Annus MirabilisEinstein in 1905
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Zur Elektrodynamik bewegter Körper

Special relativity: from clock operations to electrodynamics

[p. 905]§ 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten.

§ 5.§ 5Additionstheoremaddition theoremderofGeschwindigkeiten.velocities
[p. 905]
InindemthelängsalongdertheXX-Achseaxisdesof theSystemssystemKKmitwithdertheGeschwindigkeitvelocityvvbewegtenmovingSystemsystemkkbewegelet ... move[supposition]sich↳[supposition]einaPunktpointgemäßaccording todentheGleichungen:equationswobeiwherewξw_\xiundandwηw_\etaKonstantenconstantsbedeuten.denote
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. bewege sich (let ... move) · [konjunktiv-i]: sich bewegen in Konjunktiv I: bewege sich, ‘let (a point) move’, the supposed motion
[pp. 905–906]
Gesuchtis soughtist↳dietheBewegungmotiondesof thePunktespointrelativrelativezumto theSystemsystemKK.
Führtif ... introducesmanoneinintodietheBewegungsgleichungenequations of motiondesof thePunktespointmitwith the helpHilfe↳derof theinin§ 3§ 3entwickeltendevelopedTransformationsgleichungentransformation equationsdietheGrößenquantitiesxx,yy,zz,ttein,↳sothenerhältobtainsman:one
[p. 905]
x=wξ+v1+vwξV2t,y=1−(vV)21+vwξV2wηt,z=0.\begin{aligned} x &= \frac{w_\xi + v}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} t , \\ y &= \frac{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w_\xi}{V^2}} w_\eta t , \\ z &= 0 . \end{aligned}
Explain this equation
DastheGesetzlawvomof theParallelogrammparallelogramderofGeschwindigkeitenvelocitiesgiltholdsalsothereforenachaccording tounsererourTheorietheorynuronly to a first approximationin↳erster↳Annäherung.↳
Wirwesetzen:putundandα\alphaistis to be regarded asdannthenals↳dertheWinkelanglezwischenbetweendentheGeschwindigkeitenvelocitiesvvundandwwanzusehen.↳
[p. 905]
U2=(dxdt)2+(dydt)2,w2=wξ2+wη2\begin{aligned} U^2 &= \left( \frac{d x}{d t} \right)^2 + \left( \frac{d y}{d t} \right)^2 , \\ w^2 &= w_\xi^2 + w_\eta^2 \end{aligned}
Explain this equation
[p. 905]
α=arctg⁡wywx;\alpha = \operatorname{arctg} \frac{w_y}{w_x} ;
Explain this equation
So printed. Read: α = arctg (w_η / w_ξ). The display just above defines the point's velocity components in the system k as w_ξ and w_η (ξ = w_ξ τ, η = w_η τ), and the next sentence names α the angle between the velocities v and w. The record in the correction log
NachaftereinfachersimpleRechnungcalculationergibtresultssich:↳
[p. 906]
U=(v2+w2+2vwcos⁡α)−(vwsin⁡αV)21+vwcos⁡αV2.U = \frac{\sqrt{(v^2 + w^2 + 2 v w \cos \alpha) - \left( \frac{v w \sin \alpha}{V} \right)^2}}{1 + \frac{v w \cos \alpha}{V^2}} .
Explain this equation
Esitistisbemerkenswert,noteworthydaßthatvvundandwwinsymmetricallysymmetrischer↳Weise↳inintodentheAusdruckexpressionfürfordietheresultierenderesultantGeschwindigkeitvelocityeingehen.enter
Hatif ... hasauchalsowwdietheRichtungdirectionderof theXX-Achseaxis(Ξ\Xi-Achse),axissothenerhaltenobtainwir:we
AusfromdieserthisGleichungequationfolgt,followsdaßthatausfromdertheZusammensetzungcompositionzweierof twoGeschwindigkeiten,velocitieswelchewhichkleinersmallersindarealsthanVV,stetsalwayseineaGeschwindigkeitvelocitykleinersmalleralsthanVVresultiert.results
Setztif one putsman↳nämlichnamelyv=V−ϰv = V - \varkappa,w=V−λw = V - \lambda,wobeiwhereϰ\varkappaundandλ\lambdapositivpositiveundandkleinersmalleralsthanVVseien,are[supposition]sothenist:is
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. seien (are) · [konjunktiv-i]: Konjunktiv I: seien, the stipulated condition, ‘(where κ and λ) are positive and smaller than V’
[p. 906]
U=V2V−ϰ−λ2V−ϰ−λ+ϰλV<V.U = V \frac{2 V - \varkappa - \lambda}{2 V - \varkappa - \lambda + \frac{\varkappa \lambda}{V}} < V .
Explain this equation
[pp. 906–907]
Esit followsfolgt↳ferner,furtherdaßthatdietheLichtgeschwindigkeitvelocity of lightVVdurchbyZusammensetzungcompositionmitwitheinera„Unterlichtgeschwindigkeit“sub-light velocitynichtnotgeändertalteredwerdenbekann.can
ManoneerhältobtainsfürfordiesenthisFall:case
Wirwehättencould have obtained[hypothetical]dietheFormelformulafürforUUfürfordentheFall,casedaßthatvvundandwwgleichethe sameRichtungdirectionbesitzen,haveauchalsodurchbyZusammensetzencomposingzweierof twoTransformationentransformationsgemäßaccording to§ 3§ 3erhalten↳[hypothetical]können.↳[hypothetical]
List the reasoning words in this sentence (1)
  1. hätten erhalten können (could have obtained) · [konjunktiv-ii]: Konjunktiv II pluperfect: hätten ... erhalten können, ‘could have obtained’, a second route not taken
Führenif ... introducewirwenebenbesidesdentheinin§ 3§ 3figurierendenfiguringSystemensystemsKKundandkknochfurthereinadrittes,thirdzutokkininParallelbewegungparallel motionbegriffenesengagedKoordinatensystemcoordinate systemk′k'ein,↳dessenwhoseAnfangspunktoriginsichmovesaufondertheΞ\Xi-AchseaxismitwithdertheGeschwindigkeitvelocitywwbewegt,↳sothenerhaltenobtainwirwezwischenbetweendentheGrößenquantitiesxx,yy,zz,ttundanddentheentsprechendencorrespondingGrößenquantitiesvonofk′k'Gleichungen,equationswelchewhichsichdiffervonfromdenthe onesinin§ 3§ 3gefundenenfoundnuronlydadurchin thatunterscheiden,↳daß↳antakes the placeStelle↳vonof„vv“dietheGrößequantitytritt;↳manonesiehtseesdaraus,from thisdaßthatsolchesuchParalleltransformationenparallel transformations—wieas must be the casedies↳sein↳muß↳—eineaGruppegroupbilden.form
[p. 907]
Wirwehabenhave derivednunnowdiethefürforunsusnotwendigennecessarySätzetheoremsderof theunserenourzweitwoPrinzipienprinciplesentsprechendencorrespondingKinematikkinematicshergeleitet↳undandgehenproceed todazu↳über,↳derentheirAnwendungapplicationinindertheElektrodynamikelectrodynamicszutozeigen.show