to each other, and it is clear that the transformation from $K$ to $K'$ must be the identity transformation. We therefore have: $\varphi(v) \varphi(-v) = 1 .$ Unknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation We now inquire into the meaning of $\varphi(v)$ . We consider the portion of the $H$ -axis of the system $k$ which lies between $\xi = 0$ , $\eta = 0$ , $\zeta = 0$ and $\xi = 0$ , $\eta = l$ , $\zeta = 0$ . This portion of the $H$ -axis is a rod moving relative to the system $K$ with the velocity $v$ perpendicular to its axis, whose ends have in $K$ the coordinates: $x_1 = v t, \quad y_1 = \frac{l}{\varphi(v)}, \quad z_1 = 0$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemRest lengthUnknown scale factor: phi(v)Position in the stationary systemExplain this equation and $x_2 = v t, \quad y_2 = 0, \quad z_2 = 0 .$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation The length of the rod, measured in $K$ , is therefore $l/\varphi(v)$ ; this gives the meaning of the function $\varphi$ . For reasons of symmetry it is now evident that the length of a given rod moving perpendicular to its axis, measured in the stationary system, can depend only on the velocity, and not on the direction and sense of the motion. Thus the length of the moving rod measured in the stationary system does not change if $v$ is interchanged with $-v$ . From this it follows that: $\frac{l}{\varphi(v)} = \frac{l}{\varphi(-v)} ,$ Rest lengthUnknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation or $\varphi(v) = \varphi(-v) .$ Unknown scale factor: phi(v)Speed of the moving systemExplain this equation From this and the relation found earlier it follows that $\varphi(v) = 1$ must hold, so that the transformation equations found become: $\begin{aligned} \tau &= \beta\left( t - \frac{v}{V^2} x \right), \\ \xi &= \beta(x - v t), \\ \eta &= y, \\ \zeta &= z, \end{aligned}$ Time in the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation where $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} ,$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 903]§ 4. Physikalische Bedeutung der erhaltenen Gleichungen, bewegte starre Körper und bewegte Uhren betreffend.

English

§ 4. Physical Meaning of the Equations Obtained, Concerning Moving Rigid Bodies and Moving Clocks.

Deutsch

[p. 903]Wir betrachten eine starre Kugel^[1)] vom Radius $R$ , welche relativ zum bewegten System $k$ ruht, und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung von $k$ liegt. Die Gleichung der Oberfläche dieser relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten Kugel ist: $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = R^2 .$ Position in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemSphere radiusExplain this equation Die Gleichung dieser Oberfläche ist in $x$ , $y$ , $z$ ausgedrückt zur Zeit $t = 0$ : $\frac{x^2}{\left( \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right)^2} + y^2 + z^2 = R^2 .$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemSphere radiusExplain this equation Ein starrer Körper, welcher in ruhendem Zustande ausgemessen die Gestalt einer Kugel hat, hat also in bewegtem Zustande — vom ruhenden System aus betrachtet — die Gestalt eines Rotationsellipsoides mit den Achsen $R \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} , \quad R , \quad R .$ Sphere radiusSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

We consider a rigid sphere^[1)] of radius $R$ , which is at rest relative to the moving system $k$ and whose centre lies at the origin of coordinates of $k$ . The equation of the surface of this sphere, which moves relative to the system $K$ with the velocity $v$ , is: $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = R^2 .$ Position in the moving systemPosition in the moving systemPosition in the moving systemSphere radiusExplain this equation The equation of this surface, expressed in $x$ , $y$ , $z$ at the time $t = 0$ , is: $\frac{x^2}{\left( \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right)^2} + y^2 + z^2 = R^2 .$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the stationary systemSphere radiusExplain this equation A rigid body which, measured in a state of rest, has the shape of a sphere therefore has in a state of motion — viewed from the stationary system — the shape of an ellipsoid of revolution with the axes $R \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} , \quad R , \quad R .$ Sphere radiusSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 903]Während also die $Y$ - und $Z$ -Dimension der Kugel (also auch jedes starren Körpers von beliebiger Gestalt) durch die Bewegung nicht modifiziert erscheinen, erscheint die $X$ -Dimension im Verhältnis $1 : \sqrt{1 - (v/V)^2}$ verkürzt, also um so stärker, je größer $v$ ist. Für $v = V$ schrumpfen alle bewegten Objekte — vom „ruhenden“ System aus betrachtet — in flächenhafte Gebilde zusammen. Für Überlichtgeschwindigkeiten werden unsere Überlegungen sinnlos; wir werden übrigens in den folgenden Betrachtungen finden, daß die Lichtgeschwindigkeit in unserer Theorie physikalisch die Rolle der unendlich großen Geschwindigkeiten spielt.

English

Thus, whereas the $Y$ - and $Z$ -dimensions of the sphere (and hence also of every rigid body of whatever shape) do not appear modified by the motion, the $X$ -dimension appears shortened in the ratio $1 : \sqrt{1 - (v/V)^2}$ , that is, the more strongly the greater $v$ is. For $v = V$ all moving objects — viewed from the “stationary” system — shrink into plane figures. For velocities greater than that of light our considerations become meaningless; we shall find, moreover, in the considerations that follow, that in our theory the velocity of light plays physically the part of infinitely great velocities.

Deutsch

[p. 903]Es ist klar, daß die gleichen Resultate von im „ruhenden“ System ruhenden Körpern gelten, welche von einem gleichförmig bewegten System aus betrachtet werden. —

English

It is clear that the same results hold for bodies at rest in the “stationary” system, viewed from a uniformly moving system. —

Deutsch

[pp. 903–904]Wir denken uns ferner eine der Uhren, welche relativ zum ruhenden System ruhend die Zeit $t$ , relativ zum bewegten System ruhend die Zeit $\tau$ anzugeben befähigt sind, im Koordinatenursprung von $k$ gelegen und so gerichtet, daß sie die Zeit $\tau$ angibt. Wie schnell geht diese Uhr, vom ruhenden System aus betrachtet?

English

We imagine further one of the clocks which are fitted to indicate the time $t$ when at rest relative to the stationary system and the time $\tau$ when at rest relative to the moving system, placed at the origin of coordinates of $k$ and so set that it indicates the time $\tau$ . How fast does this clock go, viewed from the stationary system?

Deutsch

[p. 904]Zwischen die Größen $x$ , $t$ und $\tau$ , welche sich auf den Ort dieser Uhr beziehen, gelten offenbar die Gleichungen: $\tau = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} \left( t - \frac{v}{V^2} x \right)$ Time in the moving systemSpeed of the moving systemSpeed of lightTime in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation und $x = v t .$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemExplain this equation Es ist also $\tau = t \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} = t - \left( 1 - \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right) t ,$ Time in the moving systemTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation woraus folgt, daß die Angabe der Uhr (im ruhenden System betrachtet) pro Sekunde um $(1 - \sqrt{1 - (v/V)^2})$ Sek. oder — bis auf Größen vierter und höherer Ordnung um $\frac{1}{2} (v/V)^2$ Sek. zurückbleibt.

English

Between the quantities $x$ , $t$ and $\tau$ , which refer to the position of this clock, the following equations evidently hold: $\tau = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} \left( t - \frac{v}{V^2} x \right)$ Time in the moving systemSpeed of the moving systemSpeed of lightTime in the stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation and $x = v t .$ Position in the stationary systemSpeed of the moving systemTime in the stationary systemExplain this equation We therefore have $\tau = t \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} = t - \left( 1 - \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right) t ,$ Time in the moving systemTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation from which it follows that the reading of the clock (viewed in the stationary system) lags behind by $(1 - \sqrt{1 - (v/V)^2})$ sec. per second or — to within quantities of the fourth and higher order, by $\frac{1}{2} (v/V)^2$ sec.

Deutsch

[p. 904]Hieraus ergibt sich folgende eigentümliche Konsequenz. Sind in den Punkten $A$ und $B$ von $K$ ruhende, im ruhenden System betrachtet, synchron gehende Uhren vorhanden, und bewegt man die Uhr in $A$ mit der Geschwindigkeit $v$ auf der Verbindungslinie nach $B$ , so gehen nach Ankunft dieser Uhr in $B$ die beiden Uhren nicht mehr synchron, sondern die von $A$ nach $B$ bewegte Uhr geht gegenüber der von Anfang an in $B$ befindlichen um $\frac{1}{2} t v^2 / V^2$ Sek. (bis auf Größen vierter und höherer Ordnung) nach, wenn $t$ die Zeit ist, welche die Uhr von $A$ nach $B$ braucht.

English

From this the following peculiar consequence results. If at the points $A$ and $B$ of $K$ there are clocks at rest which, viewed in the stationary system, run synchronously, and if the clock at $A$ is moved with the velocity $v$ along the line joining it to $B$ , then on the arrival of this clock at $B$ the two clocks no longer run synchronously, but the clock moved from $A$ to $B$ lags behind the clock that has been at $B$ from the beginning by $\frac{1}{2} t v^2 / V^2$ sec. (to within quantities of the fourth and higher order), if $t$ is the time the clock needs to go from $A$ to $B$ .

Deutsch

[p. 904]Man sieht sofort, daß dies Resultat auch dann noch gilt, wenn die Uhr in einer beliebigen polygonalen Linie sich von $A$ nach $B$ bewegt, und zwar auch dann, wenn die Punkte $A$ und $B$ zusammenfallen.

English

One sees at once that this result still holds if the clock moves from $A$ to $B$ along any polygonal line, and that it holds even if the points $A$ and $B$ coincide.

Deutsch

[pp. 904–905]Nimmt man an, daß das für eine polygonale Linie bewiesene Resultat auch für eine stetig gekrümmte Kurve gelte, so erhält man den Satz: Befinden sich in $A$ zwei synchron gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer geschlossenen Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie wieder nach $A$ zurückkommt, was $t$ Sek. dauern möge, so geht die letztere Uhr bei ihrer Ankunft in $A$ gegenüber der unbewegt gebliebenen um $\frac{1}{2} t (v/V)^2$ Sek. nach. Man schließt daraus, daß eine am Erdäquator befindliche Unruhuhr um einen sehr kleinen Betrag langsamer laufen muß als eine genau gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene, an einem Erdpole befindliche Uhr.

English

If one assumes that the result proved for a polygonal line also holds for a continuously curved curve, one obtains the theorem: If there are two synchronously running clocks at $A$ , and one of them is moved along a closed curve with constant velocity until it returns to $A$ , which may take $t$ sec., then on its arrival at $A$ the latter clock lags behind the one that has remained unmoved by $\frac{1}{2} t (v/V)^2$ sec. From this one concludes that a balance-wheel clock located at the earth’s equator must go more slowly, by a very small amount, than a precisely similar clock, subject to otherwise identical conditions, located at one of the earth’s poles.

Deutsch

[p. 905]§ 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten.

English

§ 5. The Addition Theorem of Velocities.

Deutsch

[p. 905]In dem längs der $X$ -Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten System $k$ bewege sich ein Punkt gemäß den Gleichungen: $\begin{aligned} \xi &= w_\xi \tau , \\ \eta &= w_\eta \tau , \\ \zeta &= 0 , \end{aligned}$ Position in the moving systemVelocity along x, moving systemTime in the moving systemPosition in the moving systemVelocity along y, moving systemPosition in the moving systemExplain this equation wobei $w_\xi$ und $w_\eta$ Konstanten bedeuten.

English

In the system $k$ , moving along the $X$ -axis of the system $K$ with the velocity $v$ , let a point move according to the equations: $\begin{aligned} \xi &= w_\xi \tau , \\ \eta &= w_\eta \tau , \\ \zeta &= 0 , \end{aligned}$ Position in the moving systemVelocity along x, moving systemTime in the moving systemPosition in the moving systemVelocity along y, moving systemPosition in the moving systemExplain this equation where $w_\xi$ and $w_\eta$ denote constants.

Deutsch

[pp. 905–906]Gesucht ist die Bewegung des Punktes relativ zum System $K$ . Führt man in die Bewegungsgleichungen des Punktes mit Hilfe der in § 3 entwickelten Transformationsgleichungen die Größen $x$ , $y$ , $z$ , $t$ ein, so erhält man: $\begin{aligned} x &= \frac{w_\xi + v}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} t , \\ y &= \frac{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} w_\eta t , \\ z &= 0 . \end{aligned}$ Position in the stationary systemVelocity along x, moving systemSpeed of the moving systemSpeed of lightTime in the stationary systemPosition in the stationary systemVelocity along y, moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt also nach unserer Theorie nur in erster Annäherung. Wir setzen: $\begin{aligned} U^2 &= \left( \frac{d x}{d t} \right)^2 + \left( \frac{d y}{d t} \right)^2 , \\ w^2 &= w_\xi^2 + w_\eta^2 \end{aligned}$ Composed velocity (stationary system)Position in the stationary systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemVelocity in the moving frameVelocity along x, moving systemVelocity along y, moving systemExplain this equation und $\alpha = \operatorname{arctg} \frac{w_y}{w_x} ;$ Velocity direction angle: alphaVelocity along y, moving systemVelocity along x, moving systemExplain this equationSo printed. Read: α = arctg (w_η / w_ξ). The display just above defines the point's velocity components in the system k as w_ξ and w_η (ξ = w_ξ τ, η = w_η τ), and the next sentence names α the angle between the velocities v and w. The record in the correction log $\alpha$ ist dann als der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten $v$ und $w$ anzusehen. Nach einfacher Rechnung ergibt sich: $U = \frac{\sqrt{(v^2 + w^2 + 2 v w \cos \alpha) - \left( \frac{v w \sin \alpha}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w \cos \alpha}{V^2}} .$ Composed velocity (stationary system)Speed of the moving systemVelocity in the moving frameVelocity direction angle: alphaSpeed of lightExplain this equation Es ist bemerkenswert, daß $v$ und $w$ in symmetrischer Weise in den Ausdruck für die resultierende Geschwindigkeit eingehen. Hat auch $w$ die Richtung der $X$ -Achse ( $\Xi$ -Achse), so erhalten wir: $U = \frac{v + w}{1 + \frac{v w}{V^2}} .$ Composed velocity (stationary system)Speed of the moving systemVelocity in the moving frameSpeed of lightExplain this equation Aus dieser Gleichung folgt, daß aus der Zusammensetzung zweier Geschwindigkeiten, welche kleiner sind als $V$ , stets eine Geschwindigkeit kleiner als $V$ resultiert. Setzt man nämlich $v = V - \varkappa$ , $w = V - \lambda$ , wobei $\varkappa$ und $\lambda$ positiv und kleiner als $V$ seien, so ist: $U = V \frac{2 V - \varkappa - \lambda}{2 V - \varkappa - \lambda + \frac{\varkappa \lambda}{V}} < V .$ Composed velocity (stationary system)Speed of lightSpeed deficit from light speed: kappa, lambdaSpeed deficit from light speed: kappa, lambdaExplain this equation

English

The motion of the point relative to the system $K$ is sought. If, with the help of the transformation equations developed in § 3, we introduce the quantities $x$ , $y$ , $z$ , $t$ into the equations of motion of the point, we obtain: $\begin{aligned} x &= \frac{w_\xi + v}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} t , \\ y &= \frac{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} w_\eta t , \\ z &= 0 . \end{aligned}$ Position in the stationary systemVelocity along x, moving systemSpeed of the moving systemSpeed of lightTime in the stationary systemPosition in the stationary systemVelocity along y, moving systemPosition in the stationary systemExplain this equation The law of the parallelogram of velocities therefore holds, according to our theory, only to a first approximation. We put: $\begin{aligned} U^2 &= \left( \frac{d x}{d t} \right)^2 + \left( \frac{d y}{d t} \right)^2 , \\ w^2 &= w_\xi^2 + w_\eta^2 \end{aligned}$ Composed velocity (stationary system)Position in the stationary systemTime in the stationary systemPosition in the stationary systemVelocity in the moving frameVelocity along x, moving systemVelocity along y, moving systemExplain this equation and $\alpha = \operatorname{arctg} \frac{w_y}{w_x} ;$ Velocity direction angle: alphaVelocity along y, moving systemVelocity along x, moving systemExplain this equation $\alpha$ is then to be regarded as the angle between the velocities $v$ and $w$ . After a simple calculation we obtain: $U = \frac{\sqrt{(v^2 + w^2 + 2 v w \cos \alpha) - \left( \frac{v w \sin \alpha}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w \cos \alpha}{V^2}} .$ Composed velocity (stationary system)Speed of the moving systemVelocity in the moving frameVelocity direction angle: alphaSpeed of lightExplain this equation It is noteworthy that $v$ and $w$ enter the expression for the resultant velocity symmetrically. If $w$ also has the direction of the $X$ -axis ( $\Xi$ -axis), we obtain: $U = \frac{v + w}{1 + \frac{v w}{V^2}} .$ Composed velocity (stationary system)Speed of the moving systemVelocity in the moving frameSpeed of lightExplain this equation From this equation it follows that from the composition of two velocities which are smaller than $V$ there always results a velocity smaller than $V$ . For if we put $v = V - \varkappa$ , $w = V - \lambda$ , where $\varkappa$ and $\lambda$ are positive and smaller than $V$ , then: $U = V \frac{2 V - \varkappa - \lambda}{2 V - \varkappa - \lambda + \frac{\varkappa \lambda}{V}} < V .$ Composed velocity (stationary system)Speed of lightSpeed deficit from light speed: kappa, lambdaSpeed deficit from light speed: kappa, lambdaExplain this equation

Deutsch

[pp. 906–907]Es folgt ferner, daß die Lichtgeschwindigkeit $V$ durch Zusammensetzung mit einer „Unterlichtgeschwindigkeit“ nicht geändert werden kann. Man erhält für diesen Fall: $U = \frac{V + w}{1 + \frac{w}{V}} = V .$ Composed velocity (stationary system)Speed of lightVelocity in the moving frameExplain this equation Wir hätten die Formel für $U$ für den Fall, daß $v$ und $w$ gleiche Richtung besitzen, auch durch Zusammensetzen zweier Transformationen gemäß § 3 erhalten können. Führen wir neben den in § 3 figurierenden Systemen $K$ und $k$ noch ein drittes, zu $k$ in Parallelbewegung begriffenes Koordinatensystem $k'$ ein, dessen Anfangspunkt sich auf der $\Xi$ -Achse mit der Geschwindigkeit $w$ bewegt, so erhalten wir zwischen den Größen $x$ , $y$ , $z$ , $t$ und den entsprechenden Größen von $k'$ Gleichungen, welche sich von den in § 3 gefundenen nur dadurch unterscheiden, daß an Stelle von „ $v$ “ die Größe $\frac{v + w}{1 + \frac{v w}{V^2}}$ Speed of the moving systemVelocity in the moving frameSpeed of lightExplain this equation tritt; man sieht daraus, daß solche Paralleltransformationen — wie dies sein muß — eine Gruppe bilden.

English

It follows further that the velocity of light $V$ cannot be altered by composition with a “sub-light velocity”. For this case we obtain: $U = \frac{V + w}{1 + \frac{w}{V}} = V .$ Composed velocity (stationary system)Speed of lightVelocity in the moving frameExplain this equation We could also have obtained the formula for $U$ , for the case in which $v$ and $w$ have the same direction, by composing two transformations according to § 3. If, besides the systems $K$ and $k$ figuring in § 3, we introduce a third coordinate system $k'$ , in parallel motion relative to $k$ , whose origin moves on the $\Xi$ -axis with the velocity $w$ , we obtain between the quantities $x$ , $y$ , $z$ , $t$ and the corresponding quantities of $k'$ equations which differ from those found in § 3 only in that the quantity $\frac{v + w}{1 + \frac{v w}{V^2}}$ Speed of the moving systemVelocity in the moving frameSpeed of lightExplain this equation takes the place of “ $v$ ”; one sees from this that such parallel transformations — as must be the case — form a group.

Deutsch

[p. 907]Wir haben nun die für uns notwendigen Sätze der unseren zwei Prinzipien entsprechenden Kinematik hergeleitet und gehen dazu über, deren Anwendung in der Elektrodynamik zu zeigen.

English

We have now derived the theorems, necessary for our purposes, of the kinematics corresponding to our two principles, and we proceed to show their application in electrodynamics.

Deutsch

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

English

II. Electrodynamical Part.

Deutsch

[p. 907]§ 6. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum. Über die Natur der bei Bewegung in einem Magnetfeld auftretenden elektromotorischen Kräfte.

English

§ 6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for Empty Space. On the Nature of the Electromotive Forces Occurring with Motion in a Magnetic Field.

Deutsch

[p. 907]Die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum mögen gültig sein für das ruhende System $K$ , so daß gelten möge: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X}{\partial t} &= \frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial t} &= \frac{\partial Y}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial y} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Y}{\partial t} &= \frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial N}{\partial x} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M}{\partial t} &= \frac{\partial Z}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial z} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Z}{\partial t} &= \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N}{\partial t} &= \frac{\partial X}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial x} , \end{aligned}$ Speed of lightElectric field, stationary systemTime in the stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation wobei $(X, Y, Z)$ den Vektor der elektrischen, $(L, M, N)$ den der magnetischen Kraft bedeutet.

English

Let the Maxwell-Hertz equations for empty space hold for the stationary system $K$ , so that we have: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X}{\partial t} &= \frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial t} &= \frac{\partial Y}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial y} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Y}{\partial t} &= \frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial N}{\partial x} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M}{\partial t} &= \frac{\partial Z}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial z} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Z}{\partial t} &= \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N}{\partial t} &= \frac{\partial X}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial x} , \end{aligned}$ Speed of lightElectric field, stationary systemTime in the stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation where $(X, Y, Z)$ denotes the vector of the electric force, and $(L, M, N)$ that of the magnetic force.

Deutsch

[pp. 907–908]Wenden wir auf diese Gleichungen die in § 3 entwickelte Transformation an, indem wir die elektromagnetischen Vorgänge auf das dort eingeführte, mit der Geschwindigkeit $v$ bewegte Koordinatensystem beziehen, so erhalten wir die Gleichungen: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \eta} - \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial L}{\partial \zeta} - \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \xi} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \xi} - \frac{\partial L}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \zeta} - \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \xi} - \frac{\partial X}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial X}{\partial \eta} - \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \xi} , \end{aligned}$ Speed of lightElectric field, stationary systemTime in the moving systemLorentz factorMagnetic field, stationary systemSpeed of the moving systemElectric field, stationary systemPosition in the moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the moving systemMagnetic field, stationary systemPosition in the moving systemExplain this equation wobei $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} .$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

If we apply to these equations the transformation developed in § 3, by referring the electromagnetic processes to the coordinate system introduced there, moving with the velocity $v$ , we obtain the equations: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \eta} - \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial L}{\partial \zeta} - \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \xi} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \xi} - \frac{\partial L}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \zeta} - \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \xi} - \frac{\partial X}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial X}{\partial \eta} - \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \xi} , \end{aligned}$ Speed of lightElectric field, stationary systemTime in the moving systemLorentz factorMagnetic field, stationary systemSpeed of the moving systemElectric field, stationary systemPosition in the moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the moving systemMagnetic field, stationary systemPosition in the moving systemExplain this equation where $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} .$ Lorentz factorSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 908]Das Relativitätsprinzip fordert nun, daß die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum auch im System $k$ gelten, wenn sie im System $K$ gelten, d. h. daß für die im bewegten System $k$ durch ihre ponderomotorischen Wirkungen auf elektrische bez. magnetische Massen definierten Vektoren der elektrischen und magnetischen Kraft ( $(X', Y' Z')$ und $(L', M', N')$ ) des bewegten Systems $k$ die Gleichungen gelten: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X'}{\partial \tau} &= \frac{\partial N'}{\partial \eta} - \frac{\partial M'}{\partial \zeta} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Y'}{\partial \zeta} - \frac{\partial Z'}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Y'}{\partial \tau} &= \frac{\partial L'}{\partial \zeta} - \frac{\partial N'}{\partial \xi} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Z'}{\partial \xi} - \frac{\partial X'}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Z'}{\partial \tau} &= \frac{\partial M'}{\partial \xi} - \frac{\partial L'}{\partial \eta} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N'}{\partial \tau} &= \frac{\partial X'}{\partial \eta} - \frac{\partial Y'}{\partial \xi} . \end{aligned}$ Speed of lightElectric field, moving systemTime in the moving systemMagnetic field, moving systemPosition in the moving systemMagnetic field, moving systemPosition in the moving systemMagnetic field, moving systemElectric field, moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemExplain this equation

English

The principle of relativity now requires that the Maxwell-Hertz equations for empty space hold also in the system $k$ if they hold in the system $K$ , that is, that for the vectors of the electric and magnetic force ( $(X', Y' Z')$ and $(L', M', N')$ ) of the moving system $k$ , which are defined in the moving system $k$ by their ponderomotive actions on electric or magnetic masses respectively, the equations hold: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X'}{\partial \tau} &= \frac{\partial N'}{\partial \eta} - \frac{\partial M'}{\partial \zeta} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Y'}{\partial \zeta} - \frac{\partial Z'}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Y'}{\partial \tau} &= \frac{\partial L'}{\partial \zeta} - \frac{\partial N'}{\partial \xi} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Z'}{\partial \xi} - \frac{\partial X'}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Z'}{\partial \tau} &= \frac{\partial M'}{\partial \xi} - \frac{\partial L'}{\partial \eta} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N'}{\partial \tau} &= \frac{\partial X'}{\partial \eta} - \frac{\partial Y'}{\partial \xi} . \end{aligned}$ Speed of lightElectric field, moving systemTime in the moving systemMagnetic field, moving systemPosition in the moving systemMagnetic field, moving systemPosition in the moving systemMagnetic field, moving systemElectric field, moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemExplain this equation

Deutsch

[p. 908]Offenbar müssen nun die beiden für das System $k$ gefundenen Gleichungssysteme genau dasselbe ausdrücken, da beide Gleichungssysteme den Maxwell-Hertzschen Gleichungen für das System $K$ äquivalent sind. Da die Gleichungen beider Systeme ferner bis auf die die Vektoren darstellenden Symbole übereinstimmen, so folgt, daß die in den Gleichungssystemen an entsprechenden Stellen auftretenden Funktionen bis auf einen für alle Funktionen des einen Gleichungssystems gemeinsamen, von $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ und $\tau$ unabhängigen, eventuell von $v$ abhängigen Faktor $\psi(v)$ übereinstimmen müssen. Es gelten also die Beziehungen: $\begin{aligned} X' &= \psi(v) X , &\qquad L' &= \psi(v) L , \\ Y' &= \psi(v) \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , &\qquad M' &= \psi(v) \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right) , \\ Z' &= \psi(v) \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) , &\qquad N' &= \psi(v) \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right) . \end{aligned}$ Electric field, moving systemUnknown scale factor: psi(v)Speed of the moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemLorentz factorElectric field, stationary systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemMagnetic field, moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemElectric field, moving systemMagnetic field, moving systemExplain this equation

English

Evidently the two systems of equations found for the system $k$ must now express exactly the same thing, since both systems of equations are equivalent to the Maxwell-Hertz equations for the system $K$ . Since, further, the equations of the two systems agree except for the symbols representing the vectors, it follows that the functions occurring at corresponding places in the systems of equations must agree up to a factor $\psi(v)$ that is common to all the functions of the one system of equations, independent of $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ and $\tau$ , and possibly dependent on $v$ . Thus the relations hold: $\begin{aligned} X' &= \psi(v) X , &\qquad L' &= \psi(v) L , \\ Y' &= \psi(v) \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , &\qquad M' &= \psi(v) \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right) , \\ Z' &= \psi(v) \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) , &\qquad N' &= \psi(v) \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right) . \end{aligned}$ Electric field, moving systemUnknown scale factor: psi(v)Speed of the moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemLorentz factorElectric field, stationary systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemMagnetic field, moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemElectric field, moving systemMagnetic field, moving systemExplain this equation

Deutsch

[p. 909]Bildet man nun die Umkehrung dieses Gleichungssystems, erstens durch Auflösen der soeben erhaltenen Gleichungen, zweitens durch Anwendung der Gleichungen auf die inverse Transformation (von $k$ auf $K$ ), welche durch die Geschwindigkeit $-v$ charakterisiert ist, so folgt, indem man berücksichtigt, daß die beiden so erhaltenen Gleichungssysteme identisch sein müssen: $\varphi(v) \cdot \varphi(-v) = 1 .$ Unknown scale factor: psi(v)Speed of the moving systemExplain this equation Ferner folgt aus Symmetriegründen^[1)] $\varphi(v) = \varphi(-v) ;$ Unknown scale factor: psi(v)Speed of the moving systemExplain this equation es ist also $\varphi(v) = 1 ,$ Unknown scale factor: psi(v)Speed of the moving systemExplain this equation und unsere Gleichungen nehmen die Form an: $\begin{aligned} X' &= X , &\qquad L' &= L , \\ Y' &= \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , &\qquad M' &= \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right) , \\ Z' &= \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) , &\qquad N' &= \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right) . \end{aligned}$ Electric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemLorentz factorElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemMagnetic field, moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemElectric field, moving systemMagnetic field, moving systemExplain this equation Zur Interpretation dieser Gleichungen bemerken wir folgendes. Es liegt eine punktförmige Elektrizitätsmenge vor, welche im ruhenden System $K$ gemessen von der Größe „eins“ sei, d. h. im ruhenden System ruhend auf eine gleiche Elektrizitätsmenge im Abstand 1 cm die Kraft 1 Dyn ausübe. Nach dem Relativitätsprinzip ist diese elektrische Masse auch im bewegten System gemessen von der Größe „eins“. Ruht diese Elektrizitätsmenge relativ zum ruhenden System, so ist definitionsgemäß der Vektor $(X, Y, Z)$ gleich der auf sie wirkenden Kraft. Ruht die Elektrizitätsmenge gegenüber dem bewegten System (wenigstens in dem betreffenden Augenblick), so ist die auf sie wirkende, in dem bewegten System gemessene Kraft gleich dem Vektor $(X', Y', Z')$ . Die ersten drei der obigen Gleichungen lassen sich mithin auf folgende zwei Weisen in Worte kleiden:

English

If we now form the inverse of this system of equations, first by solving the equations just obtained, and second by applying the equations to the inverse transformation (from $k$ to $K$ ), which is characterized by the velocity $-v$ , it follows, taking into account that the two systems of equations so obtained must be identical: $\varphi(v) \cdot \varphi(-v) = 1 .$ Unknown scale factor: psi(v)Speed of the moving systemExplain this equation Further, it follows from reasons of symmetry^[1)] that $\varphi(v) = \varphi(-v) ;$ Unknown scale factor: psi(v)Speed of the moving systemExplain this equation hence $\varphi(v) = 1 ,$ Unknown scale factor: psi(v)Speed of the moving systemExplain this equation and our equations take the form: $\begin{aligned} X' &= X , &\qquad L' &= L , \\ Y' &= \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , &\qquad M' &= \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right) , \\ Z' &= \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) , &\qquad N' &= \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right) . \end{aligned}$ Electric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemLorentz factorElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemMagnetic field, moving systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemElectric field, moving systemMagnetic field, moving systemExplain this equation For the interpretation of these equations we remark the following. Let there be a point-like quantity of electricity which, measured in the stationary system $K$ , is of magnitude “one”, that is, which, at rest in the stationary system, exerts the force of 1 dyne on an equal quantity of electricity at a distance of 1 cm. By the principle of relativity this electric mass is also of magnitude “one” when measured in the moving system. If this quantity of electricity is at rest relative to the stationary system, then by definition the vector $(X, Y, Z)$ is equal to the force acting on it. If the quantity of electricity is at rest relative to the moving system (at least at the instant in question), then the force acting on it, measured in the moving system, is equal to the vector $(X', Y', Z')$ . Consequently the first three of the above equations can be put into words in the following two ways:

Deutsch

[pp. 909–910]1. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde bewegt, so wirkt auf ihn außer der elektrischen Kraft eine „elektromotorische Kraft“, welche unter Vernachlässigung von mit der zweiten und höheren Potenzen von $v/V$ multiplizierten Gliedern gleich ist dem mit der Lichtgeschwindigkeit dividierten Vektorprodukt der Bewegungsgeschwindigkeit des Einheitspoles und der magnetischen Kraft. (Alte Ausdrucksweise.)

English

1. If a point-like electric unit pole moves in an electromagnetic field, there acts on it, besides the electric force, an “electromotive force”, which, neglecting terms multiplied by the second and higher powers of $v/V$ , is equal to the vector product of the velocity of motion of the unit pole and the magnetic force, divided by the velocity of light. (Old mode of expression.)

Deutsch

[p. 910]2. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde bewegt, so ist die auf ihn wirkende Kraft gleich der an dem Orte des Einheitspoles vorhandenen elektrischen Kraft, welche man durch Transformation des Feldes auf ein relativ zum elektrischen Einheitspol ruhendes Koordinatensystem erhält. (Neue Ausdrucksweise.)

English

2. If a point-like electric unit pole moves in an electromagnetic field, the force acting on it is equal to the electric force present at the location of the unit pole, which is obtained by transforming the field to a coordinate system at rest relative to the electric unit pole. (New mode of expression.)

Deutsch

[p. 910]Analoges gilt über die „magnetomotorischen Kräfte“. Man sieht, daß in der entwickelten Theorie die elektromotorische Kraft nur die Rolle eines Hilfsbegriffes spielt, welcher seine Einführung dem Umstande verdankt, daß die elektrischen und magnetischen Kräfte keine von dem Bewegungszustande des Koordinatensystems unabhängige Existenz besitzen.

English

Something analogous holds for the “magnetomotive forces”. One sees that in the theory developed here the electromotive force plays only the part of an auxiliary concept, which owes its introduction to the circumstance that the electric and magnetic forces have no existence independent of the state of motion of the coordinate system.

Deutsch

[p. 910]Es ist ferner klar, daß die in der Einleitung angeführte Asymmetrie bei der Betrachtung der durch Relativbewegung eines Magneten und eines Leiters erzeugten Ströme verschwindet. Auch werden die Fragen nach dem „Sitz“ der elektrodynamischen elektromotorischen Kräfte (Unipolarmaschinen) gegenstandslos.

English

It is further clear that the asymmetry mentioned in the introduction, which arises when we consider the currents produced by the relative motion of a magnet and a conductor, disappears. The questions about the “seat” of electrodynamic electromotive forces (unipolar machines) also become pointless.

Deutsch

[p. 910]§ 7. Theorie des Doppelerschen Prinzips und der Aberration.

English

§ 7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration.

Deutsch

English

In the system $K$ , very far from the coordinate origin, let there be a source of electrodynamic waves which, in a part of space containing the coordinate origin, may be represented to a sufficient approximation by the equations: $\begin{aligned} X &= X_0 \sin \Phi , &\quad L &= L_0 \sin \Phi , \\ Y &= Y_0 \sin \Phi , &\quad M &= M_0 \sin \Phi , &\quad \Phi &= \omega \left( t - \frac{a x + b y + c z}{V} \right) . \\ Z &= Z_0 \sin \Phi , &\quad N &= N_0 \sin \Phi , \end{aligned}$ Electric field, stationary systemElectric field amplitude (stationary system)Wave phaseMagnetic field, stationary systemMagnetic field amplitude (stationary system)Electric field, stationary systemElectric field amplitude (stationary system)Magnetic field, stationary systemMagnetic field amplitude (stationary system)Wave angular frequency (stationary system)Time in the stationary systemDirection cosine (stationary system)Position in the stationary systemDirection cosine (stationary system)Position in the stationary systemDirection cosine (stationary system)Position in the stationary systemSpeed of lightElectric field, stationary systemElectric field amplitude (stationary system)Magnetic field, stationary systemMagnetic field amplitude (stationary system)Explain this equation Here $(X_0, Y_0, Z_0)$ and $(L_0, M_0, N_0)$ are the vectors that determine the amplitude of the wave train, and $a$ , $b$ , $c$ the direction cosines of the wave normal.

Deutsch

[pp. 910–911]Wir fragen nach der Beschaffenheit dieser Wellen, wenn dieselben von einem in dem bewegten System $k$ ruhenden Beobachter untersucht werden. — Durch Anwendung der in § 6 gefundenen Transformationsgleichungen für die elektrischen und magnetischen Kräfte und der in § 3 gefundenen Transformationsgleichungen für die Koordinaten und die Zeit erhalten wir unmittelbar: $\begin{aligned} X' &= X_0 \sin \Phi' , &\qquad L' &= L_0 \sin \Phi' , \\ Y' &= \beta \left( Y_0 - \frac{v}{V} N_0 \right) \sin \Phi' , &\qquad M' &= \beta \left( M_0 + \frac{v}{V} Z_0 \right) \sin \Phi' , \\ Z' &= \beta \left( Z_0 + \frac{v}{V} M_0 \right) \sin \Phi' , &\qquad N' &= \beta \left( N_0 - \frac{v}{V} Y_0 \right) \sin \Phi' , \\ \Phi' &= \omega' \left( \tau - \frac{a' \xi + b' \eta + c' \zeta}{V} \right) , \end{aligned}$ Electric field, moving systemElectric field amplitude (stationary system)Wave phaseMagnetic field, moving systemMagnetic field amplitude (stationary system)Electric field, moving systemLorentz factorElectric field amplitude (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field amplitude (stationary system)Magnetic field, moving systemMagnetic field amplitude (stationary system)Electric field amplitude (stationary system)Electric field, moving systemMagnetic field, moving systemWave angular frequency (moving system)Time in the moving systemDirection cosine (moving system)Position in the moving systemDirection cosine (moving system)Position in the moving systemDirection cosine (moving system)Position in the moving systemExplain this equation wobei $\omega' = \omega \beta \left( 1 - a \frac{v}{V} \right) ,$ Wave angular frequency (moving system)Wave angular frequency (stationary system)Lorentz factorDirection cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $a' = \frac{a - \frac{v}{V}}{1 - a \frac{v}{V}} ,$ Direction cosine (moving system)Direction cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $b' = \frac{b}{\beta \left( 1 - a \frac{v}{V} \right)} ,$ Direction cosine (moving system)Direction cosine (stationary system)Lorentz factorDirection cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $c' = \frac{c}{\beta \left( 1 - a \frac{v}{V} \right)}$ Direction cosine (moving system)Direction cosine (stationary system)Lorentz factorDirection cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation gesetzt ist.

English

We ask about the nature of these waves when they are examined by an observer at rest in the moving system $k$ . — By applying the transformation equations for the electric and magnetic forces found in § 6, and the transformation equations for the coordinates and the time found in § 3, we obtain directly: $\begin{aligned} X' &= X_0 \sin \Phi' , &\qquad L' &= L_0 \sin \Phi' , \\ Y' &= \beta \left( Y_0 - \frac{v}{V} N_0 \right) \sin \Phi' , &\qquad M' &= \beta \left( M_0 + \frac{v}{V} Z_0 \right) \sin \Phi' , \\ Z' &= \beta \left( Z_0 + \frac{v}{V} M_0 \right) \sin \Phi' , &\qquad N' &= \beta \left( N_0 - \frac{v}{V} Y_0 \right) \sin \Phi' , \\ \Phi' &= \omega' \left( \tau - \frac{a' \xi + b' \eta + c' \zeta}{V} \right) , \end{aligned}$ Electric field, moving systemElectric field amplitude (stationary system)Wave phaseMagnetic field, moving systemMagnetic field amplitude (stationary system)Electric field, moving systemLorentz factorElectric field amplitude (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field amplitude (stationary system)Magnetic field, moving systemMagnetic field amplitude (stationary system)Electric field amplitude (stationary system)Electric field, moving systemMagnetic field, moving systemWave angular frequency (moving system)Time in the moving systemDirection cosine (moving system)Position in the moving systemDirection cosine (moving system)Position in the moving systemDirection cosine (moving system)Position in the moving systemExplain this equation where $\omega' = \omega \beta \left( 1 - a \frac{v}{V} \right) ,$ Wave angular frequency (moving system)Wave angular frequency (stationary system)Lorentz factorDirection cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $a' = \frac{a - \frac{v}{V}}{1 - a \frac{v}{V}} ,$ Direction cosine (moving system)Direction cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $b' = \frac{b}{\beta \left( 1 - a \frac{v}{V} \right)} ,$ Direction cosine (moving system)Direction cosine (stationary system)Lorentz factorDirection cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $c' = \frac{c}{\beta \left( 1 - a \frac{v}{V} \right)}$ Direction cosine (moving system)Direction cosine (stationary system)Lorentz factorDirection cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation have been set.

Deutsch

[pp. 911–912]Aus der Gleichung für $\omega'$ folgt: Ist ein Beobachter relativ zu einer unendlich fernen Lichtquelle von der Frequenz $\nu$ mit der Geschwindigkeit $v$ derart bewegt, daß die Verbindungslinie „Lichtquelle–Beobachter“ mit der auf ein relativ zur Lichtquelle ruhendes Koordinatensystem bezogenen Geschwindigkeit des Beobachters den Winkel $\varphi$ bildet, so ist die von dem Beobachter wahrgenommene Frequenz $\nu'$ des Lichtes durch die Gleichung gegeben: $\nu' = \nu \frac{1 - \cos \varphi \frac{v}{V}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} .$ Frequency, moving systemFrequency, stationary systemAngle to the motion, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation Dies ist das Doppelersche Prinzip für beliebige Geschwindigkeiten. Für $\varphi = 0$ nimmt die Gleichung die übersichtliche Form an: $\nu' = \nu \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{V}}{1 + \frac{v}{V}}} .$ Frequency, moving systemFrequency, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation Man sieht, daß — im Gegensatz zu der üblichen Auffassung — für $v = -\infty$ , $\nu = \infty$ ist.

English

From the equation for $\omega'$ it follows: If an observer moves with the velocity $v$ relative to an infinitely distant light source of frequency $\nu$ in such a way that the line joining “light source–observer” makes the angle $\varphi$ with the velocity of the observer, referred to a coordinate system at rest relative to the light source, then the frequency $\nu'$ of the light perceived by the observer is given by the equation: $\nu' = \nu \frac{1 - \cos \varphi \frac{v}{V}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} .$ Frequency, moving systemFrequency, stationary systemAngle to the motion, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation This is Doppler’s principle for arbitrary velocities. For $\varphi = 0$ the equation takes the perspicuous form: $\nu' = \nu \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{V}}{1 + \frac{v}{V}}} .$ Frequency, moving systemFrequency, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation One sees that — contrary to the usual view — for $v = -\infty$ , $\nu = \infty$ .

Deutsch

[p. 912]Nennt man $\varphi'$ den Winkel zwischen Wellennormale (Strahlrichtung) im bewegten System und der Verbindungslinie „Lichtquelle–Beobachter“, so nimmt die Gleichung für $a'$ die Form an: $\cos \varphi' = \frac{\cos \varphi - \frac{v}{V}}{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi} .$ Angle to the motion, moving systemAngle to the motion, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation Diese Gleichung drückt das Aberrationsgesetz in seiner allgemeinsten Form aus. Ist $\varphi = \pi/2$ , so nimmt die Gleichung die einfache Gestalt an: $\cos \varphi' = - \frac{v}{V} .$ Angle to the motion, moving systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

If we call $\varphi'$ the angle between the wave normal (direction of the ray) in the moving system and the line joining “light source–observer”, the equation for $a'$ takes the form: $\cos \varphi' = \frac{\cos \varphi - \frac{v}{V}}{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi} .$ Angle to the motion, moving systemAngle to the motion, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation This equation expresses the law of aberration in its most general form. If $\varphi = \pi/2$ , the equation takes the simple form: $\cos \varphi' = - \frac{v}{V} .$ Angle to the motion, moving systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 912]Wir haben nun noch die Amplitude der Wellen, wie dieselbe im bewegten System erscheint, zu suchen. Nennt man $A$ bez. $A'$ die Amplitude der elektrischen oder magnetischen Kraft im ruhenden bez. im bewegten System gemessen, so erhält man: $A'^2 = A^2 \frac{\left( 1 - \frac{v}{V} \cos \varphi \right)^2}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} ,$ Light amplitude (moving system)Light amplitude (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightAngle to the motion, stationary systemExplain this equation welche Gleichung für $\varphi = 0$ in die einfachere übergeht: $A'^2 = A^2 \frac{1 - \frac{v}{V}}{1 + \frac{v}{V}} .$ Light amplitude (moving system)Light amplitude (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

We still have to find the amplitude of the waves as it appears in the moving system. If $A$ or $A'$ denotes the amplitude of the electric or magnetic force measured in the stationary or the moving system respectively, we obtain: $A'^2 = A^2 \frac{\left( 1 - \frac{v}{V} \cos \varphi \right)^2}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} ,$ Light amplitude (moving system)Light amplitude (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightAngle to the motion, stationary systemExplain this equation an equation which for $\varphi = 0$ passes over into the simpler one: $A'^2 = A^2 \frac{1 - \frac{v}{V}}{1 + \frac{v}{V}} .$ Light amplitude (moving system)Light amplitude (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 912]Es folgt aus den entwickelten Gleichungen, daß für einen Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit $V$ einer Lichtquelle näherte, diese Lichtquelle unendlich intensiv erscheinen müßte.

English

It follows from the equations developed that, for an observer approaching a light source with the velocity $V$ , this light source would have to appear infinitely intense.

Deutsch

[p. 913]§ 8. Transformation der Energie der Lichtstrahlen. Theorie des auf vollkommene Spiegel ausgeübten Strahlungsdruckes.

English

§ 8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of the Radiation Pressure Exerted on Perfect Mirrors.

Deutsch

[p. 913]Da $A^2/8\pi$ gleich der Lichtenergie pro Volumeneinheit ist, so haben wir nach dem Relativitätsprinzip $A'^2/8\pi$ als die Lichtenergie im bewegten System zu betrachten. Es wäre daher $A'^2/A^2$ das Verhältnis der „bewegt gemessenen“ und „ruhend gemessenen“ Energie eines bestimmten Lichtkomplexes, wenn das Volumen eines Lichtkomplexes in $K$ gemessen und in $k$ gemessen das gleiche wäre. Dies ist jedoch nicht der Fall. Sind $a$ , $b$ , $c$ die Richtungskosinus der Wellennormalen des Lichtes im ruhenden System, so wandert durch die Oberflächenelemente der mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Kugelfläche $(x - V a t)^2 + (y - V b t)^2 + (z - V c t)^2 = R^2$ Position in the stationary systemSpeed of lightDirection cosine (stationary system)Time in the stationary systemPosition in the stationary systemDirection cosine (stationary system)Position in the stationary systemDirection cosine (stationary system)Light-sphere radiusExplain this equation keine Energie hindurch; wir können daher sagen, daß diese Fläche dauernd denselben Lichtkomplex umschließt. Wir fragen nach der Energiemenge, welche diese Fläche im System $k$ betrachtet umschließt, d. h. nach der Energie des Lichtkomplexes relativ zum System $k$ .

English

Since $A^2/8\pi$ is equal to the light energy per unit volume, we have to regard $A'^2/8\pi$ , by the principle of relativity, as the light energy in the moving system. Hence $A'^2/A^2$ would be the ratio of the “measured-in-motion” and the “measured-at-rest” energy of a given light complex, if the volume of a light complex were the same measured in $K$ and measured in $k$ . This, however, is not the case. If $a$ , $b$ , $c$ are the direction cosines of the wave normal of the light in the stationary system, then through the surface elements of the spherical surface moving with the velocity of light $(x - V a t)^2 + (y - V b t)^2 + (z - V c t)^2 = R^2$ Position in the stationary systemSpeed of lightDirection cosine (stationary system)Time in the stationary systemPosition in the stationary systemDirection cosine (stationary system)Position in the stationary systemDirection cosine (stationary system)Light-sphere radiusExplain this equation no energy passes; we can therefore say that this surface permanently encloses the same light complex. We ask for the quantity of energy which this surface encloses, regarded in the system $k$ , that is, for the energy of the light complex relative to the system $k$ .

Deutsch

[pp. 913–914]Die Kugelfläche ist — im bewegten System betrachtet — eine Ellipsoidfläche, welche zur Zeit $\tau = 0$ die Gleichung besitzt: $\left( \beta \xi - a \beta \frac{v}{V} \xi \right)^2 + \left( \eta - b \beta \frac{v}{V} \xi \right)^2 + \left( \zeta - c \beta \frac{v}{V} \xi \right)^2 = R^2 .$ Lorentz factorPosition in the moving systemDirection cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightPosition in the moving systemDirection cosine (stationary system)Position in the moving systemDirection cosine (stationary system)Light-sphere radiusExplain this equation Nennt man $S$ das Volumen der Kugel, $S'$ dasjenige dieses Ellipsoides, so ist, wie eine einfache Rechnung zeigt: $\frac{S'}{S} = \frac{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi} .$ Volume of the light packet, moving systemVolume of the light packet, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightAngle to the motion, stationary systemExplain this equation Nennt man also $E$ die im ruhenden System gemessene, $E'$ die im bewegten System gemessene Lichtenergie, welche von der betrachteten Fläche umschlossen wird, so erhält man: $\frac{E'}{E} = \frac{\frac{A'^2}{8\pi} S'}{\frac{A^2}{8\pi} S} = \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} ,$ Energy of the light packet, moving systemEnergy of the light packet, stationary systemLight amplitude (moving system)Volume of the light packet, moving systemLight amplitude (stationary system)Volume of the light packet, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightAngle to the motion, stationary systemExplain this equation welche Formel für $\varphi = 0$ in die einfachere übergeht: $\frac{E'}{E} = \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{V}}{1 + \frac{v}{V}}} .$ Energy of the light packet, moving systemEnergy of the light packet, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

The spherical surface is — regarded in the moving system — an ellipsoidal surface, which at the time $\tau = 0$ has the equation: $\left( \beta \xi - a \beta \frac{v}{V} \xi \right)^2 + \left( \eta - b \beta \frac{v}{V} \xi \right)^2 + \left( \zeta - c \beta \frac{v}{V} \xi \right)^2 = R^2 .$ Lorentz factorPosition in the moving systemDirection cosine (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightPosition in the moving systemDirection cosine (stationary system)Position in the moving systemDirection cosine (stationary system)Light-sphere radiusExplain this equation If $S$ is called the volume of the sphere and $S'$ that of this ellipsoid, then, as a simple calculation shows: $\frac{S'}{S} = \frac{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi} .$ Volume of the light packet, moving systemVolume of the light packet, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightAngle to the motion, stationary systemExplain this equation If, therefore, we call $E$ the light energy measured in the stationary system and $E'$ the light energy measured in the moving system, enclosed by the surface under consideration, we obtain: $\frac{E'}{E} = \frac{\frac{A'^2}{8\pi} S'}{\frac{A^2}{8\pi} S} = \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} ,$ Energy of the light packet, moving systemEnergy of the light packet, stationary systemLight amplitude (moving system)Volume of the light packet, moving systemLight amplitude (stationary system)Volume of the light packet, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightAngle to the motion, stationary systemExplain this equation a formula which for $\varphi = 0$ passes over into the simpler one: $\frac{E'}{E} = \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{V}}{1 + \frac{v}{V}}} .$ Energy of the light packet, moving systemEnergy of the light packet, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 914]Es ist bemerkenswert, daß die Energie und die Frequenz eines Lichtkomplexes sich nach demselben Gesetze mit dem Bewegungszustande des Beobachters ändern.

English

It is remarkable that the energy and the frequency of a light complex vary with the observer’s state of motion according to the same law.

Deutsch

[p. 914]Es sei nun die Koordinatenebene $\xi = 0$ eine vollkommen spiegelnde Fläche, an welcher die im letzten Paragraph betrachteten ebenen Wellen reflektiert werden. Wir fragen nach dem auf die spiegelnde Fläche ausgeübten Lichtdruck und nach der Richtung, Frequenz und Intensität des Lichtes nach der Reflexion.

English

Now let the coordinate plane $\xi = 0$ be a perfectly reflecting surface, at which the plane waves considered in the last section are reflected. We ask for the light pressure exerted on the reflecting surface, and for the direction, frequency and intensity of the light after reflection.

Deutsch

[pp. 914–915]Das einfallende Licht sei durch die Größen $A$ , $\cos \varphi$ , $\nu$ (auf das System $K$ bezogen) definiert. Von $k$ aus betrachtet sind die entsprechenden Größen: $A' = A \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} ,$ Light amplitude (moving system)Light amplitude (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightAngle to the motion, stationary systemExplain this equation $\cos \varphi' = \frac{\cos \varphi - \frac{v}{V}}{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi} ,$ Angle to the motion, moving systemAngle to the motion, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $\nu' = \nu \frac{1 - \frac{v}{V} \cos \varphi}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} .$ Frequency, moving systemFrequency, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightAngle to the motion, stationary systemExplain this equation Für das reflektierte Licht erhalten wir, wenn wir den Vorgang auf das System $k$ beziehen: $\begin{aligned} A'' &= A' , \\ \cos \varphi'' &= - \cos \varphi' , \\ \nu'' &= \nu' . \end{aligned}$ Reflected light amplitude (moving system)Light amplitude (moving system)Reflected propagation angle (moving system)Angle to the motion, moving systemReflected light frequency (moving system)Frequency, moving systemExplain this equation Endlich erhält man durch Rücktransformieren aufs ruhende System $K$ für das reflektierte Licht: $A''' = A'' \frac{1 + \frac{v}{V} \cos \varphi''}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} = A \frac{1 - 2 \frac{v}{V} \cos \varphi + \left( \frac{v}{V} \right)^2}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} ,$ Reflected light amplitude (stationary system)Reflected light amplitude (moving system)Speed of the moving systemSpeed of lightReflected propagation angle (moving system)Light amplitude (stationary system)Angle to the motion, stationary systemExplain this equation $\cos \varphi''' = \frac{\cos \varphi'' + \frac{v}{V}}{1 + \frac{v}{V} \cos \varphi''} = - \frac{\left( 1 + \left( \frac{v}{V} \right)^2 \right) \cos \varphi - 2 \frac{v}{V}}{1 - 2 \frac{v}{V} \cos \varphi + \left( \frac{v}{V} \right)^2} ,$ Reflected propagation angle (stationary system)Reflected propagation angle (moving system)Speed of the moving systemSpeed of lightAngle to the motion, stationary systemExplain this equation $\nu''' = \nu'' \frac{1 + \frac{v}{V} \cos \varphi''}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} = \nu \frac{1 - 2 \frac{v}{V} \cos \varphi + \left( \frac{v}{V} \right)^2}{\left( 1 - \frac{v}{V} \right)^2} .$ Reflected frequencyReflected light frequency (moving system)Speed of the moving systemSpeed of lightReflected propagation angle (moving system)Frequency, stationary systemAngle to the motion, stationary systemExplain this equationSo printed. Read: ν''' = ν'' (1 + (v/V) cos φ'') / √(1 - (v/V)²) = ν (1 - 2 (v/V) cos φ + (v/V)²) / (1 - (v/V)²). The last member's denominator is printed as the square of (1 - v/V), where the paper's own steps give 1 - (v/V)². The record in the correction log

English

Deutsch

[p. 915]Die auf die Flächeneinheit des Spiegels pro Zeiteinheit auftreffende (im ruhenden System gemessene) Energie ist offenbar $A^2/8\pi (V \cos \varphi - v)$ . Die von der Flächeneinheit des Spiegels in der Zeiteinheit sich entfernende Energie ist $A'''^2/8\pi (- V \cos \varphi''' + v)$ . Die Differenz dieser beiden Ausdrücke ist nach dem Energieprinzip die vom Lichtdrucke in der Zeiteinheit geleistete Arbeit. Setzt man die letztere gleich dem Produkt $P \cdot v$ , wobei $P$ der Lichtdruck ist, so erhält man: $P = 2 \frac{A^2}{8\pi} \frac{\left( \cos \varphi - \frac{v}{V} \right)^2}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} .$ Radiation pressure on a mirrorLight amplitude (stationary system)Angle to the motion, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation In erster Annäherung erhält man in Übereinstimmung mit der Erfahrung und mit anderen Theorien $P = 2 \frac{A^2}{8\pi} \cos^2 \varphi .$ Radiation pressure on a mirrorLight amplitude (stationary system)Angle to the motion, stationary systemExplain this equation

English

The energy (measured in the stationary system) incident on unit area of the mirror per unit time is evidently $A^2/8\pi (V \cos \varphi - v)$ . The energy leaving unit area of the mirror in unit time is $A'''^2/8\pi (- V \cos \varphi''' + v)$ . By the energy principle, the difference of these two expressions is the work done by the light pressure in unit time. If we set the latter equal to the product $P \cdot v$ , where $P$ is the light pressure, we obtain: $P = 2 \frac{A^2}{8\pi} \frac{\left( \cos \varphi - \frac{v}{V} \right)^2}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} .$ Radiation pressure on a mirrorLight amplitude (stationary system)Angle to the motion, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation To a first approximation we obtain, in agreement with experience and with other theories $P = 2 \frac{A^2}{8\pi} \cos^2 \varphi .$ Radiation pressure on a mirrorLight amplitude (stationary system)Angle to the motion, stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 915]Nach der hier benutzten Methode können alle Probleme der Optik bewegter Körper gelöst werden. Das Wesentliche ist, daß die elektrische und magnetische Kraft des Lichtes, welches durch einen bewegten Körper beeinflußt wird, auf ein relativ zu dem Körper ruhendes Koordinatensystem transformiert werden. Dadurch wird jedes Problem der Optik bewegter Körper auf eine Reihe von Problemen der Optik ruhender Körper zurückgeführt.

English

By the method employed here, all problems of the optics of moving bodies can be solved. The essential point is that the electric and magnetic force of the light which is influenced by a moving body are transformed to a coordinate system at rest relative to the body. In this way every problem of the optics of moving bodies is reduced to a series of problems of the optics of bodies at rest.

Deutsch

[p. 916]§ 9. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen mit Berücksichtigung der Konvektionsströme.

English

§ 9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations with Consideration of Convection Currents.

Deutsch

[p. 916]Wir gehen aus von den Gleichungen: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \left\{ u_x \varrho + \frac{\partial X}{\partial t} \right\} &= \frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial t} &= \frac{\partial Y}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial y} , \\ \frac{1}{V} \left\{ u_y \varrho + \frac{\partial Y}{\partial t} \right\} &= \frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial N}{\partial x} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M}{\partial t} &= \frac{\partial Z}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial z} , \\ \frac{1}{V} \left\{ u_z \varrho + \frac{\partial Z}{\partial t} \right\} &= \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N}{\partial t} &= \frac{\partial X}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial x} , \end{aligned}$ Speed of lightCharge velocity (stationary system)Charge density, stationary systemElectric field, stationary systemTime in the stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemElectric field, stationary systemCharge velocity (stationary system)Position in the stationary systemCharge velocity (stationary system)Explain this equation wobei $\varrho = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z}$ Charge density, stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation die $4\pi$ -fache Dichte der Elektrizität und $(u_x, u_y, u_z)$ den Geschwindigkeitsvektor der Elektrizität bedeutet. Denkt man sich die elektrischen Massen unveränderlich an kleine, starre Körper (Ionen, Elektronen) gebunden, so sind diese Gleichungen die elektromagnetische Grundlage der Lorentzschen Elektrodynamik und Optik bewegter Körper.

English

We start from the equations: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \left\{ u_x \varrho + \frac{\partial X}{\partial t} \right\} &= \frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial t} &= \frac{\partial Y}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial y} , \\ \frac{1}{V} \left\{ u_y \varrho + \frac{\partial Y}{\partial t} \right\} &= \frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial N}{\partial x} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M}{\partial t} &= \frac{\partial Z}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial z} , \\ \frac{1}{V} \left\{ u_z \varrho + \frac{\partial Z}{\partial t} \right\} &= \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N}{\partial t} &= \frac{\partial X}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial x} , \end{aligned}$ Speed of lightCharge velocity (stationary system)Charge density, stationary systemElectric field, stationary systemTime in the stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemMagnetic field, stationary systemElectric field, stationary systemElectric field, stationary systemCharge velocity (stationary system)Position in the stationary systemCharge velocity (stationary system)Explain this equation where $\varrho = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z}$ Charge density, stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemExplain this equation denotes $4\pi$ times the density of electricity, and $(u_x, u_y, u_z)$ the velocity vector of electricity. If we imagine the electric masses to be invariably bound to small rigid bodies (ions, electrons), these equations are the electromagnetic foundation of Lorentz’s electrodynamics and optics of moving bodies.

Deutsch

[pp. 916–917]Transformiert man diese Gleichungen, welche im System $K$ gelten mögen, mit Hilfe der Transformationsgleichungen von § 3 und § 6 auf das System $k$ , so erhält man die Gleichungen: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \left\{ u_\xi \varrho' + \frac{\partial X'}{\partial \tau} \right\} &= \frac{\partial N'}{\partial \eta} - \frac{\partial M'}{\partial \zeta} , &\qquad \frac{\partial L'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Y'}{\partial \zeta} - \frac{\partial Z'}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \left\{ u_\eta \varrho' + \frac{\partial Y'}{\partial \tau} \right\} &= \frac{\partial L'}{\partial \zeta} - \frac{\partial N'}{\partial \xi} , &\qquad \frac{\partial M'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Z'}{\partial \xi} - \frac{\partial X'}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \left\{ u_\zeta \varrho' + \frac{\partial Z'}{\partial \tau} \right\} &= \frac{\partial M'}{\partial \xi} - \frac{\partial L'}{\partial \eta} , &\qquad \frac{\partial N'}{\partial \tau} &= \frac{\partial X'}{\partial \eta} - \frac{\partial Y'}{\partial \xi} , \end{aligned}$ Speed of lightCharge velocity (moving system)Charge density, moving systemElectric field, moving systemTime in the moving systemMagnetic field, moving systemPosition in the moving systemMagnetic field, moving systemPosition in the moving systemMagnetic field, moving systemElectric field, moving systemElectric field, moving systemCharge velocity (moving system)Position in the moving systemCharge velocity (moving system)Explain this equationSo printed. Read: (1/V) dL'/dτ = dY'/dζ - dZ'/dη , (1/V) dM'/dτ = dZ'/dξ - dX'/dζ , (1/V) dN'/dτ = dX'/dη - dY'/dξ. In the transformed system of section 9, the three right-hand equations (the magnetic ones) are printed without the factor 1/V before the time derivative. The record in the correction log wobei $\begin{aligned} \frac{u_x - v}{1 - \frac{u_x v}{V^2}} &= u_\xi , \\ \frac{u_y}{\beta \left( 1 - \frac{u_x v}{V^2} \right)} &= u_\eta , &\qquad \varrho' = \frac{\partial X'}{\partial \xi} + \frac{\partial Y'}{\partial \eta} + \frac{\partial Z'}{\partial \zeta} = \beta \left( 1 - \frac{v u_x}{V^2} \right) \varrho . \\ \frac{u_z}{\beta \left( 1 - \frac{u_x v}{V^2} \right)} &= u_\zeta . \end{aligned}$ Charge velocity (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightCharge velocity (moving system)Charge velocity (stationary system)Lorentz factorCharge velocity (moving system)Charge density, moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemCharge density, stationary systemCharge velocity (stationary system)Charge velocity (moving system)Explain this equation Da — wie aus dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten (§ 5) folgt — der Vektor $(u_\xi, u_\eta, u_\zeta)$ nichts anderes ist als die Geschwindigkeit der elektrischen Massen im System $k$ gemessen, so ist damit gezeigt, daß unter Zugrundelegung unserer kinematischen Prinzipien die elektrodynamische Grundlage der Lorentzschen Theorie der Elektrodynamik bewegter Körper dem Relativitätsprinzip entspricht.

English

If these equations, which are to hold in the system $K$ , are transformed to the system $k$ with the help of the transformation equations of § 3 and § 6, we obtain the equations: $\begin{aligned} \frac{1}{V} \left\{ u_\xi \varrho' + \frac{\partial X'}{\partial \tau} \right\} &= \frac{\partial N'}{\partial \eta} - \frac{\partial M'}{\partial \zeta} , &\qquad \frac{\partial L'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Y'}{\partial \zeta} - \frac{\partial Z'}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \left\{ u_\eta \varrho' + \frac{\partial Y'}{\partial \tau} \right\} &= \frac{\partial L'}{\partial \zeta} - \frac{\partial N'}{\partial \xi} , &\qquad \frac{\partial M'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Z'}{\partial \xi} - \frac{\partial X'}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \left\{ u_\zeta \varrho' + \frac{\partial Z'}{\partial \tau} \right\} &= \frac{\partial M'}{\partial \xi} - \frac{\partial L'}{\partial \eta} , &\qquad \frac{\partial N'}{\partial \tau} &= \frac{\partial X'}{\partial \eta} - \frac{\partial Y'}{\partial \xi} , \end{aligned}$ Speed of lightCharge velocity (moving system)Charge density, moving systemElectric field, moving systemTime in the moving systemMagnetic field, moving systemPosition in the moving systemMagnetic field, moving systemPosition in the moving systemMagnetic field, moving systemElectric field, moving systemElectric field, moving systemCharge velocity (moving system)Position in the moving systemCharge velocity (moving system)Explain this equation where $\begin{aligned} \frac{u_x - v}{1 - \frac{u_x v}{V^2}} &= u_\xi , \\ \frac{u_y}{\beta \left( 1 - \frac{u_x v}{V^2} \right)} &= u_\eta , &\qquad \varrho' = \frac{\partial X'}{\partial \xi} + \frac{\partial Y'}{\partial \eta} + \frac{\partial Z'}{\partial \zeta} = \beta \left( 1 - \frac{v u_x}{V^2} \right) \varrho . \\ \frac{u_z}{\beta \left( 1 - \frac{u_x v}{V^2} \right)} &= u_\zeta . \end{aligned}$ Charge velocity (stationary system)Speed of the moving systemSpeed of lightCharge velocity (moving system)Charge velocity (stationary system)Lorentz factorCharge velocity (moving system)Charge density, moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemCharge density, stationary systemCharge velocity (stationary system)Charge velocity (moving system)Explain this equation Since — as follows from the addition theorem of velocities (§ 5) — the vector $(u_\xi, u_\eta, u_\zeta)$ is nothing other than the velocity of the electric masses measured in the system $k$ , it is thereby shown that, on the basis of our kinematical principles, the electrodynamic foundation of Lorentz’s theory of the electrodynamics of moving bodies is in accordance with the principle of relativity.

Deutsch

[p. 917]Es möge noch kurz bemerkt werden, daß aus den entwickelten Gleichungen leicht der folgende wichtige Satz gefolgert werden kann: Bewegt sich ein elektrisch geladener Körper beliebig im Raume und ändert sich hierbei seine Ladung nicht, von einem mit dem Körper bewegten Koordinatensystem aus betrachtet, so bleibt seine Ladung auch — von dem „ruhenden“ System $K$ aus betrachtet — konstant.

English

It may also be briefly remarked that the following important theorem can easily be deduced from the equations developed: If an electrically charged body moves in any manner in space and its charge, regarded from a coordinate system moving with the body, does not change in the process, then its charge also remains — regarded from the “stationary” system $K$ — constant.

Deutsch

[p. 917]§ 10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons.

English

§ 10. Dynamics of the (Slowly Accelerated) Electron.

Deutsch

[p. 917]In einem elektromagnetischen Felde bewege sich ein punktförmiges, mit einer elektrischen Ladung $\varepsilon$ versehenes Teilchen (im folgenden „Elektron“ genannt), über dessen Bewegungsgesetz wir nur folgendes annehmen:

English

Let there move in an electromagnetic field a point-like particle provided with an electric charge $\varepsilon$ (in what follows called “electron”), about whose law of motion we assume only the following:

Deutsch

[p. 917]Ruht das Elektron in einer bestimmten Epoche, so erfolgt in dem nächsten Zeitteilchen die Bewegung des Elektrons nach den Gleichungen $\begin{aligned} \mu \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X \\ \mu \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon Y \\ \mu \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon Z , \end{aligned}$ Electron massPosition in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemExplain this equation wobei $x$ , $y$ , $z$ die Koordinaten des Elektrons, $\mu$ die Masse des Elektrons bedeutet, sofern dasselbe langsam bewegt ist.

English

If the electron is at rest at a given epoch, its motion in the next instant of time takes place according to the equations $\begin{aligned} \mu \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X \\ \mu \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon Y \\ \mu \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon Z , \end{aligned}$ Electron massPosition in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemExplain this equation where $x$ , $y$ , $z$ denote the coordinates of the electron, and $\mu$ the mass of the electron, as long as it moves slowly.

Deutsch

[p. 917]Es besitze nun zweitens das Elektron in einer gewissen Zeitepoche die Geschwindigkeit $v$ . Wir suchen das Gesetz, nach welchem sich das Elektron im unmittelbar darauf folgenden Zeitteilchen bewegt.

English

Now, secondly, let the electron have the velocity $v$ at a certain epoch of time. We seek the law according to which the electron moves in the instant of time immediately following.

Deutsch

[pp. 917–918]Ohne die Allgemeinheit der Betrachtung zu beeinflussen, können und wollen wir annehmen, daß das Elektron in dem Momente, wo wir es ins Auge fassen, sich im Koordinatensprung befinde und sich längs der $X$ -Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewege. Es ist dann einleuchtend, daß das Elektron im genannten Momente ( $t = 0$ ) relativ zu einem längs der $X$ -Achse mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ parallelbewegten Koordinatensystem $k$ ruht.

English

Without affecting the generality of the consideration, we may and will assume that the electron, at the moment we fix our attention on it, is at the origin of coordinates and is moving along the $X$ -axis of the system $K$ with the velocity $v$ . It is then evident that at the moment in question ( $t = 0$ ) the electron is at rest relative to a coordinate system $k$ moving parallel to itself along the $X$ -axis with the constant velocity $v$ .

Deutsch

[p. 918]Aus der oben gemachten Voraussetzung in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip ist klar, daß sich das Elektron in der unmittelbar folgenden Zeit (für kleine Werte von $t$ ) vom System $k$ aus betrachtet nach den Gleichungen bewegt: $\begin{aligned} \mu \frac{d^2 \xi}{d \tau^2} &= \varepsilon X' , \\ \mu \frac{d^2 \eta}{d \tau^2} &= \varepsilon Y' , \\ \mu \frac{d^2 \zeta}{d \tau^2} &= \varepsilon Z' , \end{aligned}$ Electron massPosition in the moving systemTime in the moving systemElectron chargeElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemExplain this equation wobei die Zeichen $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ , $\tau$ , $X'$ , $Y'$ , $Z'$ sich auf das System $k$ beziehen. Setzen wir noch fest, daß für $t = x = y = z = 0$ $\tau = \xi = \eta = \zeta = 0$ sein soll, so gelten die Transformationsgleichungen der §§ 3 und 6, so daß gilt: $\begin{aligned} \tau &= \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \beta (x - v t) , &\qquad X' &= X , \\ \eta &= y , &\qquad Y' &= \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \zeta &= z , &\qquad Z' &= \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned}$ Time in the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

English

From the assumption made above, in combination with the principle of relativity, it is clear that in the time immediately following (for small values of $t$ ) the electron, regarded from the system $k$ , moves according to the equations: $\begin{aligned} \mu \frac{d^2 \xi}{d \tau^2} &= \varepsilon X' , \\ \mu \frac{d^2 \eta}{d \tau^2} &= \varepsilon Y' , \\ \mu \frac{d^2 \zeta}{d \tau^2} &= \varepsilon Z' , \end{aligned}$ Electron massPosition in the moving systemTime in the moving systemElectron chargeElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemExplain this equation where the symbols $\xi$ , $\eta$ , $\zeta$ , $\tau$ , $X'$ , $Y'$ , $Z'$ refer to the system $k$ . If we further stipulate that for $t = x = y = z = 0$ we are to have $\tau = \xi = \eta = \zeta = 0$ , then the transformation equations of §§ 3 and 6 hold, so that: $\begin{aligned} \tau &= \beta \left( t - \frac{v}{V^2} x \right) , \\ \xi &= \beta (x - v t) , &\qquad X' &= X , \\ \eta &= y , &\qquad Y' &= \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \zeta &= z , &\qquad Z' &= \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned}$ Time in the moving systemLorentz factorTime in the stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightPosition in the stationary systemPosition in the moving systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemPosition in the moving systemPosition in the stationary systemElectric field, moving systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 918]Mit Hilfe dieser Gleichungen transformieren wir die obigen Bewegungsgleichungen vom System $k$ auf das System $K$ und erhalten: $\left\{ \begin{aligned} \frac{d^2 x}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta^3} X , \\ \frac{d^2 y}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \frac{d^2 z}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned} \right.$ Position in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectron massLorentz factorElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

English

With the help of these equations we transform the above equations of motion from the system $k$ to the system $K$ , and obtain: $\left\{ \begin{aligned} \frac{d^2 x}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta^3} X , \\ \frac{d^2 y}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , \\ \frac{d^2 z}{d t^2} &= \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{1}{\beta} \left( Z + \frac{v}{V} M \right) . \end{aligned} \right.$ Position in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectron massLorentz factorElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

Deutsch

[pp. 918–919]Wir fragen nun in Anlehnung an die übliche Betrachtungsweise nach der „longitudinalen“ und „transversalen“ Masse des bewegten Elektrons. Wir schreiben die Gleichungen (A) in der Form $\begin{aligned} \mu \beta^3 \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X = \varepsilon X' , \\ \mu \beta^2 \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) = \varepsilon Y' , \\ \mu \beta^3 \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) = \varepsilon Z' \end{aligned}$ Electron massLorentz factorPosition in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectric field, stationary systemElectric field, moving systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemExplain this equationSo printed. Read: μ β² d²z/dt² = ε β (Z + (v/V) M) = ε Z'. The display that rewrites equations (A) prints three rows, and the z row's coefficient carries β³ where the paper's own steps give β². The record in the correction log und bemerken zunächst, daß $\varepsilon X'$ , $\varepsilon Y'$ , $\varepsilon Z'$ die Komponenten der auf das Elektron wirkenden ponderomotorischen Kraft sind, und zwar in einem in diesem Moment mit dem Elektron mit gleicher Geschwindigkeit wie dieses bewegten System betrachtet. (Diese Kraft könnte beispielsweise mit einer im letzten System ruhenden Federwage gemessen werden.) Wenn wir nun diese Kraft schlechtweg „die auf das Elektron wirkende Kraft“ nennen und die Gleichung $\text{Massenzahl} \times \text{Beschleunigungszahl} = \text{Kraftzahl}$ Explain this equation aufrechterhalten, und wenn wir ferner festsetzen, daß die Beschleunigungen im ruhenden System $K$ gemessen werden sollen, so erhalten wir aus obigen Gleichungen: $\text{Longitudinale Masse} = \frac{\mu}{\left( \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right)^3} ,$ Electron massSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $\text{Transversale Masse} = \frac{\mu}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} .$ Electron massSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

Following the usual line of thought, we now ask for the “longitudinal” and “transverse” mass of the moving electron. We write the equations (A) in the form $\begin{aligned} \mu \beta^3 \frac{d^2 x}{d t^2} &= \varepsilon X = \varepsilon X' , \\ \mu \beta^2 \frac{d^2 y}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) = \varepsilon Y' , \\ \mu \beta^3 \frac{d^2 z}{d t^2} &= \varepsilon \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) = \varepsilon Z' \end{aligned}$ Electron massLorentz factorPosition in the stationary systemTime in the stationary systemElectron chargeElectric field, stationary systemElectric field, moving systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemSpeed of the moving systemSpeed of lightMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemPosition in the stationary systemElectric field, stationary systemMagnetic field, stationary systemElectric field, moving systemExplain this equation and note first that $\varepsilon X'$ , $\varepsilon Y'$ , $\varepsilon Z'$ are the components of the ponderomotive force acting on the electron, and indeed regarded in a system moving at this moment with the electron at the same velocity as it. (This force could be measured, for example, with a spring balance at rest in the latter system.) If we now call this force simply “the force acting on the electron”, and maintain the equation [mass number × acceleration number = force number] $\text{Massenzahl} \times \text{Beschleunigungszahl} = \text{Kraftzahl}$ Explain this equation and if we further stipulate that the accelerations are to be measured in the stationary system $K$ , we obtain from the above equations: $\text{Longitudinale Masse} = \frac{\mu}{\left( \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right)^3} ,$ Electron massSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation $\text{Transversale Masse} = \frac{\mu}{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} .$ Electron massSpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 919]Natürlich würde man bei anderer Definition der Kraft und der Beschleunigung andere Zahlen für die Massen erhalten; man ersieht daraus, daß man bei der Vergleichung verschiedener Theorien der Bewegung des Elektrons sehr vorsichtig verfahren muß.

English

Naturally, with a different definition of force and acceleration one would obtain other numbers for the masses; one sees from this that one must proceed very cautiously in comparing different theories of the motion of the electron.

Deutsch

[p. 919]Wir bemerken, daß diese Resultate über die Masse auch für die ponderabeln materiellen Punkte gilt; denn ein ponderabler materieller Punkt kann durch Zufügen einer beliebig kleinen elektrischen Ladung zu einem Elektron (in unserem Sinne) gemacht werden.

English

We remark that these results about the mass also hold for ponderable material points; for a ponderable material point can be made into an electron (in our sense) by adding an arbitrarily small electric charge.

Deutsch

[pp. 919–920]Wir bestimmen die kinetische Energie des Elektrons. Bewegt sich ein Elektron vom Koordinatenursprung des Systems $K$ aus mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 beständig auf der $X$ -Achse unter der Wirkung einer elektrostatischen Kraft $X$ , so ist klar, daß die dem elektrostatischen Felde entzogene Energie den Wert $\int \varepsilon X d x$ hat. Da das Elektron langsam beschleunigt sein soll und infolgedessen keine Energie in Form von Strahlung abgeben möge, so muß die dem elektrostatischen Felde entzogene Energie gleich der Bewegungsenergie $W$ des Elektrons gesetzt werden. Man erhält daher, indem man beachtet, daß während des ganzen betrachteten Bewegungsvorganges die erste der Gleichungen (A) gilt: $W = \int \varepsilon X d x = \int_0^v \beta^3 v d v = \mu V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$ Kinetic energyElectron chargeElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemSpeed of the moving systemLorentz factorElectron massSpeed of lightExplain this equationSo printed. Read: W = ∫ ε X dx = μ ∫₀^v β³ v dv = μ V² { 1/√(1-(v/V)²) - 1 }. The middle member omits the mass factor μ carried by the first equation of system (A) (d²x/dt² = (ε/μ) β⁻³ X), so as printed the middle member does not equal the outer two. The record in the correction log

English

We determine the kinetic energy of the electron. If an electron moves from the origin of coordinates of the system $K$ , with initial velocity 0, steadily along the $X$ -axis under the action of an electrostatic force $X$ , it is clear that the energy withdrawn from the electrostatic field has the value $\int \varepsilon X d x$ . Since the electron is to be accelerated slowly and consequently is to give off no energy in the form of radiation, the energy withdrawn from the electrostatic field must be set equal to the energy of motion $W$ of the electron. Taking into account that during the whole process of motion considered the first of the equations (A) holds, we therefore obtain: $W = \int \varepsilon X d x = \int_0^v \beta^3 v d v = \mu V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$ Kinetic energyElectron chargeElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemSpeed of the moving systemLorentz factorElectron massSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 920] $W$ wird also für $v = V$ unendlich groß. Überlichtgeschwindigkeiten haben — wie bei unseren früheren Resultaten — keine Existenzmöglichkeit.

English

$W$ thus becomes infinitely great for $v = V$ . Velocities greater than that of light have — as in our earlier results — no possibility of existence.

Deutsch

[p. 920]Auch dieser Ausdruck für die kinetische Energie muß dem oben angeführten Argument zufolge ebenso für ponderable Massen gelten.

English

By the argument given above, this expression for the kinetic energy must also hold for ponderable masses.

Deutsch

[p. 920]Wir wollen nun die aus dem Gleichungssystem (A) resultierenden, dem Experimente zugänglichen Eigenschaften der Bewegung des Elektrons aufzählen.

English

We shall now enumerate the properties of the electron’s motion that result from the system of equations (A) and are accessible to experiment.

Deutsch

[p. 920]1. Aus der zweiten Gleichung des Systems (A) folgt, daß eine elektrische Kraft $Y$ und eine magnetische Kraft $N$ dann gleich stark ablenkend wirken auf ein mit der Geschwindigkeit $v$ bewegtes Elektron, wenn $Y = N \cdot v/V$ . Man ersieht also, daß die Ermittelung der Geschwindigkeit des Elektrons aus dem Verhältnis der magnetischen Ablenkbarkeit $A_m$ und der elektrischen Ablenkbarkeit $A_e$ nach unserer Theorie für beliebige Geschwindigkeiten möglich ist durch Anwendung des Gesetzes: $\frac{A_m}{A_e} = \frac{v}{V} .$ Magnetic deflectabilityElectric deflectabilitySpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

English

1. From the second equation of the system (A) it follows that an electric force $Y$ and a magnetic force $N$ have an equally strong deflecting action on an electron moving with the velocity $v$ when $Y = N \cdot v/V$ . One sees, therefore, that according to our theory the velocity of the electron can be determined, for arbitrary velocities, from the ratio of the magnetic deflectability $A_m$ to the electric deflectability $A_e$ , by applying the law: $\frac{A_m}{A_e} = \frac{v}{V} .$ Magnetic deflectabilityElectric deflectabilitySpeed of the moving systemSpeed of lightExplain this equation

Deutsch

[p. 920]Diese Beziehung ist der Prüfung durch das Experiment zugänglich, da die Geschwindigkeit des Elektrons auch direkt, z. B. mittels rasch oszillierender elektrischer und magnetischer Felder, gemessen werden kann.

English

This relation is accessible to experimental test, since the velocity of the electron can also be measured directly, for example by means of rapidly oscillating electric and magnetic fields.

Deutsch

[pp. 920–921]2. Aus der Ableitung für die kinetische Energie des Elektrons folgt, daß zwischen der durchlaufenen Potentialdifferenz und der erlangten Geschwindigkeit $v$ des Elektrons die Beziehung gelten muß: $P = \int X d x = \frac{\mu}{\varepsilon} V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$ Accelerating voltageElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectron massElectron chargeSpeed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation

English

2. From the derivation of the kinetic energy of the electron it follows that between the potential difference traversed and the velocity $v$ acquired by the electron the relation must hold: $P = \int X d x = \frac{\mu}{\varepsilon} V^2 \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} - 1 \right\} .$ Accelerating voltageElectric field, stationary systemPosition in the stationary systemElectron massElectron chargeSpeed of lightSpeed of the moving systemExplain this equation

Deutsch

[p. 921]3. Wir berechnen den Krümmungsradius $R$ der Bahn, wenn eine senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons wirkende magnetische Kraft $N$ (als einzige ablenkende Kraft) vorhanden ist. Aus der zweiten der Gleichungen (A) erhalten wir: $- \frac{d^2 y}{d t^2} = \frac{v^2}{R} = \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{v}{V} N \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}$ Position in the stationary systemTime in the stationary systemSpeed of the moving systemRadius of the circular pathElectron chargeElectron massSpeed of lightMagnetic field, stationary systemExplain this equation oder $R = V^2 \frac{\mu}{\varepsilon} \cdot \frac{\frac{v}{V}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} \cdot \frac{1}{N} .$ Radius of the circular pathSpeed of lightElectron massElectron chargeSpeed of the moving systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

English

3. We calculate the radius of curvature $R$ of the path when a magnetic force $N$ acting perpendicular to the velocity of the electron is present (as the only deflecting force). From the second of the equations (A) we obtain: $- \frac{d^2 y}{d t^2} = \frac{v^2}{R} = \frac{\varepsilon}{\mu} \frac{v}{V} N \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}$ Position in the stationary systemTime in the stationary systemSpeed of the moving systemRadius of the circular pathElectron chargeElectron massSpeed of lightMagnetic field, stationary systemExplain this equation or $R = V^2 \frac{\mu}{\varepsilon} \cdot \frac{\frac{v}{V}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} \cdot \frac{1}{N} .$ Radius of the circular pathSpeed of lightElectron massElectron chargeSpeed of the moving systemMagnetic field, stationary systemExplain this equation

Deutsch

[p. 921]Diese drei Beziehungen sind ein vollständiger Ausdruck für die Gesetze, nach denen sich gemäß vorliegender Theorie das Elektron bewegen muß.

English

These three relations are a complete expression of the laws according to which, by the present theory, the electron must move.

Deutsch

[p. 921]

Zum Schlusse bemerke ich, daß mir beim Arbeiten an dem hier behandelten Probleme mein Freund und Kollege M. Besso treu zur Seite stand und daß ich demselben manche wertvolle Anregung verdanke.

English

In conclusion I remark that in working on the problem treated here my friend and colleague M. Besso stood loyally by my side, and that I owe him several valuable suggestions.

Deutsch

[p. 921]

Bern, Juni 1905.

English

Bern, June 1905.

Deutsch

[p. 921]

(Eingegangen 30. Juni 1905.)

English

(Received 30 June 1905.)

Fußnoten

Deutsch

1) Die Ungenauigkeit, welche in dem Begriffe der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an (annähernd) demselben Orte steckt und gleichfalls durch eine Abstraktion überbrückt werden muß, soll hier nicht erörtert werden. ↩

English

Deutsch

1) „Zeit“ bedeutet hier „Zeit des ruhenden Systems“ und zugleich „Zeigerstellung der bewegten Uhr, welche sich an dem Orte, von dem die Rede ist, befindet“. ↩

English

Deutsch

1) Das heißt einen Körper, welcher ruhend untersucht Kugelgestalt besitzt. ↩

English

Deutsch

1) Ist z. B. $X = Y = Z = L = M = 0$ und $N \neq 0$ , so ist aus Symmetriegründen klar, daß bei Zeichenwechsel von $v$ ohne Änderung des numerischen Wertes auch $Y'$ sein Vorzeichen ändern muß, ohne seinen numerischen Wert zu ändern. ↩

English

[p. 892]I. Kinematischer Teil.

I. Kinematical Part.Show the German source

[p. 892]§ 1. Definition der Gleichzeitigkeit.

§ 1. Definition of Simultaneity.Show the German source

[p. 895]§ 2. Über die Relativität von Längen und Zeiten.

§ 2. On the Relativity of Lengths and Times.Show the German source

[p. 897]§ 3. Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichförmiger Translationsbewegung befindliches System.

§ 3. Theory of the Transformation of Coordinates and Times from the Stationary System to a System in Uniform Translational Motion Relative to It.Show the German source

[p. 903]§ 4. Physikalische Bedeutung der erhaltenen Gleichungen, bewegte starre Körper und bewegte Uhren betreffend.

§ 4. Physical Meaning of the Equations Obtained, Concerning Moving Rigid Bodies and Moving Clocks.Show the German source

[p. 905]§ 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten.

§ 5. The Addition Theorem of Velocities.Show the German source

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

II. Electrodynamical Part.Show the German source

[p. 907]§ 6. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum. Über die Natur der bei Bewegung in einem Magnetfeld auftretenden elektromotorischen Kräfte.

§ 6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for Empty Space. On the Nature of the Electromotive Forces Occurring with Motion in a Magnetic Field.Show the German source

[p. 910]§ 7. Theorie des Doppelerschen Prinzips und der Aberration.

§ 7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration.Show the German source

[p. 913]§ 8. Transformation der Energie der Lichtstrahlen. Theorie des auf vollkommene Spiegel ausgeübten Strahlungsdruckes.

§ 8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of the Radiation Pressure Exerted on Perfect Mirrors.Show the German source

[p. 916]§ 9. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen mit Berücksichtigung der Konvektionsströme.

§ 9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations with Consideration of Convection Currents.Show the German source

[p. 917]§ 10. Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons.

§ 10. Dynamics of the (Slowly Accelerated) Electron.Show the German source

Fußnoten

I. Kinematical Part.

§ 1. Definition of Simultaneity.

§ 2. On the Relativity of Lengths and Times.

§ 3. Theory of the Transformation of Coordinates and Times from the Stationary System to a System in Uniform Translational Motion Relative to It.

§ 4. Physical Meaning of the Equations Obtained, Concerning Moving Rigid Bodies and Moving Clocks.

§ 5. The Addition Theorem of Velocities.

II. Electrodynamical Part.

§ 6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for Empty Space. On the Nature of the Electromotive Forces Occurring with Motion in a Magnetic Field.

§ 7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration.

§ 8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of the Radiation Pressure Exerted on Perfect Mirrors.

§ 9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations with Consideration of Convection Currents.

§ 10. Dynamics of the (Slowly Accelerated) Electron.