[p. 892]I. Kinematischer Teil.

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.

[p. 907]§ 6. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum. Über die Natur der bei Bewegung in einem Magnetfeld auftretenden elektromotorischen Kräfte.

[p. 907]Align sentencesDie Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum mögen gültig sein für das ruhende System $K$, so daß gelten möge:$$\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X}{\partial t} &= \frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial t} &= \frac{\partial Y}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial y} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Y}{\partial t} &= \frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial N}{\partial x} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M}{\partial t} &= \frac{\partial Z}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial z} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Z}{\partial t} &= \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N}{\partial t} &= \frac{\partial X}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial x} , \end{aligned}$$$V$Speed of light$X$Electric field, stationary system$t$Time in the stationary system$N$Magnetic field, stationary system$y$Position in the stationary system$M$Magnetic field, stationary system$z$Position in the stationary system$L$Magnetic field, stationary system$Y$Electric field, stationary system$Z$Electric field, stationary system$x$Position in the stationary systemExplain this equation wobei $(X, Y, Z)$ den Vektor der elektrischen, $(L, M, N)$ den der magnetischen Kraft bedeutet. Show English translation

[pp. 907–908]Align sentencesWenden wir auf diese Gleichungen die in § 3 entwickelte Transformation an, indem wir die elektromagnetischen Vorgänge auf das dort eingeführte, mit der Geschwindigkeit $v$ bewegte Koordinatensystem beziehen, so erhalten wir die Gleichungen:$$\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \eta} - \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial L}{\partial \zeta} - \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \xi} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \xi} - \frac{\partial L}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial L}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \zeta} - \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right)}{\partial \xi} - \frac{\partial X}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right)}{\partial \tau} &= \frac{\partial X}{\partial \eta} - \frac{\partial \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right)}{\partial \xi} , \end{aligned}$$$V$Speed of light$X$Electric field, stationary system$\tau$Time in the moving system$\beta$Lorentz factor$N$Magnetic field, stationary system$v$Speed of the moving system$Y$Electric field, stationary system$\eta$Position in the moving system$M$Magnetic field, stationary system$Z$Electric field, stationary system$\zeta$Position in the moving system$L$Magnetic field, stationary system$\xi$Position in the moving systemExplain this equation wobei$$\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} .$$$\beta$Lorentz factor$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translation

[p. 908]Align sentencesDas Relativitätsprinzip fordert nun, daß die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum auch im System $k$ gelten, wenn sie im System $K$ gelten, d. h. daß für die im bewegten System $k$ durch ihre ponderomotorischen Wirkungen auf elektrische bez. magnetische Massen definierten Vektoren der elektrischen und magnetischen Kraft ($(X', Y' Z')$ und $(L', M', N')$) des bewegten Systems $k$ die Gleichungen gelten:$$\begin{aligned} \frac{1}{V} \frac{\partial X'}{\partial \tau} &= \frac{\partial N'}{\partial \eta} - \frac{\partial M'}{\partial \zeta} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial L'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Y'}{\partial \zeta} - \frac{\partial Z'}{\partial \eta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Y'}{\partial \tau} &= \frac{\partial L'}{\partial \zeta} - \frac{\partial N'}{\partial \xi} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial M'}{\partial \tau} &= \frac{\partial Z'}{\partial \xi} - \frac{\partial X'}{\partial \zeta} , \\ \frac{1}{V} \frac{\partial Z'}{\partial \tau} &= \frac{\partial M'}{\partial \xi} - \frac{\partial L'}{\partial \eta} , &\qquad \frac{1}{V} \frac{\partial N'}{\partial \tau} &= \frac{\partial X'}{\partial \eta} - \frac{\partial Y'}{\partial \xi} . \end{aligned}$$$V$Speed of light$X^{\prime }$Electric field, moving system$\tau$Time in the moving system$N^{\prime }$Magnetic field, moving system$\eta$Position in the moving system$M^{\prime }$Magnetic field, moving system$\zeta$Position in the moving system$L^{\prime }$Magnetic field, moving system$Y^{\prime }$Electric field, moving system$Z^{\prime }$Electric field, moving system$\xi$Position in the moving systemExplain this equation Show English translation

[p. 908]Align sentencesOffenbar müssen nun die beiden für das System $k$ gefundenen Gleichungssysteme genau dasselbe ausdrücken, da beide Gleichungssysteme den Maxwell-Hertzschen Gleichungen für das System $K$ äquivalent sind. Show English translationDa die Gleichungen beider Systeme ferner bis auf die die Vektoren darstellenden Symbole übereinstimmen, so folgt, daß die in den Gleichungssystemen an entsprechenden Stellen auftretenden Funktionen bis auf einen für alle Funktionen des einen Gleichungssystems gemeinsamen, von $\xi$, $\eta$, $\zeta$ und $\tau$ unabhängigen, eventuell von $v$ abhängigen Faktor $\psi(v)$ übereinstimmen müssen. Show English translationEs gelten also die Beziehungen:$$\begin{aligned} X' &= \psi(v) X , &\qquad L' &= \psi(v) L , \\ Y' &= \psi(v) \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , &\qquad M' &= \psi(v) \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right) , \\ Z' &= \psi(v) \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) , &\qquad N' &= \psi(v) \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right) . \end{aligned}$$$X^{\prime }$Electric field, moving system$\psi$Unknown scale factor: psi(v)$v$Speed of the moving system$X$Electric field, stationary system$L^{\prime }$Magnetic field, moving system$L$Magnetic field, stationary system$Y^{\prime }$Electric field, moving system$\beta$Lorentz factor$Y$Electric field, stationary system$V$Speed of light$N$Magnetic field, stationary system$M^{\prime }$Magnetic field, moving system$M$Magnetic field, stationary system$Z$Electric field, stationary system$Z^{\prime }$Electric field, moving system$N^{\prime }$Magnetic field, moving systemExplain this equation Show English translation

[p. 909]Align sentencesBildet man nun die Umkehrung dieses Gleichungssystems, erstens durch Auflösen der soeben erhaltenen Gleichungen, zweitens durch Anwendung der Gleichungen auf die inverse Transformation (von $k$ auf $K$), welche durch die Geschwindigkeit $-v$ charakterisiert ist, so folgt, indem man berücksichtigt, daß die beiden so erhaltenen Gleichungssysteme identisch sein müssen:$$\varphi(v) \cdot \varphi(-v) = 1 .$$$\phi$Unknown scale factor: psi(v)$v$Speed of the moving systemExplain this equation Show English translationFerner folgt aus Symmetriegründen^[1)]$$\varphi(v) = \varphi(-v) ;$$$\phi$Unknown scale factor: psi(v)$v$Speed of the moving systemExplain this equation es ist also$$\varphi(v) = 1 ,$$$\phi$Unknown scale factor: psi(v)$v$Speed of the moving systemExplain this equation und unsere Gleichungen nehmen die Form an:$$\begin{aligned} X' &= X , &\qquad L' &= L , \\ Y' &= \beta \left( Y - \frac{v}{V} N \right) , &\qquad M' &= \beta \left( M + \frac{v}{V} Z \right) , \\ Z' &= \beta \left( Z + \frac{v}{V} M \right) , &\qquad N' &= \beta \left( N - \frac{v}{V} Y \right) . \end{aligned}$$$X^{\prime }$Electric field, moving system$X$Electric field, stationary system$L^{\prime }$Magnetic field, moving system$L$Magnetic field, stationary system$Y^{\prime }$Electric field, moving system$\beta$Lorentz factor$Y$Electric field, stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$N$Magnetic field, stationary system$M^{\prime }$Magnetic field, moving system$M$Magnetic field, stationary system$Z$Electric field, stationary system$Z^{\prime }$Electric field, moving system$N^{\prime }$Magnetic field, moving systemExplain this equation Show English translationZur Interpretation dieser Gleichungen bemerken wir folgendes. Show English translationEs liegt eine punktförmige Elektrizitätsmenge vor, welche im ruhenden System $K$ gemessen von der Größe „eins“ sei, d. h. im ruhenden System ruhend auf eine gleiche Elektrizitätsmenge im Abstand 1 cm die Kraft 1 Dyn ausübe. Show English translationNach dem Relativitätsprinzip ist diese elektrische Masse auch im bewegten System gemessen von der Größe „eins“. Show English translationRuht diese Elektrizitätsmenge relativ zum ruhenden System, so ist definitionsgemäß der Vektor $(X, Y, Z)$ gleich der auf sie wirkenden Kraft. Show English translationRuht die Elektrizitätsmenge gegenüber dem bewegten System (wenigstens in dem betreffenden Augenblick), so ist die auf sie wirkende, in dem bewegten System gemessene Kraft gleich dem Vektor $(X', Y', Z')$. Show English translationDie ersten drei der obigen Gleichungen lassen sich mithin auf folgende zwei Weisen in Worte kleiden: Show English translation

[pp. 909–910]Align sentences1. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde bewegt, so wirkt auf ihn außer der elektrischen Kraft eine „elektromotorische Kraft“, welche unter Vernachlässigung von mit der zweiten und höheren Potenzen von $v/V$ multiplizierten Gliedern gleich ist dem mit der Lichtgeschwindigkeit dividierten Vektorprodukt der Bewegungsgeschwindigkeit des Einheitspoles und der magnetischen Kraft. (Alte Ausdrucksweise.) Show English translation

[p. 910]Align sentences2. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem elektromagnetischen Felde bewegt, so ist die auf ihn wirkende Kraft gleich der an dem Orte des Einheitspoles vorhandenen elektrischen Kraft, welche man durch Transformation des Feldes auf ein relativ zum elektrischen Einheitspol ruhendes Koordinatensystem erhält. (Neue Ausdrucksweise.) Show English translation

[p. 910]Align sentencesAnaloges gilt über die „magnetomotorischen Kräfte“. Show English translationMan sieht, daß in der entwickelten Theorie die elektromotorische Kraft nur die Rolle eines Hilfsbegriffes spielt, welcher seine Einführung dem Umstande verdankt, daß die elektrischen und magnetischen Kräfte keine von dem Bewegungszustande des Koordinatensystems unabhängige Existenz besitzen. Show English translation

[p. 910]Align sentencesEs ist ferner klar, daß die in der Einleitung angeführte Asymmetrie bei der Betrachtung der durch Relativbewegung eines Magneten und eines Leiters erzeugten Ströme verschwindet. Show English translationAuch werden die Fragen nach dem „Sitz“ der elektrodynamischen elektromotorischen Kräfte (Unipolarmaschinen) gegenstandslos. Show English translation