[p. 892]I. Kinematischer Teil.

[p. 903]§ 4. Physikalische Bedeutung der erhaltenen Gleichungen, bewegte starre Körper und bewegte Uhren betreffend.

[p. 903]Align sentencesWir betrachten eine starre Kugel^[1)] vom Radius $R$, welche relativ zum bewegten System $k$ ruht, und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung von $k$ liegt. Show English translationDie Gleichung der Oberfläche dieser relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten Kugel ist:$$\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = R^2 .$$$\xi$Position in the moving system$\eta$Position in the moving system$\zeta$Position in the moving system$R$Sphere radiusExplain this equation Show English translationDie Gleichung dieser Oberfläche ist in $x$, $y$, $z$ ausgedrückt zur Zeit $t = 0$:$$\frac{x^2}{\left( \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right)^2} + y^2 + z^2 = R^2 .$$$x$Position in the stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$y$Position in the stationary system$z$Position in the stationary system$R$Sphere radiusExplain this equation Show English translationEin starrer Körper, welcher in ruhendem Zustande ausgemessen die Gestalt einer Kugel hat, hat also in bewegtem Zustande — vom ruhenden System aus betrachtet — die Gestalt eines Rotationsellipsoides mit den Achsen$$R \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} , \quad R , \quad R .$$$R$Sphere radius$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation Show English translation

[p. 903]Align sentencesWährend also die $Y$- und $Z$-Dimension der Kugel (also auch jedes starren Körpers von beliebiger Gestalt) durch die Bewegung nicht modifiziert erscheinen, erscheint die $X$-Dimension im Verhältnis $1 : \sqrt{1 - (v/V)^2}$ verkürzt, also um so stärker, je größer $v$ ist. Show English translationFür $v = V$ schrumpfen alle bewegten Objekte — vom „ruhenden“ System aus betrachtet — in flächenhafte Gebilde zusammen. Show English translationFür Überlichtgeschwindigkeiten werden unsere Überlegungen sinnlos; wir werden übrigens in den folgenden Betrachtungen finden, daß die Lichtgeschwindigkeit in unserer Theorie physikalisch die Rolle der unendlich großen Geschwindigkeiten spielt. Show English translation

[p. 903]Align sentencesEs ist klar, daß die gleichen Resultate von im „ruhenden“ System ruhenden Körpern gelten, welche von einem gleichförmig bewegten System aus betrachtet werden. — Show English translation

[pp. 903–904]Align sentencesWir denken uns ferner eine der Uhren, welche relativ zum ruhenden System ruhend die Zeit $t$, relativ zum bewegten System ruhend die Zeit $\tau$ anzugeben befähigt sind, im Koordinatenursprung von $k$ gelegen und so gerichtet, daß sie die Zeit $\tau$ angibt. Show English translationWie schnell geht diese Uhr, vom ruhenden System aus betrachtet? Show English translation

[p. 904]Align sentencesZwischen die Größen $x$, $t$ und $\tau$, welche sich auf den Ort dieser Uhr beziehen, gelten offenbar die Gleichungen:$$\tau = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}} \left( t - \frac{v}{V^2} x \right)$$$\tau$Time in the moving system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$t$Time in the stationary system$x$Position in the stationary systemExplain this equation und$$x = v t .$$$x$Position in the stationary system$v$Speed of the moving system$t$Time in the stationary systemExplain this equation Show English translationEs ist also$$\tau = t \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} = t - \left( 1 - \sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2} \right) t ,$$$\tau$Time in the moving system$t$Time in the stationary system$v$Speed of the moving system$V$Speed of lightExplain this equation woraus folgt, daß die Angabe der Uhr (im ruhenden System betrachtet) pro Sekunde um $(1 - \sqrt{1 - (v/V)^2})$ Sek. oder — bis auf Größen vierter und höherer Ordnung um $\frac{1}{2} (v/V)^2$ Sek. zurückbleibt. Show English translation

[p. 904]Align sentencesHieraus ergibt sich folgende eigentümliche Konsequenz. Show English translationSind in den Punkten $A$ und $B$ von $K$ ruhende, im ruhenden System betrachtet, synchron gehende Uhren vorhanden, und bewegt man die Uhr in $A$ mit der Geschwindigkeit $v$ auf der Verbindungslinie nach $B$, so gehen nach Ankunft dieser Uhr in $B$ die beiden Uhren nicht mehr synchron, sondern die von $A$ nach $B$ bewegte Uhr geht gegenüber der von Anfang an in $B$ befindlichen um $\frac{1}{2} t v^2 / V^2$ Sek. (bis auf Größen vierter und höherer Ordnung) nach, wenn $t$ die Zeit ist, welche die Uhr von $A$ nach $B$ braucht. Show English translation

[p. 904]Align sentencesMan sieht sofort, daß dies Resultat auch dann noch gilt, wenn die Uhr in einer beliebigen polygonalen Linie sich von $A$ nach $B$ bewegt, und zwar auch dann, wenn die Punkte $A$ und $B$ zusammenfallen. Show English translation

[pp. 904–905]Align sentencesNimmt man an, daß das für eine polygonale Linie bewiesene Resultat auch für eine stetig gekrümmte Kurve gelte, so erhält man den Satz: Befinden sich in $A$ zwei synchron gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer geschlossenen Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie wieder nach $A$ zurückkommt, was $t$ Sek. dauern möge, so geht die letztere Uhr bei ihrer Ankunft in $A$ gegenüber der unbewegt gebliebenen um $\frac{1}{2} t (v/V)^2$ Sek. nach. Show English translationMan schließt daraus, daß eine am Erdäquator befindliche Unruhuhr um einen sehr kleinen Betrag langsamer laufen muß als eine genau gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene, an einem Erdpole befindliche Uhr. Show English translation

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.