Parallel edition

On the Motion of Particles Suspended in Liquids at Rest, as Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat

By A. Einstein · Annalen der Physik (4) 17, 549–560 (1905).

Deutsch

[p. 556]§ 4. Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

English

§ 4. On the irregular motion of particles suspended in a liquid and its relation to diffusion.

Deutsch

[p. 556]Wir gehen nun dazu über, die ungeordneten Bewegungen genauer zu untersuchen, welche, von der Molekularbewegung der Wärme hervorgerufen, Anlaß zu der im letzten Paragraphen untersuchten Diffusion geben.

English

We now turn to a closer investigation of the irregular motions which, produced by the molecular motion of heat, give rise to the diffusion investigated in the last section.

Deutsch

[p. 556]Es muß offenbar angenommen werden, daß jedes einzelne Teilchen eine Bewegung ausführe, welche unabhängig ist von der Bewegung aller anderen Teilchen; es werden auch die Bewegungen eines und desselben Teilchens in verschiedenen Zeitintervallen als voneinander unabhängige Vorgänge aufzufassen sein, solange wir diese Zeitintervalle nicht zu klein gewählt denken.

English

It must evidently be assumed that each individual particle carries out a motion that is independent of the motion of all the other particles; the motions of one and the same particle in different time intervals are also to be regarded as mutually independent processes, as long as we think of these time intervals as not chosen too small.

Deutsch

[p. 556]Wir führen ein Zeitintervall $\tau$ in die Betrachtung ein, welches sehr klein sei gegen die beobachtbaren Zeitintervalle, aber doch so groß, daß die in zwei aufeinanderfolgenden Zeitintervallen $\tau$ von einem Teilchen ausgeführten Bewegungen als voneinander unabhängige Ereignisse aufzufassen sind.

English

We introduce into the discussion a time interval $\tau$ , which is to be very small compared with the observable time intervals, but still so large that the motions carried out by a particle in two successive time intervals $\tau$ are to be regarded as mutually independent events.

Deutsch

[p. 556]Seien nun in einer Flüssigkeit im ganzen $n$ suspendierte Teilchen vorhanden. In einem Zeitintervall $\tau$ werden sich die $X$ -Koordinaten der einzelnen Teilchen um $\Delta$ vergrößern, wobei $\Delta$ für jedes Teilchen einen anderen (positiven oder negativen) Wert hat. Es wird für $\Delta$ ein gewisses Häufigkeitsgesetz gelten; die Anzahl $d n$ der Teilchen, welche in dem Zeitintervall $\tau$ eine Verschiebung erfahren, welche zwischen $\Delta$ und $\Delta + d \Delta$ liegt, wird durch eine Gleichung von der Form $d n = n \varphi(\Delta) d \Delta$ Particle countJump densityDisplacement in one intervalExplain this equation ausdrückbar sein, wobei $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1$ Jump densityDisplacement in one intervalExplain this equation und $\varphi$ nur für sehr kleine Werte von $\Delta$ von Null verschieden ist und die Bedingung $\varphi(\Delta) = \varphi(-\Delta)$ Jump densityDisplacement in one intervalExplain this equation erfüllt.

English

Now let a total of $n$ suspended particles be present in a liquid. In a time interval $\tau$ the $X$ -coordinates of the individual particles will increase by $\Delta$ , where $\Delta$ has a different (positive or negative) value for each particle. A certain frequency law will hold for $\Delta$ ; the number $d n$ of particles that in the time interval $\tau$ undergo a displacement lying between $\Delta$ and $\Delta + d \Delta$ will be expressible by an equation of the form $d n = n \varphi(\Delta) d \Delta$ Particle countJump densityDisplacement in one intervalExplain this equation where $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1$ Jump densityDisplacement in one intervalExplain this equation and $\varphi$ differs from zero only for very small values of $\Delta$ and satisfies the condition $\varphi(\Delta) = \varphi(-\Delta)$ Jump densityDisplacement in one intervalExplain this equation

Deutsch

[p. 557]Wir untersuchen nun, wie der Diffusionskoeffizient von $\varphi$ abhängt, wobei wir uns wieder auf den Fall beschränken, daß die Anzahl $\nu$ der Teilchen pro Volumeneinheit nur von $x$ und $t$ abhängt.

English

We now investigate how the diffusion coefficient depends on $\varphi$ , again restricting ourselves to the case in which the number $\nu$ of particles per unit volume depends only on $x$ and $t$ .

Deutsch

[pp. 557–558]Es sei $\nu = f(x, t)$ die Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit, wir berechnen die Verteilung der Teilchen zur Zeit $t + \tau$ aus deren Verteilung zur Zeit $t$ . Aus der Definition der Funktion $\varphi(\Delta)$ ergibt sich leicht die Anzahl der Teilchen, welche sich zur Zeit $t + \tau$ zwischen zwei zur $X$ -Achse senkrechten Ebenen mit den Abszissen $x$ und $x + d x$ befinden. Man erhält: $f(x, t + \tau) d x = d x \cdot \int_{\Delta = -\infty}^{\Delta = +\infty} f(x + \Delta) \varphi(\Delta) d \Delta.$ Number densityTimeStep intervalDisplacement in one intervalJump densityExplain this equation Nun können wir aber, da $\tau$ sehr klein ist, setzen: $f(x, t + \tau) = f(x, t) + \tau \frac{\partial f}{\partial t}.$ Number densityTimeStep intervalExplain this equation Ferner entwickeln wir $f(x + \Delta, t)$ nach Potenzen von $\Delta$ : $f(x + \Delta, t) = f(x, t) + \Delta \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} + \frac{\Delta^2}{2!} \frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} \ldots \text{ in inf.}$ Number densityDisplacement in one intervalTimeExplain this equation Diese Entwicklung können wir unter dem Integral vornehmen, da zu letzterem nur sehr kleine Werte von $\Delta$ etwas beitragen. Wir erhalten: $\begin{aligned} f + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \tau = f \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta &+ \frac{\partial f}{\partial x} \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \varphi(\Delta) d \Delta \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta \ldots \end{aligned}$ Number densityTimeStep intervalJump densityDisplacement in one intervalExplain this equation Auf der rechten Seite verschwindet wegen $\varphi(x) = \varphi(-x)$ das zweite, vierte etc. Glied, während von dem ersten, dritten, fünften etc. Gliede jedes folgende gegen das vorhergehende sehr klein ist. Wir erhalten aus dieser Gleichung, indem wir berücksichtigen, daß $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1,$ Jump densityDisplacement in one intervalExplain this equation und indem wir $\frac{1}{\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta = D$ Step intervalDisplacement in one intervalJump densityDiffusion coefficientExplain this equation setzen und nur das erste und dritte Glied der rechten Seite berücksichtigen: $\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.$ Number densityTimeDiffusion coefficientExplain this equation

English

Let $\nu = f(x, t)$ be the number of particles per unit volume; we calculate the distribution of the particles at the time $t + \tau$ from their distribution at the time $t$ . From the definition of the function $\varphi(\Delta)$ one easily obtains the number of particles that at the time $t + \tau$ are located between two planes perpendicular to the $X$ -axis with the abscissas $x$ and $x + d x$ . One obtains: $f(x, t + \tau) d x = d x \cdot \int_{\Delta = -\infty}^{\Delta = +\infty} f(x + \Delta) \varphi(\Delta) d \Delta.$ Number densityTimeStep intervalDisplacement in one intervalJump densityExplain this equation But since $\tau$ is very small, we can now set: $f(x, t + \tau) = f(x, t) + \tau \frac{\partial f}{\partial t}.$ Number densityTimeStep intervalExplain this equation Further, we expand $f(x + \Delta, t)$ in powers of $\Delta$ : $f(x + \Delta, t) = f(x, t) + \Delta \frac{\partial f(x, t)}{\partial x} + \frac{\Delta^2}{2!} \frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} \ldots \text{ in inf.}$ Number densityDisplacement in one intervalTimeExplain this equation We can carry out this expansion under the integral, since only very small values of $\Delta$ contribute anything to the latter. We obtain: $\begin{aligned} f + \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \tau = f \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta &+ \frac{\partial f}{\partial x} \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \varphi(\Delta) d \Delta \\ &+ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta \ldots \end{aligned}$ Number densityTimeStep intervalJump densityDisplacement in one intervalExplain this equation On the right-hand side, because $\varphi(x) = \varphi(-x)$ , the second, fourth, etc. terms vanish, while of the first, third, fifth, etc. terms each successive one is very small compared with the one before. From this equation we obtain, taking into account that $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) d \Delta = 1,$ Jump densityDisplacement in one intervalExplain this equation and setting $\frac{1}{\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \varphi(\Delta) d \Delta = D$ Step intervalDisplacement in one intervalJump densityDiffusion coefficientExplain this equation and taking into account only the first and third terms on the right-hand side: $\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.$ Number densityTimeDiffusion coefficientExplain this equation

Deutsch

[p. 558]Dies ist die bekannte Differentialgleichung der Diffusion, und man erkennt, daß $D$ der Diffusionskoeffizient ist.

English

This is the well-known differential equation of diffusion, and one sees that $D$ is the diffusion coefficient.

Deutsch

[p. 558]An diese Entwicklung läßt sich noch eine wichtige Überlegung anknüpfen. Wir haben angenommen, daß die einzelnen Teilchen alle auf dasselbe Koordinatensystem bezogen seien. Dies ist jedoch nicht nötig, da die Bewegungen der einzelnen Teilchen voneinander unabhängig sind. Wir wollen nun die Bewegung jedes Teilchens auf ein Koordinatensystem beziehen, dessen Ursprung mit der Lage des Schwerpunktes des betreffenden Teilchens zur Zeit $t = 0$ zusammenfällt, mit dem Unterschiede, daß jetzt $f(x, t) d x$ die Anzahl der Teilchen bedeutet, deren $X$ -Koordinaten von der Zeit $t = 0$ bis zur Zeit $t = t$ um eine Größe gewachsen ist, welche zwischen $x$ und $x + d x$ liegt. Auch in diesem Falle ändert sich also die Funktion $f$ gemäß Gleichung (1). Ferner muß offenbar für $x \gtrless 0$ und $t = 0$ $f(x, t) = 0 \quad \text{und} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t) d x = n$ Number densityTimeParticle countExplain this equation sein. Das Problem, welches mit dem Problem der Diffusion von einem Punkte aus (unter Vernachlässigung der Wechselwirkung der diffundierenden Teilchen) übereinstimmt, ist nun mathematisch vollkommen bestimmt; seine Lösung ist: $f(x, t) = \frac{n}{\sqrt{4 \pi D}} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 D t}}}{\sqrt{t}}.$ Number densityTimeParticle countDiffusion coefficientExplain this equation

English

Another important consideration can be attached to this development. We have assumed that the individual particles were all referred to the same coordinate system. This is not necessary, however, since the motions of the individual particles are independent of one another. We shall now refer the motion of each particle to a coordinate system whose origin coincides with the position of the center of gravity of the particle in question at the time $t = 0$ , with the difference that $f(x, t) d x$ now denotes the number of particles whose $X$ -coordinate has increased from the time $t = 0$ to the time $t = t$ by an amount lying between $x$ and $x + d x$ . In this case too, then, the function $f$ changes according to equation (1). Further, for $x \gtrless 0$ and $t = 0$ we must evidently have $f(x, t) = 0 \quad \text{und} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, t) d x = n$ Number densityTimeParticle countExplain this equation The problem, which coincides with the problem of diffusion from a single point (neglecting the interaction of the diffusing particles), is now mathematically completely determined; its solution is: $f(x, t) = \frac{n}{\sqrt{4 \pi D}} \frac{e^{-\frac{x^2}{4 D t}}}{\sqrt{t}}.$ Number densityTimeParticle countDiffusion coefficientExplain this equation

Deutsch

[pp. 558–559]Die Häufigkeitsverteilung der in einer beliebigen Zeit $t$ erfolgten Lagenänderungen ist also dieselbe wie die der zufälligen Fehler, was zu vermuten war. Von Bedeutung aber ist, wie die Konstante im Exponenten mit dem Diffusionskoeffizienten zusammenhängt. Wir berechnen nun mit Hilfe dieser Gleichung die Verrückung $\lambda_x$ in Richtung der $X$ -Achse, welche ein Teilchen im Mittel erfährt, oder — genauer ausgedrückt — die Wurzel aus dem arithmetischen Mittel der Quadrate der Verrückungen in Richtung der $X$ -Achse; es ist: $\lambda_x = \sqrt{\overline{x^2}} = \sqrt{2 D t}.$ Coordinate RMS displacementMean-square displacement (one dimension)Diffusion coefficientObservation intervalExplain this equation

English

The frequency distribution of the changes of position that have taken place in an arbitrary time $t$ is therefore the same as that of random errors, as was to be expected. Of importance, however, is how the constant in the exponent is connected with the diffusion coefficient. With the help of this equation we now calculate the displacement $\lambda_x$ in the direction of the $X$ -axis that a particle undergoes on average, or — more precisely expressed — the square root of the arithmetic mean of the squares of the displacements in the direction of the $X$ -axis; it is: $\lambda_x = \sqrt{\overline{x^2}} = \sqrt{2 D t}.$ Coordinate RMS displacementMean-square displacement (one dimension)Diffusion coefficientObservation intervalExplain this equation

Deutsch

[p. 559]Die mittlere Verschiebung ist also proportional der Quadratwurzel aus der Zeit. Man kann leicht zeigen, daß die Wurzel aus dem Mittelwert der Quadrate der Gesamtverschiebungen der Teilchen den Wert $\lambda_x \sqrt{3}$ besitzt.

English

The mean displacement is therefore proportional to the square root of the time. It can easily be shown that the square root of the mean of the squares of the total displacements of the particles has the value $\lambda_x \sqrt{3}$ .

Deutsch

[p. 560]

Bern, Mai 1905.

English

Bern, May 1905.

Deutsch

[p. 560]

(Eingegangen 11. Mai 1905.)

English

(Received 11 May 1905.)

[p. 556]§ 4. Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.

§ 4. On the irregular motion of particles suspended in a liquid and its relation to diffusion.Show the German source

§ 4. On the irregular motion of particles suspended in a liquid and its relation to diffusion.