Annus MirabilisEinstein in 1905
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Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt

Light quanta: from entropy to an energy scale

[p. 140]§ 5. Molekulartheoretische Untersuchung der Abhängigkeit der Entropie von Gasen und verdünnten Lösungen vom Volumen.

§ 5.§ 5Molekulartheoretischemolecular-theoreticalUntersuchunginvestigationderof theAbhängigkeitdependencederof theEntropieentropyvonofGasengasesundandverdünntendiluteLösungensolutionsvomon theVolumen.volume
[p. 140]
BeiinBerechnungcalculatingderof theEntropieentropyaufbymolekulartheoretischemmolecular-theoreticalWegemeanswirdishäufigoftendastheWortword„Wahrscheinlichkeit“probabilityinineineraBedeutungsenseangewendet,useddiewhichsichcoincidesnichtnotmitwithdertheDefinitiondefinitionderofWahrscheinlichkeitprobabilitydeckt,↳wieassieitinindertheWahrscheinlichkeitsrechnungcalculus of probabilitiesgegebengivenwird.is
Insbesonderein particularwerdenarediethe„Fällecases of equal probabilitygleicher↳Wahrscheinlichkeit“↳häufigoftenhypothetischhypotheticallyfestgesetztfixedininFällen,caseswowheredietheangewendetenusedtheoretischentheoreticalBilderpicturesbestimmtdefinitegenugenoughsind,areumin order tostattinstead ofjenerthathypothetischenhypotheticalFestsetzungstipulationeineaDeduktiondeductionzu↳geben.give
IchIwillshallinineinerabesonderenseparateArbeitpaperzeigen,showdaßthatmanonebeiinBetrachtungenconsiderationsüberofthermischethermalVorgängeprocessesmitmanages withderthesogenanntenso-called„statistischenstatistical probabilityWahrscheinlichkeit“↳vollkommencompletelyauskommt↳undandhoffehopedadurchtherebyeinealogischelogicalSchwierigkeitdifficultyzutobeseitigen,removewelchewhichdertheDurchführungcarrying throughdesof theBoltzmannschenBoltzmann’sPrinzipsprinciplenochstillimstands in the wayWege↳steht.↳
Hierhereaberhoweversollis tonuronlydessenitsallgemeinegeneralFormulierungformulationundanddessenitsAnwendungapplicationauftoganzquitespeziellespecialFällecasesgegebengivenwerden.be
[pp. 140–141]
Wennifesiteinenmakes senseSinn↳hat,↳vonofdertheWahrscheinlichkeitprobabilityeinesof aZustandesstateeinesof aSystemssystemzutoreden,speakwenniffernerfurtherjedeeveryEntropiezunahmeincrease in entropyalsaseinaÜbergangtransitionzutoeinemawahrscheinlicherenmore probableZustandestateaufgefaßtconceivedwerdenbekann,cansothenistisdietheEntropieentropyS1S_1einesof aSystemssystemeineaFunktionfunctionderof theWahrscheinlichkeitprobabilityW1W_1seinesof itsmomentanenmomentaryZustandes.state
Liegenif there are givenalsothereforezweitwonichtnotmiteinanderwith each otherininteractingWechselwirkung↳stehende↳SystemesystemsS1S_1undandS2S_2vor,↳sothenkanncanmanonesetzen:set
[p. 140]
S1=φ1(W1),S2=φ2(W2).\begin{aligned} S_1 &= \varphi_1(W_1), \\ S_2 &= \varphi_2(W_2). \end{aligned}
Explain this equation
BetrachtetregardsmanonediesethesebeidentwoSystemesystemsalsaseinaeinzigessingleSystemsystemvonofdertheEntropieentropySSundanddertheWahrscheinlichkeitprobabilityWW,sothenist:isundand
DietheletzterelatterBeziehungrelationsagtsaysaus,↳daßthatdietheZuständestatesderof thebeidentwoSystemesystemsvoneinanderof each otherunabhängigeindependentEreignisseeventssind.are
[p. 141]
AusfromdiesentheseGleichungenequationsfolgt:followsundandhierausfrom thisendlichfinally
[p. 141]
φ(W1⋅W2)=φ1(W1)+φ2(W2)\varphi(W_1 \cdot W_2) = \varphi_1(W_1) + \varphi_2(W_2)
Explain this equation
[p. 141]
φ1(W1)=Clg⁡(W1)+konst.,φ2(W2)=Clg⁡(W2)+konst.,φ(W)=Clg⁡(W)+konst.\begin{aligned} \varphi_1(W_1) &= C \lg(W_1) + \text{konst.}, \\ \varphi_2(W_2) &= C \lg(W_2) + \text{konst.}, \\ \varphi(W) &= C \lg(W) + \text{konst.} \end{aligned}
Explain this equation
DietheGrößequantityCCistisalsothereforeeineauniverselleuniversalKonstante;constantsieithat,haswieasausfromderthekinetischenkineticGastheorietheory of gasesfolgt,followsdentheWertvalueR/NR/N,wobeiwheredento theKonstantenconstantsRRundandNNdieselbethe sameBedeutungmeaningwieasobenabovebeizulegenis to be givenist.↳
BedeutetdenotesS0S_0dietheEntropieentropybeiineinemagewissencertainAnfangszustandeinitial stateeinesof abetrachtetenunder considerationSystemssystemundandWWdietherelativerelativeWahrscheinlichkeitprobabilityeinesof aZustandesstatevonofdertheEntropieentropySS,sothenerhaltenobtainwirwealsothusallgemein:in general
[p. 141]
Wirwebehandelntreatzunächstfirstfolgendenthe followingSpezialfall.special case
InineinemaVolumenvolumev0v_0seilet there be present[supposition]eineaAnzahlnumber(n)(n)beweglicherof movablePunktepoints(z. B.e.g.Moleküle)moleculesvorhanden,↳[supposition]aufrefer towelchewhichsich↳unsereourÜberlegungconsiderationbeziehen↳soll.is to
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. sei vorhanden (let there be present) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: sei ... vorhanden, ‘let there be present’: the model is supposed, not described
AußerbesidesdiesenthesekönnenmayinindemtheRaumespacenochalsobeliebigarbitrarilyvielemanyandereotherbeweglichemovablePunktepointsirgendwelcherof anyArtkindvorhandenpresentsein.be
ÜberaboutdastheGesetz,lawnachbydemwhichsichmovediethebetrachtetenconsideredPunktepointsinindemtheRaumespacebewegen,↳seilet be presupposed[supposition]nichtsnothingvorausgesetzt,↳[supposition]alsexcept thatdaß↳inwith respect tobezug↳auf↳diesethisBewegungmotionkeinnoRaumteilpart of the space(undandkeinenoRichtung)directionvonfromdentheanderenothersausgezeichnetdistinguishedsei.is[supposition]
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. sei vorausgesetzt (let be presupposed) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: sei ... vorausgesetzt, ‘let (nothing) be presupposed’: the argument assumes no law of motion
  2. sei (is) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: ausgezeichnet sei, ‘is distinguished’, part of what is assumed
DietheAnzahlnumberderof thebetrachtetenunder consideration(ersterwähnten)first-mentionedbeweglichenmovablePunktepointsseibe[supposition]fernerfurthersoso ... thatklein,smalldaß↳vondisregardedeineranWirkungactionderof thePunktepointsaufeinanderon one anotherabgesehen↳werdenbekann.can
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. sei (be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: sei ... so klein, ‘let (the number) be so small’: supposed for the argument
[p. 141]
Demto thebetrachtetenunder considerationSystem,systemwelcheswhichz. B.e.g.einanidealesidealGasgasoderoreineaverdünntediluteLösungsolutionseinbekann,maykommtbelongseineagewissecertainEntropieentropyS0S_0zu.↳
Wirwedenkenimagineuns↳einenaTeilpartdesof theVolumensvolumev0v_0vonofdertheGrößesizevvundandalleallnnbeweglichenmovablePunktepointsinintodastheVolumenvolumevvversetzt,transferredohnewithoutdaß↳anindemtheSystemsystemsonstelseetwasanythinggeändertchangedwird.is
Diesemto thisZustandstatekommtbelongsoffenbarevidentlyeinaandererdifferentWertvaluederof theEntropieentropy(S)(S)zu,↳undandwirwewollenwantnunnowdietheEntropiedifferenzdifference in entropymitwith the helpHilfe↳desofBoltzmannschenBoltzmann’sPrinzipsprinciplebestimmen.determine
[p. 142]
Wirwefragen:askWiehowgroßlargeistisdietheWahrscheinlichkeitprobabilitydesof theletzterwähntenlast-mentionedZustandesstaterelativrelativezumto theursprünglichen?original (one)
Oder:orWiehowgroßlargeistisdietheWahrscheinlichkeitprobabilitydafür,thatdaß↳sichare (located)inateinemazufälligrandomlyherausgegriffenenchosenZeitmomentinstant of timealleallnninineinemagegebenengivenVolumenvolumev0v_0unabhängigindependentlyvoneinanderof one anotherbeweglichenmovablePunktepoints(zufällig)by chanceinindemtheVolumenvolumevvbefinden?↳
[p. 142]
FürfordiesethisWahrscheinlichkeit,probabilitywelchewhicheinea„statistischestatistical probabilityWahrscheinlichkeit“↳ist,iserhältobtainsmanoneoffenbarevidentlydentheWert:valuemanoneerhältobtainshierausfrom thisdurchbyAnwendungapplyingdesof theBoltzmannschenBoltzmann’sPrinzipes:principle
[p. 142]
S−S0=R(nN)lg⁡(vv0).S - S_0 = R \left( \frac{n}{N} \right) \lg \left( \frac{v}{v_0} \right).
Explain this equation
[p. 142]
Esitistisbemerkenswert,remarkabledaßthatmanonezurin theHerleitungderivingdieserof thisGleichung,equationausfromwelcherwhichdastheBoyle-Gay-LussacscheBoyle-Gay-LussacGesetzlawundanddasthegleichlautendeof the same formGesetzlawdesof theosmotischenosmoticDruckespressureleichteasilythermodynamischthermodynamicallyableitenderivekann;cankeinenoVoraussetzungassumptionüberaboutdastheGesetzlawzuneed makemachen↳braucht,↳nachdemaccording to whichsichmovedietheMolekülemoleculesbewegen.↳

Footnotes

  1. 1)
    IstisEEdietheEnergieenergydesof theSystems,systemsothenerhältobtainsman:onealsohence