On a Heuristic Point of View Concerning the Generation and Transformation of Light

[p. 132]Align sentencesZwischen den theoretischen Vorstellungen, welche sich die Physiker über die Gase und andere ponderable Körper gebildet haben, und der Maxwellschen Theorie der elektromagnetischen Prozesse im sogenannten leeren Raume besteht ein tiefgreifender formaler Unterschied. Show English translationWährend wir uns nämlich den Zustand eines Körpers durch die Lagen und Geschwindigkeiten einer zwar sehr großen, jedoch endlichen Anzahl von Atomen und Elektronen für vollkommen bestimmt ansehen, bedienen wir uns zur Bestimmung des elektromagnetischen Zustandes eines Raumes kontinuierlicher räumlicher Funktionen, so daß also eine endliche Anzahl von Größen nicht als genügend anzusehen ist zur vollständigen Festlegung des elektromagnetischen Zustandes eines Raumes. Show English translationNach der Maxwellschen Theorie ist bei allen rein elektromagnetischen Erscheinungen, also auch beim Licht, die Energie als kontinuierliche Raumfunktion aufzufassen, während die Energie eines ponderabeln Körpers nach der gegenwärtigen Auffassung der Physiker als eine über die Atome und Elektronen erstreckte Summe darzustellen ist. Show English translationDie Energie eines ponderabeln Körpers kann nicht in beliebig viele, beliebig kleine Teile zerfallen, während sich die Energie eines von einer punktförmigen Lichtquelle ausgesandten Lichtstrahles nach der Maxwellschen Theorie (oder allgemeiner nach jeder Undulationstheorie) des Lichtes auf ein stets wachsendes Volumen sich kontinuierlich verteilt. Show English translation

[pp. 132–133]Align sentencesDie mit kontinuierlichen Raumfunktionen operierende Undulationstheorie des Lichtes hat sich zur Darstellung der rein optischen Phänomene vortrefflich bewährt und wird wohl nie durch eine andere Theorie ersetzt werden. Show English translationEs ist jedoch im Auge zu behalten, daß sich die optischen Beobachtungen auf zeitliche Mittelwerte, nicht aber auf Momentanwerte beziehen, und es ist trotz der vollständigen Bestätigung der Theorie der Beugung, Reflexion, Brechung, Dispersion etc. durch das Experiment wohl denkbar, daß die mit kontinuierlichen Raumfunktionen operierende Theorie des Lichtes zu Widersprüchen mit der Erfahrung führt, wenn man sie auf die Erscheinungen der Lichterzeugung und Lichtverwandlung anwendet. Show English translation

[p. 133]Align sentencesEs scheint mir nun in der Tat, daß die Beobachtungen über die „schwarze Strahlung“, Photolumineszenz, die Erzeugung von Kathodenstrahlen durch ultraviolettes Licht und andere die Erzeugung bez. Verwandlung des Lichtes betreffende Erscheinungsgruppen besser verständlich erscheinen unter der Annahme, daß die Energie des Lichtes diskontinuierlich im Raume verteilt sei. Show English translationNach der hier ins Auge zu fassenden Annahme ist bei Ausbreitung eines von einem Punkte ausgehenden Lichtstrahles die Energie nicht kontinuierlich auf größer und größer werdende Räume verteilt, sondern es besteht dieselbe aus einer endlichen Zahl von in Raumpunkten lokalisierten Energiequanten, welche sich bewegen, ohne sich zu teilen und nur als Ganze absorbiert und erzeugt werden können. Show English translation

[p. 133]Align sentencesIm folgenden will ich den Gedankengang mitteilen und die Tatsachen anführen, welche mich auf diesen Weg geführt haben, in der Hoffnung, daß der darzulegende Gesichtspunkt sich einigen Forschern bei ihren Untersuchungen als brauchbar erweisen möge. Show English translation

[p. 133]§ 1. Über eine die Theorie der „schwarzen Strahlung“ betreffende Schwierigkeit.

[pp. 133–134]Align sentencesWir stellen uns zunächst auf den Standpunkt der Maxwellschen Theorie und Elektronentheorie und betrachten folgenden Fall. Show English translationIn einem von vollkommen reflektierenden Wänden eingeschlossenen Raumes befinde sich eine Anzahl Gasmoleküle und Elektronen, welche freibeweglich sind und aufeinander konservative Kräfte ausüben, wenn sie einander sehr nahe kommen, d. h. miteinander wie Gasmoleküle nach der kinetischen Gastheorie zusammenstoßen können.^[1)] Show English translationEine Anzahl Elektronen sei ferner an voneinander weit entfernte Punkte des Raumes gekettet durch nach diesen Punkten gerichtete, den Elongationen proportionale Kräfte. Show English translationAuch diese Elektronen sollen mit den freien Molekülen und Elektronen in konservative Wechselwirkung treten, wenn ihnen letztere sehr nahe kommen. Show English translationWir nennen die an Raumpunkte geketteten Elektronen „Resonatoren“; sie senden elektromagnetische Wellen bestimmter Periode aus und absorbieren solche. Show English translation

[p. 134]Align sentencesNach der gegenwärtigen Ansicht über die Entstehung des Lichtes müßte die Strahlung im betrachteten Raume, welche unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie für den Fall des dynamischen Gleichgewichtes gefunden wird, mit der „schwarzen Strahlung“ identisch sein — wenigstens wenn Resonatoren aller in Betracht zu ziehenden Frequenzen als vorhanden angesehen werden. Show English translation

[pp. 134–135]Align sentencesWir sehen vorläufig von der von den Resonatoren emittierten und absorbierten Strahlung ab und fragen nach der der Wechselwirkung (den Zusammenstößen) von Molekülen und Elektronen entsprechenden Bedingung für das dynamische Gleichgewicht. Show English translationDie kinetische Gastheorie liefert für letzteres die Bedingung, daß die mittlere lebendige Kraft eines Resonatorelektrons gleich der mittleren kinetischen Energie der fortschreitenden Bewegung eines Gasmoleküles sein muß. Show English translationZerlegen wir die Bewegung des Resonatorelektrons in drei aufeinander senkrechte Schwingungsbewegungen, so finden wir für den Mittelwert $\overline{E}$ der Energie einer solchen geradlinigen Schwingungsbewegung$$\overline{E} = \frac{R}{N} T,$$$\overline{E}$Mean resonator energy$R$Gas constant$N$Avogadro's number$T$Temperature of the radiationExplain this equation wobei $R$ die absolute Gaskonstante, $N$ die Anzahl der „wirklichen Moleküle“ in einem Grammäquivalent und $T$ die absolute Temperatur bedeutet. Show English translationDie Energie $\overline{E}$ ist nämlich wegen der Gleichheit der zeitlichen Mittelwerte von kinetischer und potentieller Energie des Resonators $2/3$ mal so groß wie die lebendige Kraft eines freien, einatomigen Gasmoleküles. Show English translationWürde nun durch irgend eine Ursache — in unserem Falle durch Strahlungsvorgänge — bewirkt, daß die Energie eines Resonators einen größeren oder kleineren zeitlichen Mittelwert als $\overline{E}$ besitzt, so würden die Zusammenstöße mit den freien Elektronen und Molekülen zu einer im Mittel von Null verschiedenen Energieabgabe an das Gas bez. Energieaufnahme von dem Gas führen. Show English translationEs ist also in dem von uns betrachteten Falle dynamisches Gleichgewicht nur dann möglich, wenn jeder Resonator die mittlere Energie $\overline{E}$ besitzt. Show English translation

[p. 135]Align sentencesEine ähnliche Überlegung machen wir jetzt bezüglich der Wechselwirkung der Resonatoren und der im Raume vorhandenen Strahlung. Show English translationHr. Planck hat für diesen Fall die Bedingung des dynamischen Gleichgewichtes abgeleitet^[1)] unter der Voraussetzung, daß die Strahlung als ein denkbar ungeordnetster Prozeß^[2)] betrachtet werden kann. Show English translationEr fand:$$\overline{E}_\nu = \frac{L^3}{8 \pi \nu^2} \varrho_\nu.$$${\overline{E}}_{\nu }$Mean resonator energy at a given frequency$L$Speed of light$\nu$Frequency of the light${\varrho }_{\nu }$Spectral energy densityExplain this equation Show English translation$\overline{E}_\nu$ ist hierbei die mittlere Energie eines Resonators von der Eigenfrequenz $\nu$ (pro Schwingungskomponente), $L$ die Lichtgeschwindigkeit, $\nu$ die Frequenz und $\varrho_\nu d \nu$ die Energie pro Volumeinheit desjenigen Teiles der Strahlung, dessen Schwingungszahl zwischen $\nu$ und $\nu + d \nu$ liegt. Show English translation

[p. 136]Align sentencesSoll die Strahlungsenergie von der Frequenz $\nu$ nicht beständig im Ganzen weder vermindert noch vermehrt werden, so muß gelten:$$\frac{R}{N} T = \overline{E} = \overline{E}_\nu = \frac{L^3}{8 \pi \nu^2} \varrho_\nu,$$$R$Gas constant$N$Avogadro's number$T$Temperature of the radiation$\overline{E}$Mean resonator energy${\overline{E}}_{\nu }$Mean resonator energy at a given frequency$L$Speed of light$\nu$Frequency of the light${\varrho }_{\nu }$Spectral energy densityExplain this equation$$\varrho_\nu = \frac{R}{N} \frac{8 \pi \nu^2}{L^3} T.$$${\varrho }_{\nu }$Spectral energy density$R$Gas constant$N$Avogadro's number$\nu$Frequency of the light$L$Speed of light$T$Temperature of the radiationExplain this equation Show English translationDiese als Bedingung des dynamischen Gleichgewichtes gefundene Beziehung entbehrt nicht nur der Übereinstimmung mit der Erfahrung, sondern sie besagt auch, daß in unserem Bilde von einer bestimmten Energieverteilung zwischen Äther und Materie nicht die Rede sein kann. Show English translationJe weiter nämlich der Schwingungszahlenbereich der Resonatoren gewählt wird, desto größer wird die Strahlungsenergie des Raumes, und wir erhalten in der Grenze$$\int_0^\infty \varrho_\nu d \nu = \frac{R}{N} \frac{8 \pi}{L^3} T \int_0^\infty \nu^2 d \nu = \infty.$$${\varrho }_{\nu }$Spectral energy density$\nu$Frequency of the light$R$Gas constant$N$Avogadro's number$L$Speed of light$T$Temperature of the radiationExplain this equation Show English translation

[p. 136]§ 2. Über die Plancksche Bestimmung der Elementarquanta.

[p. 136]Align sentencesWir wollen im folgenden zeigen, daß die von Hrn. Planck gegebene Bestimmung der Elementarquanta von der von ihm aufgestellten Theorie der „schwarzen Strahlung“ bis zu einem gewissen Grade unabhängig ist. Show English translation

[pp. 136–137]Align sentencesDie allen bisherigen Erfahrungen genügende Plancksche Formel^[1)] für $\varrho_\nu$ lautet$$\varrho_\nu = \frac{\alpha \nu^3}{e^{\frac{\beta \nu}{T}} - 1},$$${\varrho }_{\nu }$Spectral energy density$\alpha$Spectral constant A$\nu$Frequency of the light$\beta$Spectral constant B$T$Temperature of the radiationExplain this equation wobei$$\alpha = 6{,}10 \cdot 10^{-56},$$$\alpha$Spectral constant AExplain this equation$$\beta = 4{,}866 \cdot 10^{-11}.$$$\beta$Spectral constant BExplain this equation Show English translationFür große Werte von $T/\nu$, d. h. für große Wellenlängen und Strahlungsdichten geht diese Formel in der Grenze in folgende über:$$\varrho_\nu = \frac{\alpha}{\beta} \nu^2 T.$$${\varrho }_{\nu }$Spectral energy density$\alpha$Spectral constant A$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$T$Temperature of the radiationExplain this equation Show English translationMan erkennt, daß diese Formel mit der in § 1 aus der Maxwellschen und der Elektronentheorie entwickelten übereinstimmt. Show English translationDurch Gleichsetzung der Koeffizienten beider Formeln erhält man:$$\frac{R}{N} \frac{8 \pi}{L^3} = \frac{\alpha}{\beta}$$$R$Gas constant$N$Avogadro's number$L$Speed of light$\alpha$Spectral constant A$\beta$Spectral constant BExplain this equation oder$$N = \frac{\beta}{\alpha} \frac{8 \pi R}{L^3} = 6{,}17 \cdot 10^{23},$$$N$Avogadro's number$\beta$Spectral constant B$\alpha$Spectral constant A$R$Gas constant$L$Speed of lightExplain this equation d. h. ein Atom Wasserstoff wiegt $1/N$ Gramm $= 1{,}62 \cdot 10^{-24}$ g. Show English translationDies ist genau der von Hrn. Planck gefundene Wert, welcher mit den auf anderen Wegen gefundenen Werten für diese Größe befriedigend übereinstimmt. Show English translation

[p. 137]Align sentencesWir gelangen daher zu dem Schlusse: Je größer die Energiedichte und die Wellenlänge einer Strahlung ist, als um so brauchbarer erweisen sich die von uns benutzten theoretischen Grundlagen; für kleine Wellenlängen und kleine Strahlungsdichten aber versagen dieselben vollständig. Show English translation

[p. 137]Align sentencesIm folgenden soll die „schwarze Strahlung“ im Anschluß an die Erfahrung ohne Zugrundelegung eines Bildes über die Erzeugung und Ausbreitung der Strahlung betrachtet werden. Show English translation

[p. 137]§ 3. Über die Entropie der Strahlung.

[p. 137]Align sentencesDie folgende Betrachtung ist in einer berühmten Arbeit des Hrn. W. Wien enthalten und soll hier nur der Vollständigkeit halber Platz finden. Show English translation

[pp. 137–138]Align sentencesEs liege eine Strahlung vor, welche das Volumen $v$ einnehme. Show English translationWir nehmen an, daß die wahrnehmbaren Eigenschaften der vorliegenden Strahlung vollkommen bestimmt seien, wenn die Strahlungsdichte $\varrho(\nu)$ für alle Frequenzen gegeben ist.^[1)] Show English translationDa Strahlungen von verschiedenen Frequenzen als ohne Arbeitsleistung und ohne Wärmezufuhr voneinander trennbar anzusehen sind, so ist die Entropie der Strahlung in der Form$$S = v \int_0^\infty \varphi(\varrho, \nu) d \nu$$$S$Radiation entropy$v$Volume$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the lightExplain this equation darstellbar, wobei $\varphi$ eine Funktion der Variabeln $\varrho$ und $\nu$ bedeutet. Show English translationEs kann $\varphi$ auf eine Funktion von nur einer Variabeln reduziert werden durch Formulierung der Aussage, daß durch adiabatische Kompression einer Strahlung zwischen spiegelnden Wänden, deren Entropie nicht geändert wird. Show English translationWir wollen jedoch hierauf nicht eintreten, sondern sogleich untersuchen, wie die Funktion $\varphi$ aus dem Strahlungsgesetz des schwarzen Körpers ermittelt werden kann. Show English translation

[p. 138]Align sentencesBei der „schwarzen Strahlung“ ist $\varrho$ eine solche Funktion von $\nu$, daß die Entropie bei gegebener Energie ein Maximum ist, d. h. daß$$\delta \int_0^\infty \varphi(\varrho, \nu) d \nu = 0,$$$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the lightExplain this equation wenn$$\delta \int_0^\infty \varrho d \nu = 0.$$$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the lightExplain this equation Show English translationHieraus folgt, daß für jede Wahl des $\delta \varrho$ als Funktion von $\nu$$$\int_0^\infty \left( \frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} - \lambda \right) \delta \varrho d \nu = 0,$$$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\lambda$Lagrange multiplier$\nu$Frequency of the lightExplain this equation wobei $\lambda$ von $\nu$ unabhängig ist. Show English translationBei der schwarzen Strahlung ist also $\partial \varphi / \partial \varrho$ von $\nu$ unabhängig. Show English translation

[pp. 138–139]Align sentencesFür die Temperaturzunahme einer schwarzen Strahlung vom Volumen $v = 1$ um $d T$ gilt die Gleichung:$$d S = \int_{\nu = 0}^{\nu = \infty} \frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} d \varrho d \nu,$$$S$Radiation entropy$\nu$Frequency of the light$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy densityExplain this equation oder, da $\partial \varphi / \partial \varrho$ von $\nu$ unabhängig ist:$$d S = \frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} d E.$$$S$Radiation entropy$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$E$Radiation energy in the bandExplain this equation Show English translationDa $d E$ gleich der zugeführten Wärme und der Vorgang umkehrbar ist, so gilt auch:$$d S = \frac{1}{T} d E.$$$S$Radiation entropy$T$Temperature of the radiation$E$Radiation energy in the bandExplain this equation Show English translationDurch Vergleich erhält man:$$\frac{\partial \varphi}{\partial \varrho} = \frac{1}{T}.$$$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$T$Temperature of the radiationExplain this equation Show English translationDies ist das Gesetz der schwarzen Strahlung. Show English translationMan kann also aus der Funktion $\varphi$ das Gesetz der schwarzen Strahlung und umgekehrt aus letzterem die Funktion $\varphi$ durch Integration bestimmen mit Rücksicht darauf, daß $\varphi$ für $\varrho = 0$ verschwindet. Show English translation

[p. 139]§ 4. Grenzgesetz für die Entropie der monochromatischen Strahlung bei geringer Strahlungsdichte.

[p. 139]Align sentencesAus den bisherigen Beobachtungen über die „schwarze Strahlung“ geht zwar hervor, daß das ursprünglich von Hrn. W. Wien für die „schwarze Strahlung“ aufgestellte Gesetz$$\varrho = \alpha \nu^3 e^{-\beta \frac{\nu}{T}}$$$\varrho$Spectral energy density$\alpha$Spectral constant A$\nu$Frequency of the light$\beta$Spectral constant B$T$Temperature of the radiationExplain this equation nicht genau gültig ist. Show English translationDasselbe wurde aber für große Werte von $\nu/T$ sehr vollkommen durch das Experiment bestätigt. Show English translationWir legen diese Formel unseren Rechnungen zugrunde, behalten aber im Sinne, daß unsere Resultate nur innerhalb gewisser Grenzen gelten. Show English translation

[p. 139]Align sentencesAus dieser Formel ergibt sich zunächst:$$\frac{1}{T} = -\frac{1}{\beta \nu} \lg \frac{\varrho}{\alpha \nu^3}$$$T$Temperature of the radiation$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$\varrho$Spectral energy density$\alpha$Spectral constant AExplain this equation und weiter unter Benutzung der in dem vorigen Paragraphen gefundenen Beziehung:$$\varphi(\varrho, \nu) = -\frac{\varrho}{\beta \nu} \left\{ \lg \frac{\varrho}{\alpha \nu^3} - 1 \right\}.$$$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the light$\beta$Spectral constant B$\alpha$Spectral constant AExplain this equation Show English translationEs sei nun eine Strahlung von der Energie $E$ gegeben, deren Frequenz zwischen $\nu$ und $\nu + d \nu$ liegt. Show English translationDie Strahlung nehme das Volumen $v$ ein. Show English translationDie Entropie dieser Strahlung ist:$$S = v \varphi(\varrho, \nu) d \nu = -\frac{E}{\beta \nu} \left\{ \lg \frac{E}{v \alpha \nu^3 d \nu} - 1 \right\}.$$$S$Radiation entropy$v$Volume$\phi$Spectral entropy density$\varrho$Spectral energy density$\nu$Frequency of the light$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\alpha$Spectral constant AExplain this equation Show English translationBeschränken wir uns darauf, die Abhängigkeit der Entropie von dem von der Strahlung eingenommenen Volumen zu untersuchen, und bezeichnen wir die Entropie der Strahlung mit $S_0$, falls dieselbe das Volumen $v_0$ besitzt, so erhalten wir:$$S - S_0 = \frac{E}{\beta \nu} \lg \left( \frac{v}{v_0} \right).$$$S$Radiation entropy$S_0$Radiation entropy$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$v$Volume$v_0$VolumeExplain this equation Show English translation

[pp. 139–140]Align sentencesDiese Gleichung zeigt, daß die Entropie einer monochromatischen Strahlung von genügend kleiner Dichte nach dem gleichen Gesetze mit dem Volumen variiert wie die Entropie eines idealen Gases oder die einer verdünnten Lösung. Show English translationDie soeben gefundene Gleichung soll im folgenden interpretiert werden unter Zugrundelegung des von Hrn. Boltzmann in die Physik eingeführten Prinzips, nach welchem die Entropie eines Systems eine Funktion der Wahrscheinlichkeit seines Zustandes ist. Show English translation

[p. 140]§ 5. Molekulartheoretische Untersuchung der Abhängigkeit der Entropie von Gasen und verdünnten Lösungen vom Volumen.

[p. 140]Align sentencesBei Berechnung der Entropie auf molekulartheoretischem Wege wird häufig das Wort „Wahrscheinlichkeit“ in einer Bedeutung angewendet, die sich nicht mit der Definition der Wahrscheinlichkeit deckt, wie sie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gegeben wird. Show English translationInsbesondere werden die „Fälle gleicher Wahrscheinlichkeit“ häufig hypothetisch festgesetzt in Fällen, wo die angewendeten theoretischen Bilder bestimmt genug sind, um statt jener hypothetischen Festsetzung eine Deduktion zu geben. Show English translationIch will in einer besonderen Arbeit zeigen, daß man bei Betrachtungen über thermische Vorgänge mit der sogenannten „statistischen Wahrscheinlichkeit“ vollkommen auskommt und hoffe dadurch eine logische Schwierigkeit zu beseitigen, welche der Durchführung des Boltzmannschen Prinzips noch im Wege steht. Show English translationHier aber soll nur dessen allgemeine Formulierung und dessen Anwendung auf ganz spezielle Fälle gegeben werden. Show English translation

[pp. 140–141]Align sentencesWenn es einen Sinn hat, von der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes eines Systems zu reden, wenn ferner jede Entropiezunahme als ein Übergang zu einem wahrscheinlicheren Zustande aufgefaßt werden kann, so ist die Entropie $S_1$ eines Systems eine Funktion der Wahrscheinlichkeit $W_1$ seines momentanen Zustandes. Show English translationLiegen also zwei nicht miteinander in Wechselwirkung stehende Systeme $S_1$ und $S_2$ vor, so kann man setzen:$$\begin{aligned} S_1 &= \varphi_1(W_1), \\ S_2 &= \varphi_2(W_2). \end{aligned}$$$S_1$Entropy${\phi }_1$Entropy$W_1$Probability of the configuration$S_2$Entropy${\phi }_2$Entropy$W_2$Probability of the configurationExplain this equation Show English translationBetrachtet man diese beiden Systeme als ein einziges System von der Entropie $S$ und der Wahrscheinlichkeit $W$, so ist:$$S = S_1 + S_2 = \varphi(W)$$$S$Entropy$S_1$Entropy$S_2$Entropy$\phi$Entropy$W$Probability of the configurationExplain this equation und$$W = W_1 \cdot W_2.$$$W$Probability of the configuration$W_1$Probability of the configuration$W_2$Probability of the configurationExplain this equation Show English translationDie letztere Beziehung sagt aus, daß die Zustände der beiden Systeme voneinander unabhängige Ereignisse sind. Show English translation

[p. 141]Align sentencesAus diesen Gleichungen folgt:$$\varphi(W_1 \cdot W_2) = \varphi_1(W_1) + \varphi_2(W_2)$$$\phi$Entropy$W_1$Probability of the configuration$W_2$Probability of the configuration${\phi }_1$Entropy${\phi }_2$EntropyExplain this equation und hieraus endlich$$\begin{aligned} \varphi_1(W_1) &= C \lg(W_1) + \text{konst.}, \\ \varphi_2(W_2) &= C \lg(W_2) + \text{konst.}, \\ \varphi(W) &= C \lg(W) + \text{konst.} \end{aligned}$$${\phi }_1$Entropy$W_1$Probability of the configuration$C$Universal entropy constant${\phi }_2$Entropy$W_2$Probability of the configuration$\phi$Entropy$W$Probability of the configurationExplain this equation Show English translationDie Größe $C$ ist also eine universelle Konstante; sie hat, wie aus der kinetischen Gastheorie folgt, den Wert $R/N$, wobei den Konstanten $R$ und $N$ dieselbe Bedeutung wie oben beizulegen ist. Show English translationBedeutet $S_0$ die Entropie bei einem gewissen Anfangszustande eines betrachteten Systems und $W$ die relative Wahrscheinlichkeit eines Zustandes von der Entropie $S$, so erhalten wir also allgemein:$$S - S_0 = \frac{R}{N} \lg W.$$$S$Entropy$S_0$Entropy$R$Gas constant$N$Avogadro's number$W$Probability of the configurationExplain this equation Show English translation

[p. 141]Align sentencesWir behandeln zunächst folgenden Spezialfall. Show English translationIn einem Volumen $v_0$ sei eine Anzahl $(n)$ beweglicher Punkte (z. B. Moleküle) vorhanden, auf welche sich unsere Überlegung beziehen soll. Show English translationAußer diesen können in dem Raume noch beliebig viele andere bewegliche Punkte irgendwelcher Art vorhanden sein. Show English translationÜber das Gesetz, nach dem sich die betrachteten Punkte in dem Raume bewegen, sei nichts vorausgesetzt, als daß in bezug auf diese Bewegung kein Raumteil (und keine Richtung) von den anderen ausgezeichnet sei. Show English translationDie Anzahl der betrachteten (ersterwähnten) beweglichen Punkte sei ferner so klein, daß von einer Wirkung der Punkte aufeinander abgesehen werden kann. Show English translation

[p. 141]Align sentencesDem betrachteten System, welches z. B. ein ideales Gas oder eine verdünnte Lösung sein kann, kommt eine gewisse Entropie $S_0$ zu. Show English translationWir denken uns einen Teil des Volumens $v_0$ von der Größe $v$ und alle $n$ beweglichen Punkte in das Volumen $v$ versetzt, ohne daß an dem System sonst etwas geändert wird. Show English translationDiesem Zustand kommt offenbar ein anderer Wert der Entropie $(S)$ zu, und wir wollen nun die Entropiedifferenz mit Hilfe des Boltzmannschen Prinzips bestimmen. Show English translation

[p. 142]Align sentencesWir fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des letzterwähnten Zustandes relativ zum ursprünglichen? Show English translationOder: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich in einem zufällig herausgegriffenen Zeitmoment alle $n$ in einem gegebenen Volumen $v_0$ unabhängig voneinander beweglichen Punkte (zufällig) in dem Volumen $v$ befinden? Show English translation

[p. 142]Align sentencesFür diese Wahrscheinlichkeit, welche eine „statistische Wahrscheinlichkeit“ ist, erhält man offenbar den Wert:$$W = \left( \frac{v}{v_0} \right)^n ;$$$W$Probability of the configuration$v$Volume$v_0$Volume$n$Number of independent pointsExplain this equation man erhält hieraus durch Anwendung des Boltzmannschen Prinzipes:$$S - S_0 = R \left( \frac{n}{N} \right) \lg \left( \frac{v}{v_0} \right).$$$S$Entropy$S_0$Entropy$R$Gas constant$n$Number of independent points$N$Avogadro's number$v$Volume$v_0$VolumeExplain this equation Show English translation

[p. 142]Align sentencesEs ist bemerkenswert, daß man zur Herleitung dieser Gleichung, aus welcher das Boyle-Gay-Lussacsche Gesetz und das gleichlautende Gesetz des osmotischen Druckes leicht thermodynamisch ableiten kann^[1)]; keine Voraussetzung über das Gesetz zu machen braucht, nachdem sich die Moleküle bewegen. Show English translation

[p. 142]§ 6. Interpretation des Ausdruckes für die Abhängigkeit der Entropie der monochromatischen Strahlung vom Volumen nach dem Boltzmannschen Prinzip.

[pp. 142–143]Align sentencesWir haben in § 4 für die Abhängigkeit der Entropie der monochromatischen Strahlung vom Volumen den Ausdruck gefunden:$$S - S_0 = \frac{E}{\beta \nu} \lg \left( \frac{v}{v_0} \right).$$$S$Radiation entropy$S_0$Radiation entropy$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the light$v$Volume$v_0$VolumeExplain this equation Show English translationSchreibt man diese Formel in der Gestalt:$$S - S_0 = \frac{R}{N} \lg \left[ \left( \frac{v}{v_0} \right)^{\frac{N}{R} \frac{E}{\beta \nu}} \right]$$$S$Radiation entropy$S_0$Radiation entropy$R$Gas constant$N$Avogadro's number$v$Volume$v_0$Volume$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the lightExplain this equation und vergleicht man sie mit der allgemeinen, das Boltzmannsche Prinzip ausdrückenden Formel$$S - S_0 = \frac{R}{N} \lg W ,$$$S$Radiation entropy$S_0$Radiation entropy$R$Gas constant$N$Avogadro's number$W$Probability of the configurationExplain this equation so gelangt man zu folgendem Schluß: Show English translation

[p. 143]Align sentencesIst monochromatische Strahlung von der Frequenz $\nu$ und der Energie $E$ in das Volumen $v_0$ (durch spiegelnde Wände) eingeschlossen, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich in einem beliebig herausgegriffenen Zeitmoment die ganze Strahlungsenergie in dem Teilvolumen $v$ des Volumens $v_0$ befindet:$$W = \left( \frac{v}{v_0} \right)^{\frac{N}{R} \frac{E}{\beta \nu}}.$$$W$Probability of the configuration$v$Volume$v_0$Volume$N$Avogadro's number$R$Gas constant$E$Radiation energy in the band$\beta$Spectral constant B$\nu$Frequency of the lightExplain this equation Show English translation

[p. 143]Align sentencesHieraus schließen wir weiter: Show English translation

[p. 143]Align sentencesMonochromatische Strahlung von geringer Dichte (innerhalb des Gültigkeitsbereiches der Wienschen Strahlungsformel) verhält sich in wärmetheoretischer Beziehung so, wie wenn sie aus voneinander unabhängigen Energiequanten von der Größe $R \beta \nu / N$ bestünde. Show English translation

[p. 143]Align sentencesWir wollen noch die mittlere Größe der Energiequanten der „schwarzen Strahlung“ mit der mittleren lebendigen Kraft der Schwerpunktsbewegung eines Moleküls bei der nämlichen Temperatur vergleichen. Show English translationLetztere ist $\frac{3}{2} (R/N) T$, während man für die mittlere Größe des Energiequantums unter Zugrundelegung der Wienschen Formel erhält:$$\frac{\int_0^\infty \alpha \nu^3 e^{-\frac{\beta \nu}{T}} d \nu}{\int_0^\infty \frac{N}{R \beta \nu} \alpha \nu^3 e^{-\frac{\beta \nu}{T}} d \nu} = 3 \frac{R}{N} T.$$$\alpha$Spectral constant A$\nu$Frequency of the light$\beta$Spectral constant B$T$Temperature of the radiation$N$Avogadro's number$R$Gas constantExplain this equation Show English translation

[pp. 143–144]Align sentencesWenn sich nun monochromatische Strahlung (von hinreichend kleiner Dichte) bezüglich der Abhängigkeit der Entropie vom Volumen wie ein diskontinuierliches Medium verhält, welches aus Energiequanten von der Größe $R \beta \nu / N$ besteht, so liegt es nahe, zu untersuchen, ob auch die Gesetze der Erzeugung und Verwandlung des Lichtes so beschaffen sind, wie wenn das Licht aus derartigen Energiequanten bestünde. Show English translationMit dieser Frage wollen wir uns im folgenden beschäftigen. Show English translation

[p. 144]§ 7. Über die Stokessche Regel.

[p. 144]Align sentencesEs werde monochromatisches Licht durch Photolumineszenz in Licht anderer Frequenz verwandelt und gemäß dem eben erlangten Resultat angenommen, daß sowohl das erzeugende wie das erzeugte Licht aus Energiequanten von der Größe $(R/N) \beta \nu$ bestehe, wobei $\nu$ die betreffende Frequenz bedeutet. Show English translationDer Verwandlungsprozeß wird dann folgendermaßen zu deuten sein. Show English translationJedes erzeugende Energiequant von der Frequenz $\nu_1$ wird absorbiert und gibt — wenigstens bei genügend kleiner Verteilungsdichte der erzeugenden Energiequanten — für sich allein Anlaß zur Entstehung eines Lichtquants von der Frequenz $\nu_2$; eventuell können bei der Absorption des erzeugenden Lichtquants auch gleichzeitig Lichtquanten von den Frequenzen $\nu_3$, $\nu_4$ etc. sowie Energie anderer Art (z. B. Wärme) entstehen. Show English translationUnter Vermittelung von was für Zwischenprozessen dies Endresultat zustande kommt, ist gleichgültig. Show English translationWenn die photolumineszierende Substanz nicht als eine beständige Quelle von Energie anzusehen ist, so kann nach dem Energieprinzip die Energie eines erzeugten Energiequants nicht größer sein als die eines erzeugenden Lichtquants; es muß also die Bezeichnung gelten:$$\frac{R}{N} \beta \nu_2 \leqq \frac{R}{N} \beta \nu_1$$$R$Gas constant$N$Avogadro's number$\beta$Spectral constant B${\nu }_2$Frequency of the emitted light${\nu }_1$Frequency of the absorbed lightExplain this equation oder$$\nu_2 \leqq \nu_1 .$$${\nu }_2$Frequency of the emitted light${\nu }_1$Frequency of the absorbed lightExplain this equation Show English translationDies ist die bekannte Stokessche Regel. Show English translation