Parallel edition

On a Heuristic Point of View Concerning the Generation and Transformation of Light

By A. Einstein · Annalen der Physik (4) 17, 132–148 (1905).

Deutsch

English

Deutsch

English

by A. Einstein

Deutsch

[p. 140]§ 5. Molekulartheoretische Untersuchung der Abhängigkeit der Entropie von Gasen und verdünnten Lösungen vom Volumen.

English

§ 5. Molecular-theoretical investigation of the dependence of the entropy of gases and dilute solutions on the volume.

Deutsch

[p. 140]Bei Berechnung der Entropie auf molekulartheoretischem Wege wird häufig das Wort „Wahrscheinlichkeit“ in einer Bedeutung angewendet, die sich nicht mit der Definition der Wahrscheinlichkeit deckt, wie sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gegeben wird. Insbesondere werden die „Fälle gleicher Wahrscheinlichkeit“ häufig hypothetisch festgesetzt in Fällen, wo die angewendeten theoretischen Bilder bestimmt genug sind, um statt jener hypothetischen Festsetzung eine Deduktion zu geben. Ich will in einer besonderen Arbeit zeigen, daß man bei Betrachtungen über thermische Vorgänge mit der sogenannten „statistischen Wahrscheinlichkeit“ vollkommen auskommt und hoffe dadurch eine logische Schwierigkeit zu beseitigen, welche der Durchführung des Boltzmannschen Prinzips noch im Wege steht. Hier aber soll nur dessen allgemeine Formulierung und dessen Anwendung auf ganz spezielle Fälle gegeben werden.

English

In calculating entropy by molecular-theoretical methods, the word “probability” is often used in a sense that does not coincide with the definition of probability as it is given in the calculus of probabilities. In particular, the “cases of equal probability” are often fixed hypothetically in cases where the theoretical pictures used are definite enough to give a deduction in place of that hypothetical stipulation. I shall show in a separate paper that in considerations of thermal processes one manages completely with the so-called “statistical probability”, and I hope thereby to remove a logical difficulty that still stands in the way of carrying through Boltzmann’s principle. Here, however, only its general formulation and its application to quite special cases will be given.

Deutsch

[pp. 140–141]Wenn es einen Sinn hat, von der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes eines Systems zu reden, wenn ferner jede Entropiezunahme als ein Übergang zu einem wahrscheinlicheren Zustande aufgefaßt werden kann, so ist die Entropie $S_1$ eines Systems eine Funktion der Wahrscheinlichkeit $W_1$ seines momentanen Zustandes. Liegen also zwei nicht miteinander in Wechselwirkung stehende Systeme $S_1$ und $S_2$ vor, so kann man setzen: $\begin{aligned} S_1 &= \varphi_1(W_1), \\ S_2 &= \varphi_2(W_2). \end{aligned}$ EntropyEntropyProbability of the configurationEntropyEntropyProbability of the configurationExplain this equation Betrachtet man diese beiden Systeme als ein einziges System von der Entropie $S$ und der Wahrscheinlichkeit $W$ , so ist: $S = S_1 + S_2 = \varphi(W)$ EntropyEntropyEntropyEntropyProbability of the configurationExplain this equation und $W = W_1 \cdot W_2.$ Probability of the configurationProbability of the configurationProbability of the configurationExplain this equation Die letztere Beziehung sagt aus, daß die Zustände der beiden Systeme voneinander unabhängige Ereignisse sind.

English

If it makes sense to speak of the probability of a state of a system, and if, further, every increase in entropy can be conceived as a transition to a more probable state, then the entropy $S_1$ of a system is a function of the probability $W_1$ of its momentary state. If, therefore, two systems $S_1$ and $S_2$ are given that do not interact with each other, one can set: $\begin{aligned} S_1 &= \varphi_1(W_1), \\ S_2 &= \varphi_2(W_2). \end{aligned}$ EntropyEntropyProbability of the configurationEntropyEntropyProbability of the configurationExplain this equation If one regards these two systems as a single system of entropy $S$ and probability $W$ , then we have: $S = S_1 + S_2 = \varphi(W)$ EntropyEntropyEntropyEntropyProbability of the configurationExplain this equation and $W = W_1 \cdot W_2.$ Probability of the configurationProbability of the configurationProbability of the configurationExplain this equation The latter relation says that the states of the two systems are events independent of each other.

Deutsch

[p. 141]Aus diesen Gleichungen folgt: $\varphi(W_1 \cdot W_2) = \varphi_1(W_1) + \varphi_2(W_2)$ EntropyProbability of the configurationProbability of the configurationEntropyEntropyExplain this equation und hieraus endlich $\begin{aligned} \varphi_1(W_1) &= C \lg(W_1) + \text{konst.}, \\ \varphi_2(W_2) &= C \lg(W_2) + \text{konst.}, \\ \varphi(W) &= C \lg(W) + \text{konst.} \end{aligned}$ EntropyProbability of the configurationUniversal entropy constantEntropyProbability of the configurationEntropyProbability of the configurationExplain this equation Die Größe $C$ ist also eine universelle Konstante; sie hat, wie aus der kinetischen Gastheorie folgt, den Wert $R/N$ , wobei den Konstanten $R$ und $N$ dieselbe Bedeutung wie oben beizulegen ist. Bedeutet $S_0$ die Entropie bei einem gewissen Anfangszustande eines betrachteten Systems und $W$ die relative Wahrscheinlichkeit eines Zustandes von der Entropie $S$ , so erhalten wir also allgemein: $S - S_0 = \frac{R}{N} \lg W.$ EntropyEntropyGas constantAvogadro's numberProbability of the configurationExplain this equation

English

From these equations it follows: $\varphi(W_1 \cdot W_2) = \varphi_1(W_1) + \varphi_2(W_2)$ EntropyProbability of the configurationProbability of the configurationEntropyEntropyExplain this equation and from this, finally, $\begin{aligned} \varphi_1(W_1) &= C \lg(W_1) + \text{konst.}, \\ \varphi_2(W_2) &= C \lg(W_2) + \text{konst.}, \\ \varphi(W) &= C \lg(W) + \text{konst.} \end{aligned}$ EntropyProbability of the configurationUniversal entropy constantEntropyProbability of the configurationEntropyProbability of the configurationExplain this equation The quantity $C$ is therefore a universal constant; as follows from the kinetic theory of gases, it has the value $R/N$ , where the constants $R$ and $N$ are to be given the same meaning as above. If $S_0$ denotes the entropy in a certain initial state of a system under consideration and $W$ the relative probability of a state of entropy $S$ , we thus obtain in general: $S - S_0 = \frac{R}{N} \lg W.$ EntropyEntropyGas constantAvogadro's numberProbability of the configurationExplain this equation

Deutsch

[p. 141]Wir behandeln zunächst folgenden Spezialfall. In einem Volumen $v_0$ sei eine Anzahl $(n)$ beweglicher Punkte (z. B. Moleküle) vorhanden, auf welche sich unsere Überlegung beziehen soll. Außer diesen können in dem Raume noch beliebig viele andere bewegliche Punkte irgendwelcher Art vorhanden sein. Über das Gesetz, nach dem sich die betrachteten Punkte in dem Raume bewegen, sei nichts vorausgesetzt, als daß in bezug auf diese Bewegung kein Raumteil (und keine Richtung) von den anderen ausgezeichnet sei. Die Anzahl der betrachteten (ersterwähnten) beweglichen Punkte sei ferner so klein, daß von einer Wirkung der Punkte aufeinander abgesehen werden kann.

English

We first treat the following special case. In a volume $v_0$ let there be a number $(n)$ of movable points (e.g., molecules) to which our consideration is to refer. Besides these, arbitrarily many other movable points of any kind may be present in the space. About the law by which the points under consideration move in the space, nothing is presupposed except that, with respect to this motion, no part of the space (and no direction) is distinguished from the others. Further, let the number of the (first-mentioned) movable points under consideration be so small that any action of the points on one another can be disregarded.

Deutsch

[p. 141]Dem betrachteten System, welches z. B. ein ideales Gas oder eine verdünnte Lösung sein kann, kommt eine gewisse Entropie $S_0$ zu. Wir denken uns einen Teil des Volumens $v_0$ von der Größe $v$ und alle $n$ beweglichen Punkte in das Volumen $v$ versetzt, ohne daß an dem System sonst etwas geändert wird. Diesem Zustand kommt offenbar ein anderer Wert der Entropie $(S)$ zu, und wir wollen nun die Entropiedifferenz mit Hilfe des Boltzmannschen Prinzips bestimmen.

English

The system under consideration, which may be, e.g., an ideal gas or a dilute solution, has a certain entropy $S_0$ . We imagine a part of the volume $v_0$ of size $v$ , and all $n$ movable points transferred into the volume $v$ , without anything else in the system being changed. To this state there evidently belongs a different value of the entropy $(S)$ , and we now want to determine the difference in entropy with the help of Boltzmann’s principle.

Deutsch

[p. 142]Wir fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des letzterwähnten Zustandes relativ zum ursprünglichen? Oder: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich in einem zufällig herausgegriffenen Zeitmoment alle $n$ in einem gegebenen Volumen $v_0$ unabhängig voneinander beweglichen Punkte (zufällig) in dem Volumen $v$ befinden?

English

We ask: How large is the probability of the last-mentioned state relative to the original one? Or: How large is the probability that at a randomly chosen instant of time all $n$ points movable independently of one another in a given volume $v_0$ are (by chance) in the volume $v$ ?

Deutsch

[p. 142]Für diese Wahrscheinlichkeit, welche eine „statistische Wahrscheinlichkeit“ ist, erhält man offenbar den Wert: $W = \left( \frac{v}{v_0} \right)^n ;$ Probability of the configurationVolumeVolumeNumber of independent pointsExplain this equation man erhält hieraus durch Anwendung des Boltzmannschen Prinzipes: $S - S_0 = R \left( \frac{n}{N} \right) \lg \left( \frac{v}{v_0} \right).$ EntropyEntropyGas constantNumber of independent pointsAvogadro's numberVolumeVolumeExplain this equation

English

For this probability, which is a “statistical probability”, one evidently obtains the value: $W = \left( \frac{v}{v_0} \right)^n ;$ Probability of the configurationVolumeVolumeNumber of independent pointsExplain this equation from this one obtains, by applying Boltzmann’s principle: $S - S_0 = R \left( \frac{n}{N} \right) \lg \left( \frac{v}{v_0} \right).$ EntropyEntropyGas constantNumber of independent pointsAvogadro's numberVolumeVolumeExplain this equation

Deutsch

[p. 142]Es ist bemerkenswert, daß man zur Herleitung dieser Gleichung, aus welcher das Boyle-Gay-Lussacsche Gesetz und das gleichlautende Gesetz des osmotischen Druckes leicht thermodynamisch ableiten kann^[1)]; keine Voraussetzung über das Gesetz zu machen braucht, nachdem sich die Moleküle bewegen.

English

It is remarkable that in deriving this equation, from which the Boyle-Gay-Lussac law and the law of the same form for osmotic pressure can easily be derived thermodynamically^[1)]; one need make no assumption about the law according to which the molecules move.

Deutsch

[p. 148]

Bern, den 17. März 1905.

English

Bern, 17 March 1905.

Deutsch

[p. 148]

(Eingegangen 18. März 1905.)

English

(Received 18 March 1905.)

Fußnoten

Deutsch

1) Ist $E$ die Energie des Systems, so erhält man: $- d(E - T S) = p d v = T d S = R \frac{n}{N} \frac{d v}{v} ;$ System energyTemperature of the radiationEntropyGas pressureVolumeGas constantNumber of independent pointsAvogadro's numberExplain this equationSo printed. Read: - d(E - T S) = p d v = T d S = R (n/N) T (d v / v). The chain equates three energies and then an entropy. The record in the correction log also $p v = R \frac{n}{N} T.$ Gas pressureVolumeGas constantNumber of independent pointsAvogadro's numberTemperature of the radiationExplain this equation ↩

English

- d(E - T S) = p d v = T d S = R \frac{n}{N} \frac{d v}{v} ;

System energyTemperature of the radiationEntropyGas pressureVolumeGas constantNumber of independent pointsAvogadro's numberExplain this equation

p v = R \frac{n}{N} T.

Gas pressureVolumeGas constantNumber of independent pointsAvogadro's numberTemperature of the radiationExplain this equation

[p. 140]§ 5. Molekulartheoretische Untersuchung der Abhängigkeit der Entropie von Gasen und verdünnten Lösungen vom Volumen.

§ 5. Molecular-theoretical investigation of the dependence of the entropy of gases and dilute solutions on the volume.Show the German source

Fußnoten

§ 5. Molecular-theoretical investigation of the dependence of the entropy of gases and dilute solutions on the volume.