Annus MirabilisEinstein in 1905
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Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen

Brownian motion: from wandering to a measurable law

[p. 551]§ 2. Der osmotische Druck vom Standpunkte der molekularkinetischen Theorie der Wärme.[1)]

§ 2.§ 2DertheosmotischeosmoticDruckpressurevomfrom theStandpunktestandpointderof themolekularkinetischenmolecular-kineticTheorietheoryderof theWärme.heat
[p. 551]
Sindarep1p2…plp_1 p_2 \ldots p_lZustandsvariablevariables of stateeinesof aphysikalischenphysicalSystems,systemwelchewhichdenthemomentaneninstantaneousZustandstatedesselbenof the samevollkommencompletelybestimmendetermine(z. B.e.g.dietheKoordinatencoordinatesundandGeschwindigkeitskomponentenvelocity componentsallerof allAtomeatomsdesof theSystems)systemundandistis givendasthevollständigecompleteSystemsystemderof theVeränderungsgleichungenequations of changedieserof theseZustandsvariabelnvariables of statevonofdertheFormformgegeben,↳wobeiwhere∑∂φν∂pν=0\sum \frac{\partial \varphi_\nu}{\partial p_\nu} = 0,sothenistisdietheEntropieentropydesof theSystemssystemdurchbydentheAusdruckexpressiongegeben:given
[p. 551]
∂pν∂t=φν(p1…pl)(ν=1,2…l)\frac{\partial p_\nu}{\partial t} = \varphi_\nu(p_1 \ldots p_l) \quad (\nu = 1, 2 \ldots l)
Explain this equation
[p. 551]
S=EˉT+2ϰlg⁡∫e−E2ϰTdp1…dpl.S = \frac{\bar{E}}{T} + 2 \varkappa \lg \int e^{-\frac{E}{2 \varkappa T}} d p_1 \ldots d p_l.
Explain this equation
HierbeiherebedeutetdenotesTTdietheabsoluteabsoluteTemperatur,temperatureEˉ\bar{E}dietheEnergieenergydesof theSystems,systemEEdietheEnergieenergyalsasFunktionfunctionderof thepνp_\nu.
DastheIntegralintegralistis to be extendedüberoveralleallmitwithdentheBedingungenconditionsdesof theProblemsproblemvereinbarencompatibleWertekombinationencombinations of valuesderof thepνp_\nuzu↳erstrecken.extend
ϰ\varkappaistismitwithdertheobenaboveerwähntenmentionedKonstantenconstantNNdurchbydietheRelationrelation2ϰN=R2 \varkappa N = Rverbunden.connected
FürfordiethefreiefreeEnergieenergyFFerhaltenobtainwirwedaher:therefore
[p. 551]
F=−RNTlg⁡∫e−ENRTdp1…dpl=−RTNlg⁡B.F = -\frac{R}{N} T \lg \int e^{-\frac{E N}{R T}} d p_1 \ldots d p_l = -\frac{R T}{N} \lg B.
Explain this equation
[p. 552]
Wirwedenkenimagineuns↳nunnoweineainindemtheVolumenvolumeVVeingeschlosseneenclosedFlüssigkeit;liquidinindemtheTeilvolumenpartial volumeV∗V^*vonofVVmögenlet there be[supposition]sich↳[supposition]nngelöstedissolvedMolekülemoleculesbez.orsuspendiertesuspendedKörperbodiesbefinden,↳[supposition]welchewhichimin theVolumenvolumeV∗V^*durchbyeineasemipermeabelesemipermeableWandwallfestgehaltenheldseien;are[supposition]esare affectedwerdenarehierdurchtherebydietheIntegrationsgrenzenlimits of integrationdesof theinindentheAusdrückenexpressionsfürforSSundandFFauftretendenoccurringIntegralesintegralBBbeeinflußt.affected
List the reasoning words in this sentence (2)
  1. mögen sich befinden (let there be) · [konjunktiv-i]: supposition: mögen with sich befinden, 'let there be' (literally 'may ... be located')
  2. seien (are) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: still inside the supposition, 'which are held by a semipermeable wall'
DastheGesamtvolumentotal volumederof thegelöstendissolvedMolekülemoleculesbez.orsuspendiertensuspendedKörperbodiesseilet ... be[supposition]kleinsmallgegencompared withV∗V^*.
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a supposition, 'let the total volume be small compared with V*'
DiesthisSystemsystemwerdelet ... be described[supposition]imin theSinnesensederof theerwähntenmentionedTheorietheorydurchbydietheZustandsvariabelnvariables of statep1…plp_1 \ldots p_lvollständigcompletelydargestellt.described[supposition]
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. werde dargestellt (let ... be described) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I of the passive: a supposition, 'let this system be described'
[p. 552]
Wärewere fixed[hypothetical]nunnowauchevendasthemolekularemolecularBildpicturebisdownintoalleallEinzelheitendetailsfestgelegt,↳[hypothetical]sothenbötewould present[hypothetical]dochstilldietheAusrechnungevaluationdesof theIntegralesintegralBBsolchesuchSchwierigkeiten,difficultiesdaßthatanthink ofeineanexakteexactBerechnungcalculationvonofFFkaumhardlygedachtthoughtwerdenbekönnte.could[hypothetical]
List the reasoning words in this sentence (3)
  1. Wäre festgelegt (were fixed) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II, verb first: a condition contrary to fact, 'even if the picture were fixed'
  2. böte (would present) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II of bieten: what would follow even then
  3. könnte (could) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II: what could be done if the picture were fixed
Wirwebrauchenneedjedochhoweverhierherenuronlyzutowissen,knowwiehowFFvonondertheGrößesizedesof theVolumensvolumeV∗V^*abhängt,dependsininwelchemwhichalleallgelöstendissolvedMolekülemoleculesbez.orsuspendiertensuspendedKörperbodies(imin what followsfolgenden↳kurzfor short„Teilchen“particlesgenannt)calledenthaltencontainedsind.are
[pp. 552–553]
Wirwenennencallx1,y1,z1x_1, y_1, z_1dietherechtwinkligenrectangularKoordinatencoordinatesdesof theSchwerpunktescenter of gravitydesof theerstenfirstTeilchens,particlex2,y2,z2x_2, y_2, z_2diethosedesof thezweitensecondetc.,etc.xn,yn,znx_n, y_n, z_ndiethosedesof theletztenlastTeilchensparticleundandgebenassignfürtodietheSchwerpunktecenters of gravityderof theTeilchenparticlesdietheunendlichinfinitelykleinensmallparallelepipedförmigenparallelepiped-shapedGebieteregionsdx1dy1dz1,dx2dy2dz2…dxndyndznd x_1 d y_1 d z_1, d x_2 d y_2 d z_2 \ldots d x_n d y_n d z_n,welchewhichalleallininV∗V^*gelegensituatedseien.are to be[supposition]
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. seien (are to be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a stipulation, 'all of which are to lie in V*'
Gesuchtsoughtseilet ... be[supposition]dertheWertvaluedesof theimin theAusdruckexpressionfürforFFauftretendenoccurringIntegralesintegralmitwithdertheBeschränkung,restrictiondaßthatdietheTeilchenschwerpunktecenters of gravity of the particlesinindentheihnento themsoebenjustzugewiesenenassignedGebietenregionsliegen.lie
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I after the participle: a supposition, 'let the value be sought'
DiesthisIntegralintegralläßtcan besich↳jedenfallsin any caseaufintodietheFormformbringen,bringwobeiwhereJJvonofdx1dy1d x_1 d y_1etc.,etc.sowieas well asvonofV∗V^*,d. h.that isvonofdertheLagepositionderof thesemipermeabelnsemipermeableWand,wallunabhängigindependentist.is
JJistisaberbutauchalsounabhängigindependentvonofderthespeziellenparticularWahlchoicederof theLagenpositionsderof theSchwerpunktsgebieteregions for the centers of gravityundandvonofdemtheWertevaluevonofV∗V^*,wieassogleichpresentlygezeigtshownwerdenbesoll.is to
Seilet ... be given[supposition]nämlichforeinazweitessecondSystemsystemvonofunendlichinfinitelykleinensmallGebietenregionsfürfordietheTeilchenschwerpunktecenters of gravity of the particlesgegeben↳[supposition]undandbezeichnetdenoteddurchbydx1′dy1′dz2′,dx2′dy2′dz2′…dxn′dyn′dzn′d x'_1 d y'_1 d z'_2, d x'_2 d y'_2 d z'_2 \ldots d x'_n d y'_n d z'_n,welchewhichGebieteregionssichdiffervonfromdenthoseursprünglichoriginallygegebenengivennuronlydurchinihretheirLage,positionnichtnotaberhoweverdurchinihretheirGrößesizeunterscheiden↳mögenare to[supposition]undandebenfallslikewisealleallininV∗V^*enthaltencontainedseien,are to be[supposition]sothengiltholdsanalog:analogouslywobeiwhere
List the reasoning words in this sentence (3)
  1. Sei gegeben (let ... be given) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I, verb first: a supposition, 'let a second system ... be given'
  2. mögen (are to) · [konjunktiv-i]: supposition: mögen, 'are to differ', a stipulation about the second regions
  3. seien (are to be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: still inside the supposition, 'are to be contained in V*'
Esitistisalso:therefore
[p. 553]
AusfromdertheinindenthezitiertencitedArbeitenpapersgegebenengivenmolekularenmolecularTheorietheoryderofWärmeheatläßtcan be inferredsich↳aberhoweverleichteasilyfolgern,inferdaßthatdB/Bd B/Bbez.ordB′/Bd B'/Bgleichequalistisderto theWahrscheinlichkeitprobabilitydafür,for thisdaßthatsichlieinateinemanbeliebigarbitrarilyherausgegriffenenchosenZeitpunkteinstantdietheTeilchenschwerpunktecenters of gravity of the particlesinindentheGebietenregions(dx1…dzn)(d x_1 \ldots d z_n)bez.orinindentheGebietenregions(dx1′…dzn′)(d x'_1 \ldots d z'_n)befinden.↳
Sindare independentnunnowdietheBewegungenmotionsderof theeinzelnenindividualTeilchenparticles(mitwithgenügendersufficientAnnäherung)approximationvoneinanderof one anotherunabhängig,independentistis homogeneousdietheFlüssigkeitliquidhomogenhomogeneousundandwirkenactaufondietheTeilchenparticleskeinenoKräfte,forcessothenmüssenmustbeiforgleicherequalGrößesizederof theGebieteregionsdiethedento thebeidentwoGebietssystemensystems of regionszukommendenbelongingWahrscheinlichkeitenprobabilitieseinanderto each othergleichequalsein,besoso thatdaßthatgilt:holds
[p. 553]
dBB=dB′B.\frac{d B}{B} = \frac{d B'}{B}.
Explain this equation
AusfromdieserthisundandausfromderthezuletztlastgefundenenfoundGleichungequationfolgtfollowsaberhowever
[p. 553]
Esitistissomitthuserwiesen,proveddaßthatJJwederneithervononV∗V^*nochnorvononx1,y1…znx_1, y_1 \ldots z_nabhängigdependentist.is
DurchbyIntegrationintegrationerhältobtainsmanoneundanddarausfrom thisundand
[p. 553]
p=−∂F∂V∗=RTV∗nN=RTNν.p = -\frac{\partial F}{\partial V^*} = \frac{R T}{V^*} \frac{n}{N} = \frac{R T}{N} \nu.
Explain this equation
[p. 553]
DurchbydiesethisBetrachtungconsiderationistisgezeigt,showndaßthatdietheExistenzexistencedesof theosmotischenosmoticDruckespressureeineaKonsequenzconsequencederof themolekularkinetischenmolecular-kineticTheorietheoryderofWärmeheatist,isundanddaßthatnachaccording todieserthisTheorietheorygelöstedissolvedMolekülemoleculesundandsuspendiertesuspendedKörperbodiesvonofgleicherequalAnzahlnumbersichbehaveinwith respect tobezug↳auf↳osmotischenosmoticDruckpressurebeiat great dilutiongroßergreatVerdünnungdilutionvollkommencompletelygleichalikeverhalten.↳

Footnotes

  1. 1)
    InindiesemthisParagraphsectionsindaredietheArbeitenpapersdesof theVerfassersauthorüberondietheGrundlagenfoundationsderofThermodynamikthermodynamicsalsasbekanntknownvorausgesetztpresupposed(vgl.cf.Ann.Annalend.of thePhys.Physics9.9p.page417.4171902;190211.11p.page170.1701903).1903FürfordastheVerständnisunderstandingderof theResultateresultsderof thevorliegendenpresentArbeitpaperistisdietheKenntnisknowledgejenerof thoseArbeitenpaperssowieas well asdiesesof thisParagraphensectionderof thevorliegendenpresentArbeitpaperentbehrlich.dispensable
  2. 1)
    A.A.Einstein,EinsteinAnn.Annalend.of thePhys.Physics11.11p.page170.1701903.1903