[p. 892]I. Kinematischer Teil.

[p. 905]§ 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten.

[p. 905]Align sentencesIn dem längs der $X$-Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten System $k$ bewege sich ein Punkt gemäß den Gleichungen:$$\begin{aligned} \xi &= w_\xi \tau , \\ \eta &= w_\eta \tau , \\ \zeta &= 0 , \end{aligned}$$$\xi$Position in the moving system$w_{\xi }$Velocity along x, moving system$\tau$Time in the moving system$\eta$Position in the moving system$w_{\eta }$Velocity along y, moving system$\zeta$Position in the moving systemExplain this equation wobei $w_\xi$ und $w_\eta$ Konstanten bedeuten. Show English translation

[pp. 905–906]Align sentencesGesucht ist die Bewegung des Punktes relativ zum System $K$. Show English translationFührt man in die Bewegungsgleichungen des Punktes mit Hilfe der in § 3 entwickelten Transformationsgleichungen die Größen $x$, $y$, $z$, $t$ ein, so erhält man:$$\begin{aligned} x &= \frac{w_\xi + v}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} t , \\ y &= \frac{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} w_\eta t , \\ z &= 0 . \end{aligned}$$$x$Position in the stationary system$w_{\xi }$Velocity along x, moving system$v$Speed of the moving system$V$Speed of light$t$Time in the stationary system$y$Position in the stationary system$w_{\eta }$Velocity along y, moving system$z$Position in the stationary systemExplain this equation Show English translationDas Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt also nach unserer Theorie nur in erster Annäherung. Show English translationWir setzen:$$\begin{aligned} U^2 &= \left( \frac{d x}{d t} \right)^2 + \left( \frac{d y}{d t} \right)^2 , \\ w^2 &= w_\xi^2 + w_\eta^2 \end{aligned}$$$U$Composed velocity (stationary system)$x$Position in the stationary system$t$Time in the stationary system$y$Position in the stationary system$w$Velocity in the moving frame$w_{\xi }$Velocity along x, moving system$w_{\eta }$Velocity along y, moving systemExplain this equation und$$\alpha = \operatorname{arctg} \frac{w_y}{w_x} ;$$$\alpha$Velocity direction angle: alpha$w_y$Velocity along y, moving system$w_x$Velocity along x, moving systemExplain this equationSo printed. Read: α = arctg (w_η / w_ξ). The display just above defines the point's velocity components in the system k as w_ξ and w_η (ξ = w_ξ τ, η = w_η τ), and the next sentence names α the angle between the velocities v and w. The record in the correction log $\alpha$ ist dann als der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten $v$ und $w$ anzusehen. Show English translationNach einfacher Rechnung ergibt sich:$$U = \frac{\sqrt{(v^2 + w^2 + 2 v w \cos \alpha) - \left( \frac{v w \sin \alpha}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w \cos \alpha}{V^2}} .$$$U$Composed velocity (stationary system)$v$Speed of the moving system$w$Velocity in the moving frame$\alpha$Velocity direction angle: alpha$V$Speed of lightExplain this equation Show English translationEs ist bemerkenswert, daß $v$ und $w$ in symmetrischer Weise in den Ausdruck für die resultierende Geschwindigkeit eingehen. Show English translationHat auch $w$ die Richtung der $X$-Achse ($\Xi$-Achse), so erhalten wir:$$U = \frac{v + w}{1 + \frac{v w}{V^2}} .$$$U$Composed velocity (stationary system)$v$Speed of the moving system$w$Velocity in the moving frame$V$Speed of lightExplain this equation Show English translationAus dieser Gleichung folgt, daß aus der Zusammensetzung zweier Geschwindigkeiten, welche kleiner sind als $V$, stets eine Geschwindigkeit kleiner als $V$ resultiert. Show English translationSetzt man nämlich $v = V - \varkappa$, $w = V - \lambda$, wobei $\varkappa$ und $\lambda$ positiv und kleiner als $V$ seien, so ist:$$U = V \frac{2 V - \varkappa - \lambda}{2 V - \varkappa - \lambda + \frac{\varkappa \lambda}{V}} < V .$$$U$Composed velocity (stationary system)$V$Speed of light$\varkappa$Speed deficit from light speed: kappa, lambda$\lambda$Speed deficit from light speed: kappa, lambdaExplain this equation Show English translation

[pp. 906–907]Align sentencesEs folgt ferner, daß die Lichtgeschwindigkeit $V$ durch Zusammensetzung mit einer „Unterlichtgeschwindigkeit“ nicht geändert werden kann. Show English translationMan erhält für diesen Fall:$$U = \frac{V + w}{1 + \frac{w}{V}} = V .$$$U$Composed velocity (stationary system)$V$Speed of light$w$Velocity in the moving frameExplain this equation Show English translationWir hätten die Formel für $U$ für den Fall, daß $v$ und $w$ gleiche Richtung besitzen, auch durch Zusammensetzen zweier Transformationen gemäß § 3 erhalten können. Show English translationFühren wir neben den in § 3 figurierenden Systemen $K$ und $k$ noch ein drittes, zu $k$ in Parallelbewegung begriffenes Koordinatensystem $k'$ ein, dessen Anfangspunkt sich auf der $\Xi$-Achse mit der Geschwindigkeit $w$ bewegt, so erhalten wir zwischen den Größen $x$, $y$, $z$, $t$ und den entsprechenden Größen von $k'$ Gleichungen, welche sich von den in § 3 gefundenen nur dadurch unterscheiden, daß an Stelle von „$v$“ die Größe$$\frac{v + w}{1 + \frac{v w}{V^2}}$$$v$Speed of the moving system$w$Velocity in the moving frame$V$Speed of lightExplain this equation tritt; man sieht daraus, daß solche Paralleltransformationen — wie dies sein muß — eine Gruppe bilden. Show English translation

[p. 907]Align sentencesWir haben nun die für uns notwendigen Sätze der unseren zwei Prinzipien entsprechenden Kinematik hergeleitet und gehen dazu über, deren Anwendung in der Elektrodynamik zu zeigen. Show English translation

[p. 907]II. Eektrodynamischer Teil.