Annus MirabilisEinstein in 1905
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Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen

Brownian motion: from wandering to a measurable law

[p. 556]§ 4. Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

§ 4.§ 4ÜberondietheungeordnetedisorderedBewegungmotionvonofinineineraFlüssigkeitliquidsuspendiertensuspendedTeilchenparticlesundandderenitsBeziehungrelationzurto theDiffusion.diffusion
[p. 556]
Wirwegehenturnnunnowdazutoüber,↳dietheungeordnetendisorderedBewegungenmotionsgenauermore closelyzutountersuchen,investigatewelche,whichvonbydertheMolekularbewegungmolecular motionderof theWärmeheathervorgerufen,producedAnlaßgive risezutodertheimin theletztenlastParagraphensectionuntersuchteninvestigatedDiffusiondiffusiongeben.↳
[p. 556]
Esitmußmustoffenbarevidentlyangenommenassumedwerden,bedaßthatjedeseacheinzelneindividualTeilchenparticleeineaBewegungmotionausführe,carries out[supposition]welchewhichunabhängigindependentistisvonofdertheBewegungmotionallerof allanderenotherTeilchen;particlesesitwerdenwillauchalsodietheBewegungenmotionseinesof oneundanddesselbenthe sameTeilchensparticleininverschiedenendifferentZeitintervallentime intervalsalsasvoneinanderof one anotherunabhängigeindependentVorgängeprocessesaufzufassento be regardedsein,besolangeas long aswirwediesetheseZeitintervalletime intervalsnichtnotzutookleinsmallgewähltchosendenken.think of
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. ausführe (carries out) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: what is assumed, stated as an assumption, not as an observation
[p. 556]
WirweführenintroduceeinaZeitintervalltime intervalτ\tauinintodietheBetrachtungconsiderationein,↳welcheswhichsehrverykleinsmallseiis to be[supposition]gegencompared withdiethebeobachtbarenobservableZeitintervalle,time intervalsaberbutdochstillsosogroß,largedaßthatdietheininzweitwoaufeinanderfolgendensuccessiveZeitintervallentime intervalsτ\tauvonbyeinemaTeilchenparticleausgeführtencarried outBewegungenmotionsalsasvoneinanderof one anotherunabhängigeindependentEreignisseeventsaufzufassento be regardedsind.are
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  1. sei (is to be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: a stipulation, 'which is to be very small'
[p. 556]
Seienlet there be[supposition]nunnowinineineraFlüssigkeitliquidimin allganzen↳nnsuspendiertesuspendedTeilchenparticlesvorhanden.↳[supposition]
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  1. Seien vorhanden (let there be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I of vorhanden sein, verb first: a supposition, 'let there be present'
InineinemaZeitintervalltime intervalτ\tauwerdenwillsichincreasedietheXX-Koordinatencoordinatesderof theeinzelnenindividualTeilchenparticlesumbyΔ\Deltavergrößern,↳wobeiwhereΔ\DeltafürforjedeseachTeilchenparticleeinenaanderendifferent(positivenpositiveoderornegativen)negativeWertvaluehat.has
EstherewirdwillfürforΔ\DeltaeinagewissescertainHäufigkeitsgesetzfrequency lawgelten;holddietheAnzahlnumberdnd nderof theTeilchen,particleswelchewhichinindemtheZeitintervalltime intervalτ\taueineaVerschiebungdisplacementerfahren,undergowelchewhichzwischenbetweenΔ\DeltaundandΔ+dΔ\Delta + d \Deltaliegt,lieswirdwilldurchbyeineanGleichungequationvonofdertheFormformausdrückbarexpressiblesein,bewobeiwhereundandφ\varphinuronlyfürforsehrverykleinesmallWertevaluesvonofΔ\DeltavonfromNullzeroverschiedendifferentistisundanddietheBedingungconditionerfüllt.satisfies
[p. 556]
∫−∞+∞φ(Δ)dΔ=1\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1
Explain this equation
[p. 556]
φ(Δ)=φ(−Δ)\varphi(\Delta) = \varphi(-\Delta)
Explain this equation
[p. 557]
Wirweuntersucheninvestigatenun,nowwiehowdertheDiffusionskoeffizientdiffusion coefficientvononφ\varphiabhängt,dependswobeiwherewirweunsrestrict ourselveswiederagainauftodentheFallcasebeschränken,↳daßthatdietheAnzahlnumberν\nuderof theTeilchenparticlesproperVolumeneinheitunit volumenuronlyvononxxundandttabhängt.depends
[pp. 557–558]
Eslet ... be[supposition]sei↳[supposition]ν=f(x,t)\nu = f(x, t)dietheAnzahlnumberderof theTeilchenparticlesproperVolumeneinheit,unit volumewirweberechnencalculatedietheVerteilungdistributionderof theTeilchenparticleszurat theZeittimet+τt + \tauausfromderentheirVerteilungdistributionzurat theZeittimett.
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  1. Es sei (let ... be) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: es sei, a supposition, 'let ... be'
AusfromdertheDefinitiondefinitionderof theFunktionfunctionφ(Δ)\varphi(\Delta)ergibtfollowssich↳leichteasilydietheAnzahlnumberderof theTeilchen,particleswelchewhichsichare locatedzurat theZeittimet+τt + \tauzwischenbetweenzweitwozurto theXX-AchseaxissenkrechtenperpendicularEbenenplanesmitwithdentheAbszissenabscissasxxundandx+dxx + d xbefinden.↳
Manoneerhält:obtains
[p. 557]
f(x,t+τ)dx=dx⋅∫Δ=−∞Δ=+∞f(x+Δ)φ(Δ)dΔ.f(x, t + \tau) d x = d x \cdot \int_{\Delta = -\infty}^{\Delta = +\infty} f(x + \Delta) \varphi(\Delta) d \Delta.
Explain this equation
Nunnowkönnencanwirweaber,butdasinceτ\tausehrverykleinsmallist,issetzen:set
[p. 557]
f(x,t+τ)=f(x,t)+τ∂f∂t.f(x, t + \tau) = f(x, t) + \tau \frac{\partial f}{\partial t}.
Explain this equation
Fernerfurtherentwickelnexpandwirwef(x+Δ,t)f(x + \Delta, t)nachinPotenzenpowersvonofΔ\Delta:
[p. 557]
f(x+Δ,t)=f(x,t)+Δ∂f(x,t)∂x+Δ22!∂2f(x,t)∂x2… in inf.f(x + \Delta, t) = f(x, t) + \Delta \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} + \frac{\Delta^2}{2!} \frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} \ldots \text{ in inf.}
Explain this equation
DiesethisEntwicklungexpansionkönnencanwirweunterunderdemtheIntegralintegralvornehmen,carry outdasincezutoletzteremthe latternuronlysehrverykleinesmallWertevaluesvonofΔ\Deltaetwasanythingbeitragen.contribute
Wirweerhalten:obtain
[p. 557]
f+∂f∂t⋅τ=f⋅∫−∞+∞φ(Δ)dΔ+∂f∂x∫−∞+∞Δφ(Δ)dΔ+∂2f∂x2∫−∞+∞Δ22φ(Δ)dΔ…\begin{aligned} f + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \tau = f \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta &+ \frac{\partial f}{\partial x} \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \varphi(\Delta) d \Delta \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta \ldots \end{aligned}
Explain this equation
AufondertherechtenrightSeitesideverschwindetvanisheswegenbecause ofφ(x)=φ(−x)\varphi(x) = \varphi(-x)dasthezweite,secondviertefourthetc.etc.Glied,termwährendwhilevonofdemtheersten,firstdritten,thirdfünftenfifthetc.etc.Gliedetermsjedeseachfolgendefollowinggegencompared withdasthevorhergehendeprecedingsehrverykleinsmallist.is
WirweerhaltenobtainausfromdieserthisGleichung,equationindembywirweberücksichtigen,take into accountdaßthatundandindembywirwesetzensettingundandnuronlydastheerstefirstundanddrittethirdGliedtermderof therechtenrightSeitesideberücksichtigen:take into account
[p. 557]
∫−∞+∞φ(Δ)dΔ=1,\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1,
Explain this equation
[p. 558]
1τ∫−∞+∞Δ22φ(Δ)dΔ=D\frac{1}{\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta = D
Explain this equation
[p. 558]
∂f∂t=D∂2f∂x2.\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.
Explain this equation
(1)
[p. 558]
Diesthisistisdiethebekanntewell-knownDifferentialgleichungdifferential equationderof theDiffusion,diffusionundandmanoneerkennt,seesdaßthatDDdertheDiffusionskoeffizientdiffusion coefficientist.is
[p. 558]
AntodiesethisEntwicklungdevelopmentläßtcan be attachedsich↳nochfurthereineanwichtigeimportantÜberlegungconsiderationanknüpfen.↳
Wirwehabenhaveangenommen,assumeddaßthatdietheeinzelnenindividualTeilchenparticlesalleallauftodasselbethe sameKoordinatensystemcoordinate systembezogenreferredseien.were[supposition]
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  1. seien (were) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: what was assumed, reported, not asserted
Diesthisistisjedochhowevernichtnotnötig,necessarydasincedietheBewegungenmotionsderof theeinzelnenindividualTeilchenparticlesvoneinanderof one anotherunabhängigindependentsind.are
WirwewollenshallnunnowdietheBewegungmotionjedesof eachTeilchensparticleauftoeinaKoordinatensystemcoordinate systembeziehen,referdessenwhoseUrsprungoriginmitwithdertheLagepositiondesof theSchwerpunktescenter of gravitydesof thebetreffendenin questionTeilchensparticlezurat theZeittimet=0t = 0zusammenfällt,coincidesmitwithdemtheUnterschiede,differencedaßthatjetztnowf(x,t)dxf(x, t) d xdietheAnzahlnumberderof theTeilchenparticlesbedeutet,denotesderenwhoseXX-KoordinatencoordinatesvonfromdertheZeittimet=0t = 0bistozurtheZeittimet=tt = tumbyeineanGrößeamountgewachsengrownist,haswelchewhichzwischenbetweenxxundandx+dxx + d xliegt.lies
AuchalsoinindiesemthisFallecaseändertchangessich↳alsothereforedietheFunktionfunctionffgemäßaccording toGleichungequation(1).(1)
Fernerfurthermußmustoffenbarevidentlyfürforx≷0x \gtrless 0undandt=0t = 0sein.be
[p. 558]
f(x,t)=0und∫−∞+∞f(x,t)dx=nf(x, t) = 0 \quad \text{und} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t) d x = n
Explain this equation
DastheProblem,problemwelcheswhichmitwithdemtheProblemproblemderof theDiffusiondiffusionvonfromeinemaPunktepointaus↳(unterneglectingVernachlässigung↳derof theWechselwirkunginteractionderof thediffundierendendiffusingTeilchen)particlesübereinstimmt,coincidesistisnunnowmathematischmathematicallyvollkommencompletelybestimmt;determinedseineitsLösungsolutionist:is
[p. 558]
f(x,t)=n4πDe−x24Dtt.f(x, t) = \frac{n}{\sqrt{4 \pi D}} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 D t}}}{\sqrt{t}}.
Explain this equation
[pp. 558–559]
DietheHäufigkeitsverteilungfrequency distributionderof theinineineranbeliebigenarbitraryZeittimetterfolgtenoccurredLagenänderungenchanges of positionistisalsothereforedieselbethe samewieasdiethatderof thezufälligenrandomFehler,errorswaswhichzutovermutenexpectwar.was
VonofBedeutungimportanceaberhoweverist,iswiehowdietheKonstanteconstantimin theExponentenexponentmitwithdemtheDiffusionskoeffizientendiffusion coefficientzusammenhängt.is connected
WirweberechnencalculatenunnowmitwithHilfehelpdieserof thisGleichungequationdietheVerrückungdisplacementλx\lambda_xininRichtungdirectionderof theXX-Achse,axiswelchewhicheinaTeilchenparticleimon averageMittel↳erfährt,undergoesoderor—genauermore preciselyausgedrücktexpressed—dietheWurzelrootausofdemthearithmetischenarithmeticMittelmeanderof theQuadratesquaresderof theVerrückungendisplacementsininRichtungdirectionderof theXX-Achse;axisesitist:is
[p. 559]
DiethemittleremeanVerschiebungdisplacementistisalsothereforeproportionalproportionalderto theQuadratwurzelsquare rootausofdertheZeit.time
Manonekanncanleichteasilyzeigen,showdaßthatdietheWurzelrootausofdemtheMittelwertmean valuederof theQuadratesquaresderof theGesamtverschiebungentotal displacementsderof theTeilchenparticlesdentheWertvalueλx3\lambda_x \sqrt{3}besitzt.has